Файл: Гегузин, Я. Е. Очерки о диффузии в кристаллах.pdf

И при любой другой температуре. В области высоких тем-

ператур «нулевые колебания» вуалируются обычными

тепловыми, а в области низких температур, когда тепло­

вые колебания замирают, «нулевые» проявляют себя в

чистом виде.

Приведенные формулы и по лаконичности, и по тому

месту, которое они занимают в общечеловеческих знаниях

о природе, сродни ньютоновской формуле: сила равна мас­

се, умноженной на ускорение (F = т а ) , или эйнштей­

новской формуле: энергия, заключенная в веществе, рав­

на произведению его массы на квадрат скорости света

(.Е = т с 2).

Если иметь в виду кристаллическую решетку, то, не рискуя утратить присущую ей периодичность в располо­

жении атомов, прописку определенного атома в определен­

ном узле, мы можем допустить максимальную неопреде­

ленность координаты атома, не превосходящую параметр решетки Aх==Са. При этом в соответствии с принципами Гейзенберга атом будет двигаться, совершать «нулевые колебания», обладая при этом импульсом Р ~ hiа.

Вот теперь можно и о параметре де Бура. Им опреде­ ляется отношение среднего смещения атома из положения

равновесия &, колеблющегося в режиме «нулевых коле­ баний», к межатомному расстоянию

тельно,

a{2mW)"'‘

Для подавляющего большинства веществ параметр де Бура оказывается очень малым, значительно меньшим еди­ ницы. Есть, однако, и такие, для которых он близок к еди­

Если параметр де Бура существенно превосходит еди­

ницу, это означает, что вещество ни при какой температу­ ре не может существовать в кристаллической фазе, если

238

искусственно (приложением внешнего давления) не умень­ шить амплитуду нулевых колебаний и, следовательно,

уменьшить параметр Л до значений порядка единицы и

менее. Кристаллы, у которых параметр де Бура порядка единицы, называют квантовыми.

Итак, отметим, что параметр де Бура для легких ато­ мов, слабо связанных со своими соседями в решетке, мо­ жет оказаться близким к единице и даже превосходящим ее. Это обстоятельство играет определяющую роль в кван­

товой диффузии. Предсказывая ее, теоретики помнили о

больших значениях параметра де Бура.

Предсказания теоретиков

Вначале теоретики, видимо, рассуждали, исходя «из об­

щих соображений»: если амплитуда нулевых колебаний может оказаться сравнимой с межатомным расстоянием в регулярной решетке, то естественно предположить, что диффузионное, дрейфовое перемещение атомов в решет­ ке, и собственных и примесных, должно как-то почувство­ вать факт существования значительных нулевых колеба­

ний атомов. Должны, вообще говоря, существовать спе­

цифические особенности «квантовой диффузии». Это «об­

щие соображения», точнее, даже не соображения, а поддерживаемые интуицией надежды.

Конкретные соображения о квантовой диффузии, под­

крепленные расчетами, в 1969 г. были сформулированы со­

ветскими теоретиками А. Ф. Андреевым и И. М. Лифшицем. Они рассуждали так. В случае обычной классической

диффузии в обычном классическом кристалле диффунди­

рующему «дефекту» — вакансии или примесному атому — при каждом очередном скачке надлежит совершать «ге­ роический поступок». Количественной мерой «героизма» является высота потенциального барьера, который ограж­ дает дефект от ближайшей соседней позиции в решетке.

В квантовом кристалле, когда параметр де Бура близок

к единице, дефект из занимаемой им позиции может ухо­

дить вследствие «квантового туннелирования», не пере­

прыгивая через барьер, а как бы проходя под ним. Гово­

рят так: «подбарьерный переход» или «туннельный эф­

фект». При этом элементарный диффузионный акт пере­

стает быть термически активируемым, теряет черты «героического поступка».

