Файл: Лодиз, Р. Рост монокристаллов.pdf

чается Ю - 4 см. Величина 0,5 см согласуется с наблюдаемыми на опыте размерами устойчивых плоских граней кристаллов салола (порядка нескольких сантиметров).

Другой любопытный теоретический вывод состоит в том, что даже при исчезающе малой поверхностной энергии сферический фронт роста может быть относительно устойчивым, если только кинетический коэффициент конечен.

Кан [229] провел качественный анализ устойчивости шара при росте из пересыщенного раствора со скоростью, пропорцио­ нальной пересыщению. Используя уравнения (22.16), (22.17) и (23.2), переформулированные для роста из раствора, и не учи­ тывая возмущений и влияния кривизны поверхности, Кан пока­ зал, что

енты концентрации, которые приводили бы к возмущающему

скую устойчивость плоского фронта кристаллизации сплава при

верхности (поверхностной энергии); к тому же в них предпола­ гается, что скорость кристаллизации v одинакова по всему

фронту и пропорциональна переохлаждению. Найденное реше­ ние удовлетворяет стационарным уравнениям диффузии и тепло­ проводности, уравнению непрерывности потока вещества и гра­ ничному условию, наложенному на температуру поверхности раздела фаз. Джексон и Зайденстиккер установили, что харак­ тер кинетических явлений на поверхности кристалла не влияет на область устойчивости, но влияет на спектр Фурье развиваю­ щихся возмущений в области неустойчивости. Таршис и Тиллер, пользуясь численными методами, выяснили, что характер кине­ тических явлений влияет не только на спектр Фурье возмущенной формы, но и на область неустойчивости, и даже им определяется сама возможность возникновения неустойчивости. Столь боль­ шое расхождение выводов может объясняться различием исход­ ных предположений: в двух первых работах [232, 193] градиенты температур считались постоянными, а Таршис и Тиллер пола­ гали, что эти градиенты меняются при изменении кинетического коэффициента.

сталлизация из переохлажденного расплава) и концентрации примеси; наряду с этим они принимали во внимание кинетиче­ ские явления на поверхности и ее кривизну. Ими рассчитана за­ висимость длины волны наиболее быстро растущих возмущений вдоль оси цилиндра от переохлаждения и линейного кинетиче­ ского коэффициента.

Шьюмон [228] исследовал движение возмущенного плоского фронта кристаллизации из пересыщенного раствора с учетом линейной поверхностной кинетики на этом фронте. Было устано­ влено, что при заданном градиенте концентрации примеси устой­ чивость возмущения определяется влиянием противодействую­ щих друг другу факторов — потока вещества и поверхностной энергии — и не зависит от кинетического коэффициента. Впро­ чем, если градиент концентрации может меняться, то при любом малом кинетическом коэффициенте градиент концентрации об­ ращается в нуль, а фронт роста становится устойчивым.

Чернов [234] подошел к исследованию устойчивости совер­ шенно иначе. Он провел качественный анализ формы много­ угольного кристалла, растущего из пересыщенного раствора. Взяв за отправную точку расчеты Зегера [78], согласно которым пересыщение на краю грани такого кристалла максимально, а в ее цнтре минимально, Чернов предположил, что это непостоян­ ство концентрации вдоль грани компенсируется линейным кине­ тическим коэффициентом так, что скорость роста поддерживает­ ся одинаковой во всех точках грани. Этот коэффициент заметно

меняется при малых отклонениях ориентации участка грани от плотноупакованной поверхности. Чернов установил, не решая точно уравнения Лапласа для искаженной формы, что искаже­ ния определенного вида, а именно впадины в центре грани, исче­ зают из-за анизотропии кинетического коэффициента, если их размеры меньше некоторого критического размера, достигаю­ щего в приведенном случае ~ 1 мм. Если же кинетический коэф­ фициент изотропен, то, согласно этой теории, такая устойчивость к искажениям большого масштаба не должна наблюдаться, во­ преки количественным результатам, полученным Кориеллом и Паркером [230] для сферы 1 ) .

Анизотропное поверхностное натяжение. Кан [229] провел ко­ личественный анализ влияния слабой анизотропии поверхностно­ го натяжения на морфологическую устойчивость шарообразного кристалла при росте из пересыщенного раствора. Малые откло­ нения полярной диаграммы поверхностной энергии у от сферы записываются в виде суммы сферических функций с коэффи­ циентами е; т о . Все эти коэффициенты малы, кроме еоо, который отражает среднее значение поверхностной энергии и нормирован к двум. Тем же способом, что и Маллинз с Секеркой [211], Кан получил выражение концентрации на слегка искаженной сфери­ ческой поверхности [аналог выражения (22.13)]. Равновесная форма кристалла находится из условия постоянства равновесной концентрации Гиббса — Томсона Со,s вдоль искаженной поверх­ ности. Оказывается, что это есть слегка искаженная сфера. В обозначениях уравнения (22.10) это запишется следующим об­ разом:

Отсюда можно выразить концентрацию на поверхности кристал-

с равн

ла через б;т вместо е/т> получив выражение, очень похожее на выражение (22.13). Скорость изменения амплитуды возмущения

растания среднего значения радиуса сферы, вместо временной зависимости б получим зависимость этой величины от среднего размера сферы. На фиг. 33 приведены данные об амплитуде искажения и изменении поверхностной энергии при / = 4. Здесь у = 8JR*, а х = RJR* [R* для сферы определяется выражением (22.21)]. Как показывают две верхние кривые, искажения, совпа­ дающие по фазе с равновесной формой, неустойчивы, т. е. их

600 г

ряет устойчивость. Впрочем, сама по себе сфера без искажений неустойчива (см. кривую /Сг = 0), так как на ней развиваются возмущения, приближающие ее к равновесной форме. При боль­ ших значениях г развитие таких возмущений стимулируется влиянием поля диффузии. Рост равновесной формы представлен

плитуды возмущений, находящихся не в фазе с равновесной формой.

Анализ устойчивости с учетом зависимости от времени. Се-

керка [235, 236] сформулировал теорию устойчивости плоского