ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 14.10.2024
Просмотров: 56
Скачиваний: 0
БЕСЦЕЛЬНАЯ САМОДИФФУЗИЯ
«Охота к перемене мест»
В этой главе рассказывается о блуждании атомов в соб
ственной решетке, |
где эти атомы как |
бы «дома». |
Для |
||
каждого |
из них |
в решетке |
уготовано |
удобное место. |
|
Но «охота |
к перемене мест», |
оказывается, свойственна |
|||
не только людям, но и атомам в решетке. |
|
|
|||
Такое |
блуждание — самодиффузия — происходит |
и |
|||
тогда, когда оно не приводит ни к каким видимым послед
ствиям,— свойства и структура кристалла остаются неиз
менными. Если, как в известной детской игре, дать атомам
команду «замри!», а после тщательно изучить строение
кристалла, то ни по каким признакам нельзя будет опре делить, что в нем происходило самодиффузионное пере
мещение атомов. Такой процесс осуществляется в «равно
весном» кристалле, свободном от любых неоднородностей.
В этом «бесцельном» блуждании камень с горы не катит
ся по той простой причине, что никакой «горы» нет! Про
исходит оно лишь вследствие флуктуаций энергии: эти флуктуации — причина образований вакансий, они же причина перескока атома в соседнюю вакансию или в со седнюю межузельную ячейку. Такой перескок и является элементарным актом самодиффузии.
Блуждание атомов в собственной решетке может ока заться и целенаправленным. Если в кристалле имеются какие-нибудь признаки неравновесности, направленное
перемещение атомов приводит к их устранению. В этом случае (вспомним аналогию: камни, скатывающиеся с го
ры) свободная энергия кристалла понижается, и он пере ходит в равновесное состояние. И всякий раз после оче
редной команды «замри!» окажется, что структура
кристалла изменилась, стала более совершенной.
Здесь уместно утверждение, которое звучит немного
курьезно: целенаправленность есть следствие множества случайных скачков атомов, или, по-другому, целенаправ-
34
Ленность осуществляется через случайность. Это означает, что каждый данный атом, совершая очередной элементар
ный скачок, подчиняется законам случая, он как бы со вершенно не информирован о той целенаправленности перемещения атомов, в которой нуждается кристалл и которая действительно осуществляется.
Скажем так: множество атомов диффузионно переме щается вдоль прямой, и каждый из них в очередном
скачке с равной вероятностью может сместиться слева
направо и справа налево. Если, однако, какие-нибудь при
чины делают целесообразным направленный поток атомов
«налево», число атомов, скачущих «влево», будет боль
шим, чем скачущих «вправо».
Целенаправленность оказывается характеристикой
движения не каждого из перемещающихся атомов, а их
огромного количества.
В этой главе будет рассказано о «бесцельной» диффу
зии, о «целенаправленной» рассказывается в других
главах.