239

Подбарьерный переход осуществляется не с Достовер­ ностью, а лишь с отличной от нуля вероятностью, но осу­

ществляется, п в квантовых кристаллах при низкой тем­

пературе он может оказаться основным транспортным ме­

ханизмом. В конечном счете туннельный эффект, как и

нулевые колебания,— прямое следствие принципа неопре­

деленности: при данной энергии частицы неопределен­

ность в ее координате может превзойти ширину области, ограниченной барьером, и с отличной от нуля вероятно­

стью «квантовая» частица может оказаться по ту сторону

барьера, там, где быть классической частице запрещено

категорически.

«Подбарьерными переходами» объясняются многие фи­

зические явления: а-распад ядер, когда а-частица поки­

дает ядро, «просачиваясь» сквозь потенциальный барьер-

отделяющий ее от внеядерного пространства; эмиссия

электронов из холодного катода и многие другие. И вот

теперь возможность «подбарьерного перехода» должна

быть использована для выяснения особенностей транс­ портных перемещений дефектов в кристаллах.

Локализованную в классическом кристалле вакансию

или локализованный примесный атом мы называем «де­

фектом», который, как и всякая классическая частица,

может быть охарактеризован точно определенными зна­ чениями координаты и импульса. Применительно к кван­

товому кристаллу, где из-за эффекта квантового туннели­

рования дефект теряет локализацию, термин «дефект»

стоит заменить иным. Андреев и Лифшиц это сделали —

предложили общий термин «дефектен». По их же предло­ жению этот термин разделяется на два: квантовому анало­ гу вакансии теоретики присвоили наименование «вакан­ сией», а аналогу примесной частицы — «примесон».

Наша задача состоит в том, чтобы, следуя за теорети­ ками, понять особенности движения дефектона в кванто­ вом кристалле, так как это движение собственно и явля­

ется квантовой диффузией.

При температуре, близкой к абсолютному пулю, де-

фектоны, перемещаясь «подбарьерно», могут блуждать по

кристаллу, сталкиваясь лишь с себе подобными. При ко­

нечных температурах, когда в кристалле «оживает» теп­

ловое движение, дефектоны могут также сталкиваться с

фононами — квазичастицами, носителями энергии тепло­ вых возбуждений в кристалле. С температурой плотность

240

фононов быстро растет, частота столкновений дефектен —

фонон увеличивается, и при некоторой температуре столк­

новения могут оказаться столь частыми, что дефектен практически будет фиксироваться в узле решетки, поте­ ряет свои привилегии нелокализованного квантового дефектона и превратится в локализованный классический дефект.

До этой «некоторой температуры» совокупность дефек­

тонов можно рассматривать как газ, коэффициент диффу­

зии в котором определяется соотношением, известным из школьных учебников:

Z)~ п 2т.

Винтересующем нас случае v — скорость движения де-

фектона, т — среднее время между двумя актами рассея­ ния дефектона на ином дефектоне или на фононе.

Так как с ростом температуры число фононов в едини­

це объема кристалла увеличивается (говорят так: растет плотность фононного газа), температурная зависимость

коэффициента диффузии дефектона главным образом опре­

деляется температурной зависимостью времени между двумя актами рассеяния дефектона на фононе (т,). Рас­ чет температурной зависимости величины X/ приводит к

формуле

X f = т0 (0/Г)9,

где 1/т0 = Vo = kQ/h. Величина 0 и v0 — характерные для

данного кристалла температура и частота колебаний ато­

мов, которые именуются дебаевскими.

Итак, если диффундирующие дефектоны рассеивают­ ся на фононах, то

В последней формуле содержится результат, противо­

речащий здравому смыслу, воспитанному на классической

физике: в области низких температур с понижением тем­

пературы коэффициент диффузии не убывает, а растет.

Вспоминается, что кто-то пз великих предупреждал: здра­

вый смысл может оказаться плохим советчиком в науках,

акто-то советовал беречься «плоского здравого смысла».

