Файл: Гуревич, А. Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках.pdf

§ 9.2] СШ Ш -СІШ НОВЛЯ РЕЛАКСАЦИЯ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ 465

Поскольку числа магноиов (см. § 8.4) пропорциональны квад­ ратам амплитуд переменной намагниченности, эти амплитуды

убывают, стремясь к равновесным значениям, по закону e~“rlf. Величина со,і, определенная выражением (9.1.8), является, таким образом, частотой релаксации амплитуды колебаний. Она пред­ ставляет собой вклад в феноменологический параметр <вг (см. § 1.3), обусловленный всеми процессами, которые были учтены при сум­ мировании в кинетическом уравнении (9.1.7).

Итак, метод вероятностей переходов, основанный на неста­ ционарной теории возмущений, позволяет вычислить параметры диссипации, обусловленной определенными процессами взаимо­ действия данного типа колебаний магнитной системы с другими типами колебаний. При этом, кроме спектра и статистики всех

лаксации.

Мы ограничимся в дальнейшем рассмотрением неметалличе­ ских (но не обязательно непроводящих) кристаллов. Главное внимание будет уделено процессам релаксации в ферромагнети­ ках или ферримагнетиках (ферритах) — для низкочастотного («ферромагнитного») типа колебаний.

§ 9.2. Спин-спиновая релаксация в идеальном магнитоупорядоченном кристалле

Перейдем теперь к рассмотрению процессов релаксации, про­ исходящих в магнитной (спиновой) подсистеме магнитоупорядо­ ченных кристаллов. Квазичастицами, о которых шла речь в пре­ дыдущем параграфе, будут теперь исключительно магноны. В этом параграфе мы будем исследовать так называемые собственные процессы релаксации, которые могут происходить и в идеальном кристалле. Возмущениями, вызывающими такие процессы, будут все те виды взаимодействий, которые приводят к высшим: трех-, четырех- и более — магнонным членам в выражениях типа (9.1.2) для гамильтониана идеального магнитоупорядоченного крис­ талла.

Источники и типы процессов релаксации в идеальном ферро­ магнетике. В § 8.5, исследуя гейзенберговскую модель ферромаг­ нитного кристалла, мы'видели, что обменное взаимодействие при­ водит к появлению в гамильтониане членов (8.5.16) четвертого порядка по операторам рождения и уничтожения спиновых от­ клонений. Переходя от этих операторов к операторам рожде­ ния и уничтожения магнонов, можно получить [3, 244] члены

четвертого порядка вида *) (ср. с выражением (9.1.2))

Заметим, что обменное взаимодействие не дает членов третьего по­

рядка, а также членов четвертого порядка с â\â \ (см. выра­ жение (9.1.2)). Причина этого заключается в том, что для про­ цессов, описываемых такими членами, число магнонов не сохра­ няется и, следовательно (см. § 8.4), не сохраняется М г. Оператор же энергии обменного взаимодействия коммутирует с оператором

M z, и поэтому величина М г, являющаяся средним значением опе­

ратора М г, должна сохраняться при процессах, обусловленных обменным взаимодействием.

Диполъ-диполъное взаимодействие, которое не требует сохра­ нения числа магнонов, приводит к появлению в гамильтониане членов третьего порядка и членов четвертого порядка типа

йз й\. Как показал Ахиезер [274], переход в гамильтониане диполь-дипольного взаимодействия (1.1.50) к операторам âH и

ЛІ (которые в пренебрежении третьим преобразованием Хольштейна — Примакова — см. § 8.5 — являются операторами рож­ дения и уничтожения магнонов) дает члены третьего порядка

углы векторов k2 и k 3 (ось z, как обычно, направлена по постоян­ ной намагниченности). Заметим, что, поскольку формулы (9.2.2) и (9.2.4) справедливы при fen <^ 1, они могут быть получены так­ же [285], исходя из континуальной модели ферромагнетика.

Процессы с участием меньшего числа частиц, вообще говоря, более вероятны, но обменное взаимодействие гораздо сильнее ди­ поль-дипольного. Поэтому необходимо учитывать как трехмаг-

Элементарные процессы, лежащие в основе трехмагнонных процессов релаксации (рассматривается релаксация магионов

фс волновым вектором ki)

но можно пренебречь всеми остальными членами, обусловленными диполь-дипольным и обменным взаимодействиями.

Перейдем теперь к подробному рассмотрению трехмагнонных процессов. Их впервые исследовал Ахиезер в уже неоднократно упоминавшейся работе [274]. Затем их изучали Каганов и Цукерник [292], Ахиезер, Барьяхтар и Пелетминский [293], Спаркс, Лудон и Киттель [285], ПІлёманн [296] и др.

