ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 106
Скачиваний: 0
Рассмотрим теперь случай, |
когда расслоение |
I |
У является |
||||||
|
т |
Ъ,г |
|
|
|
|
|
|
|
суммой |
одномерных комплексных расслоений, |
и вычислим |
|||||||
|
!'=1 |
|
Чжэня сѵт (ѵ ® |). Так |
как |
ѵ ® £ = |
||||
характеристический класс |
|||||||||
P“ іТП |
|
|
|
р - і |
т |
|
|
|
|
= У* |
Ул |
Z4 ® |
Er, то срт |
(у ® |
Е) = IJ |
II сх (Z9 |
(g) £г). |
Заметим |
|
5 = 0 |
г= 1 |
|
|
|
д = 0 |
г=1 |
|
|
|
теперь, |
что |
с, (lq ® | г) = |
сх (Z9) + Cl (jr) + S Œ|, ,Cl (lqÿ -с, (gr)3', |
где |
j — коэффициенты |
формальной группы геометрических |
|
коборднзмов. |
Обозначим через А подкольцо в Qy, порожденное |
||
элементами a L j. Так как |
сх (lq) = [Cl (Z)],, то в кольце U* (Ц1,) |
||
элемент сх (Z9) можно представить в виде полинома от сх (Z) с коэф- .
фициентами из кольца А. Таким образом, в кольце |
U* (Lp х Y) |
|||||||||||
имеет место формула |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(6.1) срт (ѵ ® |
Е) = ст (Е) (ат + ст {1У~Х+ 2 |
ат -И аш(уп) Sa (g)), |
||||||||||
где |
а |
= |
сх (I) |
. . . |
Ci (Zp_1), |
Sm (£) — характеристический |
класс |
|||||
расслоения £, |
соответствующий разбиению |
со= (іх, . . |
., ih), |
|||||||||
I ® |
I = |
S |
Z f i » |
и а ш ( Vn ) 6 |
U * ( L p n + 1 ) — |
П О Л И Н О М О Т |
Vn = |
Ci ( Z ) |
||||
с коэффициентами из кольца A. |
|
|
|
|
|
|||||||
ла |
Используя |
принцип |
расщепления, |
получаем, |
что |
форму |
||||||
(6.1) |
верна |
для |
любого |
комплексного расслоения. |
Важным |
|||||||
следствием формулы (6.1) |
является |
|
|
|
|
|
||||||
Т е о р е м а 6.2. Пустъ элемент а £ Ü2q (X ) представлен отображением /: 2 2га X TBUq+m; тогда в кольце U* (L£ X X) имеет место формула
а.т Р > = cfl+ma + 2 o9+m-l “ law(yn) s» (а).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть т]дг — BUN — универсальное комплексное ТУ-мерное расслоение. По определению, P„Nu (лд) =
= X*PjNnu (т)дг) = X*UJ T]WI J, (п))^Так как К = Ы, то PlN и (л.д) =
= |
Х*и (d*y\N,£ (п)) = |
\*и (u ® Ц д г ) . |
Обозначим |
через |
ip |
Lp X |
||||
X |
BUN ^ |
ТцN и Z2: Lp X BUN |
T (v ® ЛлО |
нулевые |
сече |
|||||
ния расслоений. По построению, Хіх — |
і2. Учитывая теперь, что |
|||||||||
і*и Oliv) = |
CJV Oliv), |
(v <g> ЛлО = |
Cpд г |
(v ®ЛлО и |
формулу |
(6.1), |
||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Іхр2Нц ( т ] д г ) = ІіХ*и (v ®Ліѵ) — С р д J (v ® т | д г ) |
= |
|
|
|
||||||
|
|
= |
CN (Ллт) |
( 0 N -f- С д г 0lw) p_1 -4- |
2 |
d a |
(Vn ) S a |
(T]w)) = |
||
|
|
= |
l*u Oliv) y N+ cN 0w)P_1 + |
S |
trw-! » lot* (yn) Sa (г|д,)). |
|||||
Так как гомоморфизм і* является мономорфизмом, то |
|
|
||||||||
(6.3) |
Р1*и (іід.) = и (тідг) oN+ и (лЛ.) ск (Лд)р_1 + |
|
