Файл: Гуревич, А. Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 14.10.2024
Просмотров: 148
Скачиваний: 0
§ 1.1] |
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ. УРАВНЕНИЕ ДВИЖ ЕНИЯ |
23 |
|
сними векторами с длинами |
£ (S + 1), которые всегда (даже в |
||
основном состоянии системы) прецессируют вокруг оси z, так что проекции их на эту ось не могут быть больше S . В основном состоя нии фазы прецессии случайны, и поперечные проекции момента любого макроскопического объема равны пулю. В другом вариан те спины заменяются классическими векторами с длинами S, в основном состоянии они направлены по оси z. Такая простая мо дель удобна для наглядного качественного описания ряда процес сов в ферромагнетиках, и мы будем ее в дальнейшем использовать.
При классической трактовке спинов (1.1.48) представляет со бой часть потенциальной энергии ферромагнетика, обусловлен
ную обменным взаимодействием. |
Если обменные интегралы |
0, то минимум этой энергии |
соответствует параллельной |
ориентации всех спинов. При температуре Г — О °К такое полностью упорядоченное состояние является равновесным. При Т )> О условием термодинамического равновесия является [36] минимум некоторого термодинамического потенциала (например, магнит ной свободной энергии, см. подробнее § 2.1), содержащего член (— TS), где S — энтропия системы. Поэтому в равновесном состо янии при Т 0 параллельная ориентация всех спинов не будет иметь места. Можно полагать, в соответствии с опытом и с фено менологической теорией Вейсса, что дальний магнитный порядок, несмотря на частичное разупорядочение, сохранится при темпера турах Т < Тс- Однако получить строго этот результат с помощью гейзенберговской модели пока не удалось ввиду математических трудностей.
Несмотря па то, что гейзенберговская модель не позволяет по ка получить строго фазовый переход от беспорядка к ферромагнитпому порядку в точке Тс, она с успехом применяется для решения многих других вопросов1). Представляет поэтому интерес обоб щить ее, учтя, кроме обменного, и другие взаимодействия в фер ромагнитном кристалле. В первую очередь следует учесть взаимо действие магнитных моментов с внешним магнитным полем Н (зеемановское взаимодействие) и магнитное (диполь-дипольное) взамодействие их друг с другом. По аналогии с классическим выра жением (1.1.28) гамильтониан зеемаиовского взаимодействия, учитывая (1.1.4), можно записать в виде
Ж н - тП2 SfH =з ГЛ2 S,H |
(1.1.49) |
/7
(внешнее магнитное поле Н направлено по оси z). Гамильтониан диполь-дипольного. взаимодействия может быть записан [3,23] по
!) В § 8.5 гейзенберговская модель будет использована для исследования спиновых воли.
24 НАМ АГНИЧЕННЫ Й ИЗОТРОПНЫ Й Ф ЕРРОМ АГНЕТИК [ГЛ. і
аналогии с классическим выражением для потенциальной энер гии взаимодействия магнитных диполей [43]:
t f' |
~ S |
fSr -----ö- ( S fr,) (Sf Vf) |
(1.1.50) |
L '//' |
|
|
|
(№) |
|
|
|
где |
r//' = |
Г, — V/. |
|
|
|
||
а ¥f и Yf — радиусы-векторы, |
соответственно, /-го и |
/'-го узлов. |
|
Полный гамильтониан для обобщенной гейзенберговской модели является суммой гамильтонианов (1.1.48), (1.1.49) и (1.1.50).
Одним из допущений, принятых в гейзенберговской модели, является полная локализация магнитных моментов в узлах магнит ной решетки. Прямые эксперименты по рассеянию нейтронов (см., например, [66]) показывают,что для ферромагнитных метал лов это допущение выполняется плохо — магнитный момент «размазап» по всему кристаллу. Для таких веществ более подходящей является зонная модель ферромагнетизма [13]. Однако для ферро магнитных (а также аитиферромагнитиых и ферримагнитпых) ди электриков или полупроводников с небольшой проводимостью, ко торые нас интересуют в первую очередь, магнитные моменты в хорошем приближении можно считать локализованными и исполь зовать гейзенберговскую модель. Правда, в таких веществах магнитпые иопы разделены, как правило, немагнитными, и обменное взаимодействие носит более сложный, косвеппый характер (см. § 4.1). Но это влияет па величины обменных интегралов и их зави симости от г,у-, само же выражение (1.1.48) для магпитоупорядоченных веществ с небольшой проводимостью можно считать спра ведливым [58].