Хаотические блуждания меченых атомов
Хаотичность — это точное определение закона (или, точ
нее, «беззакония»), которому подчиняется атом, блуждаю
щий при «бесцельной» самодиффузии. Действительно,
в очередной раз очередная вакансия может подойти к ато му с любой из возможных сторон и определить направле
ние очередного шага атома. Произвольность направления
очередного шага и подчеркивается словом «хаос». При этом путь любого атома, который мысленно отмечен укрепленным на нем флажком или реально отмечен его способностью излучать, не может быть ни предопределен, ни угадан. Казалось бы, на этом рассказ можно и окон чить, поскольку хаос есть хаос. Однако именно благодаря
тому, что направление очередного прыжка определенного атома в вакансию может быть произвольным и все воз можные направления равновероятны, можно установить
закономерности, которым подчиняется перемещение боль шого количества атомов. Полная неопределенность судь
бы одного атома дает возможность |
определить |
судьбу |
ансамбля многих атомов. |
будет интересовать, |
|
Задачу, которая нас сейчас |
||
легко пояснить на следующем простом примере. |
Пусть в |
|
|
2* |
35 |
обычный трудовой день из таксомоторного Парка одно временно выезжает большое количество такси. Каждое
из них движется, выполняя просьбу очередного случайно
го пассажира, и, значит, направление очередного рейса
совершенно произвольно и никак не зависит от на
правления предыдущего рейса. Так будет, если в этот
день нет события, которое привлечет к себе внимание
многих, например футбольного матча. Для простоты пред положим, что в каждый из рейсов такси проходят
по прямой одинаковые расстояния. Надо определить то
10
-0-0- - 6 - 0
-о -о —
|
6 |
|
|
|
|
|
-О-Ог#- |
|
|
|
|||
-О --- □ - |
|
|
|
|||
- 4 |
- |
0 - |
Рис. |
12. |
Распределение |
|
- d — |
• |
|||||
— о о - |
|
|
«блуждающих» точек после |
|||
|
|
того, как каждая из них |
||||
-□— <3- |
|
совершила |
десять (О) и |
|||
■ I I I 1 |
I |
I |
I I I I |
сто |
(# ) шагов. |
|
100 80 60 40 20 |
0 |
20 |
40 60 80 100 |
|
|
|
смещение, |
см |
|
|
|
||
среднее расстояние от таксомоторного парка, на котором
будут находиться такси через некоторе время. Заметьте, речь идет о всех такси, а не об одном из них. Судьба одного может быть совсем исключительной: скажем, за глохнет мотор и длительное время, в течение которого иные такси обслужат множество пассажиров, испортив шееся простоит на месте, или очередному пассажиру по требуется подряд сделать много однотипных рейсов, на
пример таких: дом — вокзал, дом — вокзал... Или так: очередной пассажир окажется опаздывающим на работу сотрудником таксомоторного парка и попросит отвезти
его в парк... Но чрезвычайно маловероятно, чтобы такая исключительная судьба постигла все такси, равно как ма ловероятно, чтобы все они устремились далеко за город,— день ведь трудовой, а не праздничный. Именно потому,
что исключительная судьба атома (или такси) очень маловероятна, задача о среднем расстоянии группы ато
36
мов (или такси) от исходной позиции приобретает смысл.
Решение этой задачи не настолько просто, чтобы сле довало излагать его в популярной книге, и поэтому мы поступим так: опустив ход решения, запишем результат, а затем экспериментально убедимся в его правильности.
Результат предельно прост:
|
Хп = па2. |
Он |
означает, что если величину смещения каждого |
из |
атомов после п скачков на одинаковые расстояния а |
Рис. 13. Зависимость хп от
п, точки G I |
| соответст |
вуют этапам, |
которые изо |
бражены на |
рис. 12. |
возвести в квадрат, а затем вычислить среднюю величи ну этих квадратов х„2, то окажется, что она пропорцио нальна числу скачков.
Слово «скачок» появилось потому, что от такси мы
уже перешли к атомам. Так как время ожидания очеред
ного скачка т (или время «оседлой жизни») в среднем постоянно, и за время t атом совершит n = t/ т скачков, приведенное уравнение можно переписать в другом виде, более для нас удобном:
А теперь эксперимент. Заставьте хаотически блуждать
10 точек, потребовав, чтобы каждая из них двигалась
только вдоль прямой: когда брошенная монета падает «орлом» — шаг вправо (например, сантиметровый), «ре
шеткой» — такой же шаг влево. Пусть каждая точка сделает 100 шагов. После того как все точки сделают
37
одинаковое (допустим, десять или сто) число шагов, надо величину смещения в сантиметрах каждой из них возве
сти в квадрат, эти квадраты просуммировать и разделить
на число точек, т. е. на 10. Так будет найдена величина
Хп. Затем такой подсчет надо повторить при нескольких
других значениях числа шагов, вплоть |
до ге=100. По |
строив график зависимости х п2 от п, вы |
убедитесь, что, |
как это и предсказывает формула, которую мы записали,
поверив в ее справедливость, х„2 линейно увеличивается
с ростом п. Такой эксперимент мы сделали, и его резуль таты изобразили на рис. 12 и 13. Ушло на это два часа,
трудились вдвоем, я бросал монету, товарищ вел записи;
затем мы построили график зависимости х п2 от п.
