Файл: Гуревич, А. Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках.pdf

сующие нас результаты. Особенно широко мы будем использо­ вать метод вероятностей переходов, который характеризуется наг­ лядностью и сравнительной простотой вычислений.

Метод вероятностей переходов. Квантовомеханическая неста­ ционарная теория возмущений [30], как известно, позволяет вы­ числить вероятность перехода системы из одного стационарного со­ стояния в другое под действием некоторого возмущения, зави­ сящего, вообще говоря, от времени. В частности, число перехо­ дов в единицу времени под действием постоянного возмущения

дельта-функция Дирака (1.3.36). Из формулы (9.1.1) видно, что wlm 4= 0 только для переходов между вырожденными состояниями.

При изучении процессов релаксации очень удобно использо­ вать представление вторичного квантования (см. § 8.5), в котором состояние системы характеризуется числами заполнения различ­ ных собственных состояний, т. е. в данном случае — числами квазичастиц. Волновые функции в представлении вторичного квантования являются наборами чисел nkg квазичастиц для всех

допустимых значений kfi волнового вектораНа эти волновые функции действуют операторы рождения â+g и уничтожения âkg

квазичастиц. Преобразования Холыптейна — Примакова (§ 8.5) и осуществляли переход к представлению вторичного квантования для гейзенберговской модели ферромагнетика. Свойства опера­ торов âkg и âh.gрассматривались в § 8.5. Напомним лишь, что опе­

ратор âk , действуя на волновую функцию nkl, пкг, ..., nkg.,.,

увеличивает на 1 число nkg, оставляя все остальные числа без из­ менения. Оператор âkg уменьшает число nhg на 1. Формула

(9.1.1) нестационарной теории возмущений в представлении вто­ ричного квантования дает скорость изменения числа квазичастиц, которые возникают или уничтожаются при рассматриваемом переходе.

В §§ 9.2 и 9.4 мы будем исследовать процессы релаксации, ко­ торые могут происходить в идеальном магнитоупорядоченном кри­ сталле. Под идеальным кристаллом понимается кристалл, не со­ держащий неупорядоченных примесей, дислокаций, пор и других нарушений периодичности. Строго говоря, такой кристалл должен быть неограниченным, но влиянием нарушения периодичности кристалла на поверхности образца можно пренебречь, если раз­

Учитывая свойства (8.5.24) и (8.5.25) операторов ак и ак, можно убедиться, что каждый член гамильтониана (9.1.2) вносит вклад только в один матричный элемент; при переходе, соответст­ вующем этому элементу, увеличиваются на 1 числа тех квази­ частиц, операторы рождения которых входят в данный член га­ мильтониана, и уменьшаются на 1 числа квазичастиц, операторы уничтожения которых входят в этот член. Так, например, член

Член гамильтониана, эрмитово-сопряженный с рассмотренным, дает матричный элемент

<пкі + 1 , пкі — 1,п к, — і\Ж р \nkl, nkt, nk,y =

= Y (^A-, 4" 1) nklnkj Т423Д (kx — k2 — k3). (9.1.4)

Аналогичным образом запишутся матричные элементы, соответ­ ствующие членам более высоких порядков.

Выше отмечалось, что процессы релаксации часто трактуются с корпускулярной точки зрения; при этом считается, что в основе их лежат элементарные процессы превращения квазичастиц (см., например, рис. 9.1.1). Рассматриваемый сейчас подход к релак­ сации с точки зрения теории возмущений в представлении вторич­ ного квантования дает обоснование возможности такой трактов­ ки. Каждому элементарному процессу соответствует свой член в гамильтониане возмущения и относящийся к нему матричный элемент. Так, например, процесс, показанный на рис. 9.1.1, б, описывается матричным элементом (9.1.3), а матричный элемент (9.1.4) соответствует обратному процессу — уничтожения двух магнонов с к2 и к3 и рождения магнона с Ц.