|
|||||||
Пусть |
теперь и (т) Ç U2m (S 2m) SË Z — образующий. Если |
эле |
|||
мент |
а представлен |
отображением |
/: 2 2mZ |
TBUq+m, |
то |
j*u{r\a+m) = и{т)-а. |
Следовательно, |
п)*РЦч+^фig+m) = |
|||
= Г* (Рйт и(п»)-^(а)), где Г: (LJ* U *) Л S 2m/ \ Х ->■ (Lp U *) Л
Д S m Л (L£ [J *) Л X. |
Применяя |
формулу |
(6.3) и |
учитывая, |
||||
что |
по |
определению |
и (r]w) <5т (т],у) |
= s^u (ц ^ ) |
и |
что |
sau (т ) = О, |
|
если |
I |
со |
I > 0, получаем |
|
|
|
|
|
(6.4) |
|
|
Х*ЕѴ(/, п)*Р2^+т)и (т)9+іѵ) = öq+m-u (т) а + |
|
||||
|
|
|
+ 2 |
ст5+т_| “ 'аш(ѵп) и (т) sa (а). |
|
|
||
Элемент |
и (т) представлен вложением SZm er |
TBUm, поэтому |
||||||
из формулы (6.4) следует, что |
|
|
|
|
||||
(6.5) |
|
|
|
P2mu (т) = |
о™и (т). |
|
|
|
Так как гомоморфизм умножения на элемент и (т) является изо морфизмом U* (Lp X X) U* (SZmД (Lp X X)), то, приравни вая правые части формул (6.3) и (6.4), получаем доказательство теоремы. н
Обозначим через ѵп первый класс Чжэня канонического рас
слоения над Lp и через Ѳ (ѵп) — элемент кольца U° (Lp), |
который |
|||||
|
|
|
|
|
[X] |
[ ЫІ |
получается после подстановки в формальный ряд — |
||||||
вместо X класса ѵп. Для того чтобы эффективно использовать фор |
||||||
мулу теоремы 6.2, необходима следующая техническая |
|
|||||
Л е м м а |
6.5. Пустъ |
Ъ Ç Uq (Lp X X ). |
Если |
bvn = 0, то |
||
существует элемент X £ Uq (X ), такой, что Х% (уп-і) |
= jnb в коль |
|||||
це U* (Lp-1 X |
X), где jn: Lp-1 X I с Lp X |
I |
— вложение, инду |
|||
цированное стандартным вложением Lp-1 er Lp. |
|
|
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Рассмотрим |
вложение L™ er L™+”, |
||||
индуцированное вложением комплексных |
пространств |
Ст+1 а |
||||
с : Ст+п+1. Пространство Lp+n/L™ гомеоморфно пространству Тома расслоения (т 1)-| над Lp-1, где £ — расслоение, сопря женное с каноническим расслоением I. (Доказательство этого утверждения дословно совпадает с доказательством леммы 1 гла вы VIII, в котором действие группы S1 = {z £ С1, | z | = 1} заме нено на действие подгруппы ZpcrÆ1). Следовательно, если /: Lp X X с Lp X X — вложение, индуцированное вложением L%er
er L% |
то |
факторпространство L£ X XIЦ, Х |
І ^ ((L£/L£) X |
||
X |
Х)ІХ |
гомеоморфно |
пространству Тома Т \ |
расслоения £ = |
|
= |
я*| |
над |
Lp-1 X X, |
где ях: Lp“1 х !->■ Lp-1 — проекция. |
|
Пространство Тома Т\ гомеоморфно пространству Тома ТІ, и поэ тому пространство Lp X XILp х X можно отождествить с про
странством ТІ. Рассмотрим следующий отрезок точной последова-
тельиости пары (Ц] X X , Ц, X X): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
t/9-1 (L° |
X X) |
Л |
Я9 (Lp X X, |
L°p Х Х ) Х |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-»■ |
u q (LjJ |
X |