Вторым важным допущением гейзенберговской модели явля ется неучет орбитальных магнитных моментов. Можно попытаться учесть их влияние в рамках этой модели, полагая, что коэффици ент у в (1.1.49) и (1.1.50) отличается от его значения ys для элект ронных спипов, а также вводя в гамильтониан дополнительные члены, учитывающие влияние магнитной кристаллографической анизотропии, которая (см. главу 2) обычно связана с наличием ор битальных моментов. Аналогичный путь используется и в теории парамагнитного резонанса [1], где он получил название метода спин-гамильтониана. Ясно, что он применим тем лучше, чем силь нее «заморожены» орбитальные моменты в соединениях эле ментов 3d-и других переходных групп. G другой стороны, для ред коземельных соединений, где «замораживания» орбитальных мо ментов почти нет, гейзенберговская модель, по-видимому, тоже
может быть применена, но с заменой спиновых моментов S на пол ные моменты J.
§ 1.1] |
ФЁРРОМ АГНЕТЯЗМ . УРАВНЕНИЕ ДВИЖ ЕНИИ |
25 |
В гейзенберговской модели часто используют так называемое
приближение ближайших соседей. Обменный интеграл If быстро убывает с увеличением расстояния между атомами. Учитывая это, в сумме (1.1.48) ограничиваются лишь членами, в которые входят спины атомов ближайших соседей. Тогда гамильтониан (1.1.48)
принимает вид
z
& .= - 2 S |
/ 2 ' A * |
(1.1.51) |
/ |
В=1 |
|
где Z — число ближайших соседей.
Иногда гейзенберговская модель применяется в (довольно грубом) приближении молекулярного поля [18]. При этом оператор
S/' в (1.1.48) заменяется его средним значением |
(S/.)1) и гамиль |
тониан (1.1.48) записывается в виде |
|
Же = 4г ГГі % § Д * , |
(1.1.52) |
/ |
|
где |
|
= |
(1 Л -53) |
г |
|
— так называемое молекулярное поле. Это поле является внут ренним, оно действует на спины и в то же время вызвано ими; поэтому в выражение (1.1.52) введен множитель Ѵа.
Континуальный подход. Наличие обменного взаимодействия, сильно связывающего между собой элементарные магнитные моменты в магнитоупорядоченных веществах, приводит к тому, что для описания процессов в этих веществах часто с успехом исполь зуется континуальный (или макроскопический или квазиклас сический) подход. При таком подходе мы отвлекаемся от микроско пического строения магиитоупорядоченного кристалла, например ферромагнетика. Величиной, полностью характеризующей маг нитное состояние ферромагнетика, является теперь макроскопи ческая намагниченность
М = |
ASM |
(1.1.54) |
|
АѴ ’ |
|
где ДЭІ — магнитный момент |
малого, |
но макроскопического |
объема ДУ. Заметим, что именно такой континуальный подход был применен в теории Вейсса.
*) Здесь и в дальнейшем угловые скобки <> обозначают квантовомехани ческие средние значения стоящих в ппх операторов. Статистические средние значения (как операторов, так и численных величин), полученные в результате усреднения по некоторым ансамблям, будут в дальнейшем обозначаться чертой над соответствующими пелпчипами.