Вобласти высоких температур дефект с большой веро­ ятностью находится в определенном узле решетки, практи­

241

чески полностью локализуется и, как уже говорилось, пре­

вращается в классический дефект — вакансию или примес­

ный атом, теряя при этом основания и право именоваться дефектоном. Что происходит в этой области температур,

вии с классическим здравым смыслом растет с ростом тем­ пературы.

Между двумя предельными имеется переходная тем­

пературная область, где коэффициент диффузии от темпе­

ратуры практически не зависит. Она соответствует ситу­ ации, когда дефект уже можно рассматривать как почти локализованный, который, однако, просвечивается «под­ барьерно» с заметной вероятностью.

Мы пользовались явно не строгим понятием «некото­ рая температура», до которой совокупность дефектонов

можно рассматривать как газ. Уточним это понятие, оце­

ним «некоторую температуру» Т*. Для этого оценим ко­ эффициент диффузии в переходной области Da, где он не зависит от Т, и приравняем его к коэффициенту диффу­ зии при температуре, более низкой, чем интересующая нас «некоторая». От температуры он зависит по закону

А , - 1 !Т \

В переходной температурной области время локализа­ ции дефекта в узле решетки х~ШАЕ, где ДЕ — неопре­ деленность энергии дефекта, обусловленная неопределен­

ностью его импульса АР. Следовательно:

о h

дк

Г*~1О‘'10~2°К.

При Т < 2 ° К в Не4 коэффициент диффузии дефектонов

должен определяться рассеянием на фононах.

Необходимо еще раз обратить внимание читателя на то,

что все рассказанное о диффузии дефектона относится лишь к тому идеализированному случаю, когда движущи­

242

еся дефектоны рассеиваются главным образом на фононах.

В реальных условиях это, разумеется, не всегда имеет ме­

сто. Во-первых, это явно не осуществляется в металлах,

где значительный вклад в рассеяние дефектонов вносят

столкновения дефектона с электронами. В этом случае,

как выяснили теоретики, температурная зависимость ко­

эффициента диффузии дефектона оказывается более сла­

бой: D ~ l / T . Во-вторых, существенным может оказаться рассеяние дефектона на дефектоне, или для определен­ ности скажем так: примесона на примесоне.

Применительно к ситуации, когда взаимное рассеяние

примесонов оказывается существеннее рассеяния приме-

сонов на фононах, теоретики предсказывают две почти са­ моочевидные особенности коэффициента диффузии.

Первая особенность заключается в том, что при опре­ деленной концентрации диффундирующих примесонов, ниже температуры, когда примесойные столкновения ста­ новятся основным механизмом рассеяния, коэффициент

диффузии должен перестать зависеть от температуры. Фи­

зика утверждения ясна: с понижением температуры число

фононов уменьшается, а число примесонов остается неиз­

менным и, следовательно, неизменным остается среднее

время между двумя актами рассеяния, которые испыты­ вает диффундирующий примесон. А именно: это время, как мы знаем, и определяет коэффициент диффузии. Тем­ пературную область, где D не зависит от температуры, теоретики назвали областью «плато». Легко понять, что эта область может себя обнаружить при тех температурах, где коэффициент диффузии с уменьшением температуры

мог бы возрастать в связи с тем, что плотность газа фоно-

нов уменьшается, где, как иногда образно говорят, фононы «вымерзают».

Вторая особенность состоит в том, что, если концент­ рация С примесонов не очень велика, величина D должна уменьшаться с ростом С по закону D ~ i/ C . И здесь физика ясна. Чем больше С, тем чаще взаимные столкновения при­

месонов, тем меньше т и тем меньше D. Ситуация совер­

шенно аналогична той, которая имеет место в идеальном

газе, где D ~ i / n (п — число молекул в единице объема

газа). Требование малости концентрации примесонов ана­

логично требованию идеальности газа.

Итак, теоретики предсказывают, что если по темпера­ турной шкале опускаться сверху вниз, то коэффициент

243