X) ->- . . .. |
|||||
Композиция |
стандартного |
вложения |
/п: Lp- |
1 |
х |
X er Lp |
X X |
|||||||||||||||
с проекцией на факторкомплекс 7 |
: Lp |
х |
X |
Lp х |
X/Lp х |
|
|
|||||||||||||||
= |
LZ совпадает |
с нулевым |
сечением |
Z: Lp- 1 |
X |
X |
|
|
Tl |
расслое |
||||||||||||
ния |
|
Z, |
поэтому |
если |
прп |
|
помощп |
изоморфизма |
Тома |
|||||||||||||
С/ 3 - 2 (Lp- |
1 X |
X) -V Я^ (LZ), а ->• а-і7п_і, |
заменить в точной после |
|||||||||||||||||||
довательности |
группу |
Uq (Lp X X, |
L“ |
X X) |
на |
группу |
||||||||||||||||
Я3 |
- 2 |
(Lp- |
1 X X), |
то гомоморфизм 7 * заменится на гомоморфизм |
||||||||||||||||||
7 *: |
Z73 |
-2 JLp_ 1 X |
X) — Z79 |
(Lp X X), |
7 * (а) |
= |
а-уп |
(напомним, |
||||||||||||||
что |
і*п (Z) = |
Ci (Z) = рп_і и jnVn = |
y,,-]). Вычислим |
теперь |
гомо |
|||||||||||||||||
морфизм |
Ô: |
Z73 - 1 (L° X X) |
Я9 |
(L" |
х |
X, |
L« 1 |
х |
X). |
Так |
|
как |
||||||||||
Lp = iS'1 /Zp, |
то |
имеет |
место |
|
изоморфизм |
|
Я* (Lp х |
Х ) ё |
||||||||||||||
= |
Я* (S1) 0 |
н |
Я* (X). |
В |
точной |
последовательности |
пары |
|||||||||||||||
(Lp X X, |
L“ |
X X) все группы |
являются, очевидно, |
модулями |
||||||||||||||||||
над |
кольцом |
Я* (X), |
а |
все гомоморфизмы — гомоморфизмами |
||||||||||||||||||
Я * (Х)-модулей. |
|
Группа |
|
Я* {L% X X) |
является |
одномерным |
||||||||||||||||
U* (Х)-модулем с образующим і Ç Z71 |
(51), поэтому для вычисле |
|||||||||||||||||||||
ния гомоморфизма ô достаточно |
знать вид только элемента ô (1 ). |
|||||||||||||||||||||
Применяя преобразование Z: Я* ( ) |
Я* ( ; Z) к |
|
исследуемому |
|||||||||||||||||||
отрезку |
точной |
|
последовательности |
пары |
(Lp X X, |
L°p |
X |
X) |
||||||||||||||
и |
учитывая, |
что |
Я 1 |
(S1) = |
Z, |
Я 2 (LJ, |
S1) = |
Z, |
Я 2 (LJ) = |
Zp |
||||||||||||
в случае, когда X — точка, получаем коммутативную диаграмму |
||||||||||||||||||||||
точных последовательностей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Я1 (S1) Л |
Я2 (Lp, |
S') |
X |
Я2 (Lg) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
I |
|
|
|
il |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
l |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<ô] |
|
|
|
t y * |
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
Так как элемент Zyn является образующим группы |
Я 2 |
(Lp), |
то |
|||||||||||||||||||
гомоморфизм |
Zy* |
является |
эпиморфизмом, |
и, |
следовательно, |
|||||||||||||||||
ZÔ(і) = |
ра, где а |
— такой образующий |
группы Я 2 |
(Lp, 5 1), что |
||||||||||||||||||
Zy* (а) |
= |
tvn. Отождествляя, как обычно, группу Я 2 |
( ; Z) с груп |
|||||||||||||||||||
пой линейных комплексных расслоений (относительно тензорного умножения расслоений), получаем, что над пространством Lp/S1