26 |
НА М АГНИЧЕННЫ Й ИЗО ТРОПН Ы Й Ф ЕРРОМ АГНЕТИ К |
[ГЛ. 1 |
Если может быть использована гейзенберговская модель, то
Аа» = —гЛ 2 <S/>, |
(1.1.55) |
/
где суммирование производится по объему ДЕ. Если, к тому же <Sf) изменяется в пространстве достаточно медленно, то объем ДЕ можно выбрать таким, чтобы (S) было в нем постоянным. Тогда из (1.1.54) и (1.1.55) следует
М = — y/jiV<S>, |
(1.1.56) |
||
где N — 1/о3 — число элементарных |
моментов в единице |
объема |
|
(а — среднее расстояние между |
моментами). |
|
|
С учетом (1.1.56) выражение |
(1.1.53) можно записать в виде |
||
H“' = [ t t W |
| 4 M' |
(‘ -‘ -SB |
|
Таким образом, поле обменного происхождения Нм/, действую щее на элементарные моменты гейзенберговской модели, в при ближении молекулярного поля оказывается пропорциональным макроскопической намагниченности и, таким образом, может быть отождествлено с молекулярным полем (1.1.40) в теории Вейсса. Феноменологическая константа Л этой теории выражается через параметры гейзенберговской модели следующим образом:
(-гЛ)27ѵ 2 |
(1.1.58) |
или в приближении ближайших соседей (1.1.51) (считая I g не за висящим от g)
д |
F2ZI |
* r m |
A = _p)W ' |
(1-1-59) |
|
Из (1.1.44) и (1.1.59) следует |
|
|
хГс = |
- § - / ( / + 1 ) 2 / , |
(1.1.60) |
откуда видно, что кТс по порядку величины совпадает с |
отнесен |
|
ной к одному атому энергией обменного взаимодействия. Более точные расчеты (см., например, [244] ) показывают, что в соотно шение (1.1.60) должен входить множитель порядка 1, зависящий от структуры кристалла.
Величина М, характеризующая ферромагнетик при контину альном подходе, есть именно та намагниченность, которая входит
в уравнения макроскопической |
электродинамики |
(см. главу 5) |
и, в частности, в соотношение. |
|
|
В = Н т |
4яМ, |
(1.1.61) |
§ І.іЗ ФЕРРОМ АГНЕТИЗМ . УРАВНЕНИ Е ДВИ Ж ЕНИЯ 27
где Н — магнитное поле, а В — магнитная индукция. Намагни ченность является функцией координат и времени, и отыскание этой функции М (г, t) при определенных условиях (например, при заданных внешних полях и температуре) является задачей теории ферромагнетизма в ее континуальной трактовке.
Подчеркнем еще раз, что в континуальной теории наличие об менного взаимодействия, приводящего к появлению спонтанной намагниченности или молекулярного поля ЛМ, постулируется. Величина Л и спонтанная намагниченность при 0° К в рамках этой теории являются феноменологическими постоянными. Несмотря па это, континуальный подход оказывается очень эффективным при решении многих вопросов теории ферромагнетизма. К ним относятся, в частности, следующие проблемы: отыскание равновес ных конфигураций намагниченности (например, домециых струк тур), исследование переходных процессов (процессов перемагничивапия) и, наконец, проблема малых магнитных колебаний, со ставляющая основное содержание этой книги. На протяжении поч ти всей книги мы будем использовать, в основном, континуальный подход, привлекая микроскопические соображения лишь в от дельных случаях — главным образом, для пояснения физической картины явлений и оценки величин констант. И лишь в § 8.5 мы вернемся к гейзенберговской модели.
Уравнение движения намагниченности. При континуальном рассмотрении ферромагнетика возможно и обычно наиболее це лесообразно использовать классическую теорию1). В этом случае намагниченность М (г, t) может быть найдена путем интегриро вания классического уравнения движения намагниченности, т. е дифференциального уравнения, связывающего М (г, t) с магнит ным полем Н (г, г), которое рассматривается как заданное. Та кое уравнение было впервые записано и использовано Ландау и Лифшицем [111]. Для рассматриваемых в этой главе однородных колебаний намагниченности в идеализированном изотропном фер ромагнетике и пока без учета диссипации энергии уравнение дви жения намагниченности имеет вид 2)
( 1. 1.62)
где у — магнитомеханическое отношение, рассматриваемое в рам ках континуального подхода как феноменологический параметр.
*) При рассмотрении микроскопических моделей использование квантовой теории является, конечно, необходимым. Но и при континуальном подходе кваитовомоханпческпо методы в некоторых случаях, в частности, при ис следовании термодинамических вопросов (§ 8.4) и, в особенности, процессов релаксации (глава 9) могут оказаться полезными.
2) Обобщение этого уравнения будет проведено в §§1.3 (учет диссипации) и 2.1 (учет анизотропии среды и неоднородности намагниченности).