Хотелось бы в координатах х п2 и п получить прямую — согласно формуле, именно прямая и должна быть. На на
шем графике точки, не ложась точно на прямую, рассы
паны рядом с ней. Это естественно, так как слишком
мало точек и шагов, слишком мала статистика для того,
чтобы вероятностные |
законы обрели точность. Однако и |
в нашем опыте (всего |
10 точек, каждая по 100 шагов) |
закон х „2 ~ п себя проявил.
Итак, оказывается хаос не хаос! В нем скрыты стро
гие закономерности, которые себя |
отчетливо проявляют |
в процессе хаотических блужданий |
атомов — тем отчет |
ливее, чем больше атомов и чем большее число неупоря доченных скачков совершает каждый из них.
Что движется — атом или вакансия?
Был и другой вариант названия этого очерка — «О спо собе выражаться», и я не уверен в том, что выбрал луч
ший.
Вот два способа рассказать о том, что может про изойти в партере, когда потухнет свет в зале, если край
нее место первого ряда окажется свободным.
Способ первый. Зритель, сидящий во втором ряду, за свободным креслом пересядет в первый ряд, оставив свое
кресло пустым. Зритель, сидящий в третьем ряду, пере
сядет в освободившееся кресло второго ряда, освободив
при этом свое кресло. Зритель, сидящий в кресле четвер того ряда, пересядет в освободившееся кресло третьего ряда, освободив при этом свое кресло. Далее надо расска
зе
зать о том, как будут себя вести зрители пятого, шестого,
седьмого и следующих рядов. В конце рассказа следует обратить внимание на то, что зритель из последнего ряда
пересядет в освободившееся кресло в предпоследнем ряду, освободив кресло в последнем ряду. Главный герой этого рассказа — зритель. Мы все время следим за его поведе нием. И хотя зритель безлик, в последовательном повес
твовании должны быть упомянуты зрители всех рядов
от второго до последнего.
Способ второй. Пустое кресло переместилось из перво
го ряда в последний.
Вторым способом описано то же событие, что и пер
вым. При этом краткость описания достигнута благодаря
тому, что неодушевленному креслу присвоена способ ность перемещаться. Конечно же, перемещались зрители,
а не пустое кресло, но оказалось удобнее (не более того!)
описать сложное событие, прибегнув к образу движущего
ся кресла.
Диффузионное блуждание атомов с помощью так на
зываемого «вакансионного механизма» — в |
случае «бес |
цельного» и в случае целенаправленного |
блужданий — |
происходит следующим образом. Если в непосредствен
ном соседстве окажутся атом и вакансия, то при необхо
димой флуктуации энергии атом сможет перескочить в соседнюю вакансию. В результате этого акта соседство не нарушится, произойдет лишь обмен местами между реаль
ным атомом и «атомом пустоты». Соседство нарушится
тогда, когда какой-нибудь другой атом из числа окружа
ющих вакансию поменяется с ней позициями. В последова
тельности актов обмена позициями между атомами и ва кансиями вакансия будет удаляться от атома, с кото рым вначале была в соседстве, а атом сможет сделать очередной шаг лишь после того, как рядом с ним окажется другая вакансия. Два рассказа о событии в партере, где одно кресло оказалось свободным, свидетельствуют о том, что описанпе сложных судеб множества атомов можно за
менить описанием движения вакансий. Это во мпогих слу
чаях оказывается удобным п полезным.
Два способа описывать диффузионное блуждание с
помощью вакансионного механизма можно использовать для получения очень важной формулы.
Так как скачок данного атома или вакансии — событие случайное и, следовательно, оно может произойти или не
39