существует линейное расслоение Zx, такое, что y*lL = |
I. |
Так как |
||||
V — тривиальное |
расслоение (ct (Zp) = 0), |
то у*Zf = |
0. |
Следова |
||
тельно, у*и (Zf) = |
0 и для некоторого числа g выполняется равен |
|||||
ство ô (ді) |
= |
и (Zf). Имеем д-ра = ZÔ(ді) |
= tu (Zf) = |
ра, следо |
||
вательно, |
g = |
1 и 5 (i) = а (Zf). Так как |
i*Zx = Z, где Z: L) ) - 1 |
|||
L (Z) — нулевое сечение, то Ф_1б (i) = |
Ѳ(у„-х), где Ф — изо- |
|||||
морфизм Тома Uq~2 (Lp-1) Uq {Tl). Таким образом, если в точ ной последовательности группу Uq (Lp х Z, Lp х Z) заменить на группу W-* (L""1 х X ) , а группу U9-1 (S1 Д X) на группу Uq~2 (X), то гомоморфизм ô заменится на гомоморфизм ô: Uq~%(Z)->- Uq~2 (Lp-1 X Z), ô (a) =а - Ѳ (у„-і). Точность последователь
ности |
|
Uq~2 (X) |
ü q-2 (Lp-1 X X ) ^ C/5(Lp X Z) |
доказывает лемму, |
g |
Пусть A — как и выше, подкольцо с единицей в Qy, порож денное коэффициентами формальной группы геометрических ко бордизмов. Основным результатом настоящего параграфа является
Т е о р е м а 6.6 (Квиллен [1]). Для любого конечного связного клеточного комплекса X имеет место изоморфизм
|
|
|
|
Ü* (X) es; А • |
2 |
Uq (X). |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
q > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Положим |
£/ev (Z) |
= |
2 |
U2q ( Z ) , |
|||||||
- |
ОО< |
<7 |
< |
ОО, и R = |
А . у , и 29 (Z), |
q > |
0. Так |
как Ü*(X) s* |
|||||
^ |
Z/ev (Z) |
+ |
£/ev(2Z), |
то |
теорема |
будет |
доказана, |
если |
будет |
||||
доказан |
изоморфизм £/еѵ (Z) ^ R |
для |
любого |
Z. |
|
Для |
этого |
||||||
в |
свою |
очередь достаточно |
доказать, что |
Uev (Z)(P) ^ |
R(P) |
для |
|||||||
любого простого р, где индекс (р) у группы означает, что рас сматривается тензорное произведение этой группы на кольцо целых /7-адических чисел.
Предположим по индукции, что уже доказан изоморфизм R(р)3^ Ufä3 (X) дляі < q. (Для q = 0 этот изоморфизм очевиден.) Пусть a Ç Ü~2q (X). Согласно теореме 6.2, для некоторого тъ коль це U* (Lp X Z) имеет место формула
(6.7) |
amPn2qa = |
om~qa + |
2 от~ч-Маа (vn) sa (а), |
|
|||
|
|
[а |> 0 |
|
|
|
|
|
где |
а ш(ѵп) — a m(х) U=Dn, |
а ш (х) £ ^4 Д[ж]] |
и |
a = |
а>[ж]2 . . . |
||
. . . Ыр_х ]ж=Вп . |
Так как |
х [х]2 . - - |
Ыр-х |
= |
(р — 1)! æp-1 + |
||
+ о (хр) и для простого числа р число |
(р — 1)! |
взаимно просто |
|||||
с р, |
то существует формальный ряд £ (х) £ Л(Р) Их]]-, |
такой, что |
|||||
жр-1 = (х Ы 2 . . . Ыр-і) £(æ). Следовательно, ур_1 = ст£; (і?„). По предположению индукции, sa(a) £ К для всех со с | <в| > 0 , поэ тому из формулы (6.7) следует, что существует формальный ряд
ф (х) £ R(p) [[а:]], |
такой, что в кольце U* (Lp х Z) выполняется |
равенство |
Vn (aqPn2qa — а) = ф (ѵп). |
(6.8) |