Следует различать два вида трехмагнонных процессов: так называемые процессы расщепления и процессы слияния (табл. 9.2.1). В основе их лежат одни и те же элементарные тройные процессы, но они различаются по характеру суммирования элементарных процессов и вследствие этого, как мы увидим, существуют в раз­ личных областях частот и волновых чисел и приводят к различ­ ным температурным и иным зависимостям параметров диссипации. Процессами расщепления принято называть такие процессы ре­ лаксации, для которых прямые элементарные процессы (ведущие к уменьшению неравновесного числа % рассматриваемых магноиов) суть процессы расщепления этих магнонов на любые (но, ко­ нечно, удовлетворяющие законам сохранения) пары магнонов. Обратными процессами при этом являются элементарные про­ цессы слияния (табл. 9.2.1). Процессами же слияния называют такие процессы релаксации, для которых прямые элементарные процессы суть процессы слияния рассматриваемых магнонов с лю­ быми другими, а обратными элементарными процессами являются процессы расщепления.

Трехмагнонные процессы расщепления. Рассмотрим сначала обусловленные диполь-дипольным взаимодействием процессы рас­ щепления. Для них матричный элемент гамильтониана возмуще-

4G8 П Р О Ц Е С С Ы Р Ё Л а Н С А Ц Й П Ітл. а

пия (9.2.3), соответствующий прямому элементарному процессу (табл. 9.2.1), согласно формуле (9.1.3), запишется в виде

с тем, что в матричный элемент рассматриваемого перехода вно­

ного процесса (табл. 9.2.1), согласно (9.1.4), будет иметь вид

Полная скорость изменения числа интересующих нас магнонов запишется, согласно (9.1.7), следующим образом:

■ = ~д—2~ 2 2 ^ ^>,г2+ 1) па + 113?3d I г і) и2, пзУ |а +

23

+I <«і + 1, па — 1, п3— 11Ж га I Щ , п2, п3> I2] б (ТкОі— Гт %— 7ш3),

(9.2.7)

где С0],2,з — частоты соответствующих магнонов. Множитель 1/2 перед суммой в (9.2.7) введен потому, что одинаковые в действи­

Примем теперь, в соответствии с общим замечанием, сделан­ ным в § 9.1, что числа н2 и я 3 не отличаются от их равновесных зна­

чений п2 и п3. Формула (9.2.8) будет справедлива и при их = пх, но в этом случае, конечно, dnjdt = 0. Учитывая это, мы убежда­ емся, что формулу (9.2.8) можно записать в виде(9.1.8) и частота релаксации (амплитуды колебаний)

^ = -T T 2 2 I W ( * 2+ и3+ 1) А (кх— k2— k3) б (Тші— Нщ—Йсо3). 2 3

(9.2.9)

Наличие в выражении (9.2.9) множителя А (кх — к2 — к 3) озна­ чает, что к 3 однозначно (кх задано) связано с к2, и следовательно,

суммирование фактически должно производиться только по зна­ чениям одного из этих векторов. Таким образом,

<Йг1 = —-JT- 2 I ^1,23 Р {п2 4" пз + 1) б (^щ1 — ^й2 — h(Ü3). (9.2.10)

2

Условие кх — к2 — к 8 = 0 должно теперь учитываться при записи амплитуды и дельта-функции.

Для вычисления частоты релаксации целесообразно перейти в (9.2.10) от суммирования по состоянии к интегрированию по к2-пространству, аналогично тому, как это было сделано при вы­ числении намагниченности и теплоемкости в § 8.4. При этом, как мы видели,

2 ha

Интегрирование будем производить в сферических координатах. И поскольку в данном случае будут играть роль лишь малые, по сравнению с 1/а, значения волнового вектора, верхний предел при интегрировании по /с2 можно принять равным ос. Тогда вместо (9.2.10) ползшим

о о п 2п

(öri = (2nhf I) ^ ^ I Ъ ,* I2 (п2+ пз + 1) X

кі—о Оі=о Фя=о

X б (а»! — соа — ю3) к\ sin 03d/c2<i02<iqp2. (9.2.11)

При записи (9.2.11) было учтено свойство дельта-функции (С — постоянная величина) [30]:

Выражение (9.2.11) справедливо для любых трехчастичных процессов расщепления в идеальном кристалле. Для магионов

числа п2и /г3могут быть определены по формуле (8.4.22), а зависи­ мости частот магнонов (входящих в эту формулу и в дельта-функ­ цию) от волновых векторов определяются дисперсионным соотно­ шением для спиновых волн, которое подробно рассматривалось выше.

Высокотемпературное приближение. Рассмотрим случай до­ статочно высоких температур, когда

Для процессов расщепления заданная частота ац является наи­ большей из трех частот (щ, <в2 и ш3, и (9.2.13) сводится к условию

х7’>Ггсо1. (9.2.14)