Наличие дельта-56унщ ии в формуле (9.1.1) указывает на то, что при каждом элементарном процессе сохраняется энергия. Например, для процессов, которым соответствуют матричные элементы (9.1.3) и (9.1.4),

Наличие же дельта-ошволов во всех членах гамильтониана при­

Подчеркнем, что, в отличие от сохранения энергии, сохранение импульса при элементарных процессах превращения квазичастиц имеет место только в идеальном кристалле, т. е. для таких возму­ щений, которые не нарушают периодичности кристалла. Про­ цессы релаксации, существенно связанные с нарушениями перио­ дичности, для которых не имеет места сохранение импульса при элементарных процессах превращения квазичастиц, будут рас­ смотрены в § 9.3.

Подставляя матричные элементы, соответствующие опреде­ ленным процессам, в формулу теории возмущений (9.1.1), мы по­ лучим числа таких процессов в единицу времени. Однако нас ин­ тересуют не эти числа, а полные скорости изменения чисел квази­ частиц определенного сорта, например, dnkJdt. Для того чтобы получить их, следует просуммировать (с учетом знаков) числа всех элементарных процессов, при которых рождаются или унич­ тожаются квазичастицы данного сорта. При этом получаются вы­

где V и m! обозначают, соответственно, начальное и конечное со­ стояния для тех элементарных процессов, при которых рождают­ ся квазичастицы с klt а I" и т" — начальное и конечное состояния для тех процессов, при которых они уничтожаются. Выражение

При исследовании релаксационных явлений целесообразно проводить суммирование в (9.1.7) не по всем возможным элемен­

йк„ может войти и в условие сохранения импульса при элементарном про­ цессе, например в (9.1.6). Однако в интересующем нас круге проблем, где

464 ПРОЦЕССЫ РЕЛАКСАЦИИ [ГЛ . 9

элементарным процессам определенного типа, с тем чтобы выявить особенности данного типа процессов. Практически суммирование производится обычно по волновым векторам (или импульсам) квазичастиц, участвующих в процессах. Например, при вычисле­ нии производной dnnjdt, обусловленной трехчастичными про­ цессами типа (9.1.3) и (9.1.4), суммирование ведется по всем до­ пустимым значениям к2 и 1с3.

Наличие условий сохранения импульса и энергии ограничи­ вает области к-нространств, по которым фактически должно проводиться суммирование. В рассматриваемом примере трехчас­

из пространств к3 или к3. Наличие же скалярного условия (9.1.5) приводит к дальнейшему ограничению области суммирования не­ которой поверхностью в этом пространстве. Приведенные общие соображения будут проиллюстрированы на примерах в следую­ щих параграфах.

В правую часть уравнения (9.1.7) для числа квазичастиц с кх

процессов, в которых участвуют соответствующие квазичастицы; для них могут быть записаны кинетические уравнения, анало­ гичные (9.1.7). Задача сводится, таким образом, к интегрированию системы связанных уравнений и является очень сложной. Она су­ щественно упрощается, однако, если предположить,что все числа квазичастиц (л*„ щ-,, ...), кроме того, числа (щ-,), скорость из­ менения которого вычисляется, мало отличаются от равновесных

значений щ г пкг, ... Равновесные значения могут быть легко определены, если известна статистика квазичастиц. Для магнонов, а также фононов она является бозевской; полное число этих квазичастиц не сохраняется, и для их равновесных значений спра­ ведлива формула (8.4.22). Если для чисел nk„ ... принять равповесные значения, то правая часть уравнения (9.1.7) будет со­ держать только неизвестное щ, и это уравнение, как мы убедимся на ряде примеров, сможет быть представлено в виде

Величину 2шГі можно назвать частотой релаксации числа квази­ частиц в результате протекания всех тех элементарных про­ цессов, которые учитывались при суммировании в (9.1.7). Обрат­ ную величину тх = 1/(2озГ|) называют временем релаксации данных квазичастиц в результате протекания тех же процессов.