Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 108

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Возьмем п ~ t л предположим, что t ^ 1 — наименьшее целое число, для которого имеет место равенство типа (6.8). Рассмотрим

кольцевой гомоморфизм

г*:

U* (Ь1Ѵ х X)

 

U* (Х)4 индуциро­

ванный

вложением *

х

X c z

Ь р X

X,

и применим

его

к

обеим,

частям равенства (6.8). Так как i*vt '=

0, то ф (0) =

О и, следова­

тельно,

ф (X)

= агф! (X),

где

фх (a:) Ç R (V) [[а:]]. Таким

образом,

 

 

Vt {v\~l (aqP t 2qa — а) — фх (у()) =

0.

 

 

 

Следовательно, согласно

лемме

6.6,

существует

элемент

X £

6 U2i' 2~2q (Х)(Р), такой, что в кольце U* (L ip~i

X

Х)(р) выполняет­

ся равенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.9)

v\z\ ( oqPr~ïa — а) = фх (ѵ^г) +

ХѲ (vt-J.

 

 

 

Рассмотрим

кольцевой

 

гомоморфизм

е*: £/* (Lp-1

х

X)

 

U* (Lp“ *), индуцированный вложением

Lp-1 х * ci Lp“ 1 х

X

и применим его к обеим частям равенства (6.9). Так как г* (а)

=

= 0, то

е*А,*Ѳ(уг_1) = 0.

Таким

образом,

v\Z\(aqPï3qa — а) =

= ф^Уі-і) +

ЯѲ(Уг-і),

где

X = X —

 

С/2І~2"2®( x \ v).

Если

t > 1, то по предположению индукции X £ і?(Р) и,

следовательно,

фі (а:) +

Я.Ѳ(а;) £ Л(р) [[а:]],

 

что

противоречит

предположению

о минимальности t. Итак, остается только случай t

=

1. Применяя

гомоморфизм і* к обеим частям равенства, получаем в группе U~2q (Х)<р> равенства

—а = фх

(0) +

рХ,

если q >

0,

ар —а — ф1

(0) +

рХ,

если q =

0.

Пусть q > 0. Так как а — любой элемент группы £/“2î (X), та Ù~2g (Х)(р, с: Л(р)2? + pU~2q (Х)(р). Но абелева группа^/-27 (X)- является конечно порожденной (см. главу VII), поэтому U"24 (Х) = = Л(р)?. Пусть д = 0 ; тогда а = ар — фх (0) — рХ = ( а? — фх (0)—

— рХ)р — Фі

(0) — рХ =

. . . и,

следовательно,

а Ç Щѵ) +

+ pU° (Х)(р), так

как в кольце

Ü° (X) для

любого

элемента и

существует

число

іѴ,

такое,

что aN = 0.

Таким

образом,

Ü° (Х)<р,

L(p). Шаг индукции

завершен,

ш

 

Рассмотрим теперь универсальную одномерную формальную группу F0 (X, у) над кольцом А 0 = Z [а1? . . ., ап, . . .] и обозна­ чим через %: А 0 кольцевой гомоморфизм, соответствующий формальной группе геометрических кобордизмов.

С л е д с т в и е 6.10 (Квиллен [1*]). Гомоморфизм %является изоморфизмом.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Имеет место изоморфизм надстройки ■Qu = Uq+1 (S1), поэтому непосредственно из определения групп кобордизмов Q?/ ^ £2^? следует, что Ü1 (S1) ^ Z и Üq+1 (S1) — О, если q ;> 1. Согласно теореме, U* (S1) ^ А ; 2 ^ ("S'1)- Таким

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<І>0

 

 

образом, Qu =

U* (S1) ^

А,

и,

следовательно, гомоморфизм %

является

эпиморфизмом.

 

Ьп,

. . .]. Рассмотрим мультипликатив­

Пусть В = TL [Ьц

. . .,

 

ное преобразование

t: U* ( ) — Н* ( ; Z), определяемое ориен­

тацией комплексных расслоений в Z-когомологиях, и обозначим

через

tù U* ( ) -*■ Н* ( ;

В)

композицию

преобразования

t

и преобразования Н* ( ; Z)

 

Н* ( ; В), индуцированного вложе­

нием Z

В,

1

 

1.

 

Так

как

^ |q^ = 0,

если

q Ф 0,

то

tx,* LFI (х, у)

=

X +

у. Над кольцом В

формальная группа х

+ у

■сильно

изоморфна

формальной группе

Fx (х , у) =

ср-1 (ср (ж) +

+ ср (у)),

где ср (х)

=

X +

'^Ьіхг+1, поэтому, согласно теореме 3.2,

существует

мультипликативное

преобразование

ф: U* ( ) —>■

Н*

(

; В),

такое,

что

 

ф* [F\(x, у)

= Fx (х, у).

Рассмотрим

теперь

 

композицию

 

гомоморфизмов

X

'!>.

 

как

 

 

А 0 -*■ £2^ — В. Так

[^оі (х,У)

= Ф* [Л

(х,у) = Л

(ж, г/), то

из построения груп­

пы .F«, {х, у) следует, что композиция гомоморфизмов ф* %совпадает

с стандартным вложением А 0 с

5 .

Таким образом,

гомоморфизм

■ф* X является мономорфизмом,

и,

следовательно,

гомоморфизм

X — мономорфизм, ц

 

 

 

Обратим внимание, что в доказательствах теоремы 6.6 и след­ ствия 6.10 из априорной информации об алгебраической структуре кольца £2ц использовалась только конечная порожденность групп

Qb- Следовательно, методы теории кобордизмов и теории формаль­ ных групп дают новый метод вычисления кольца £2У. Этот метод, используя геометрическую природу теории кобордизмов, привле­ кает для их исследования алгебраическую теорию формальных трупп. Благодаря следствию 6.10 нетрудно сформулировать результаты о кольце £2^ из главы VII как некоторые результаты о структуре формальной группы. Теперь, например, следствие на стр. 125 легко получить из теоремы 1.10. При вычислении вида формального ряда F (х, у) (см. § 3) естественно возникли много­ образия Милнора. Это позволяет утверждать, что большая роль их в теории кобордизмов в действительности является отражением той фундаментальной роли, которую играет формальная группа геометрических кобордизмов.

В доказательстве следствия 6.10 участвует мультипликативное преобразование ф: £/*()-*- Н* ( ; В), которое, согласно теоре­ ме 3.2, задается своим значением фс! (I) — ф (ct (Z)), где ф {х) —

такой ряд, что фф (х) = х и ф (х) = х + 2 ЪіХі+1. Так как А 0 ^

=

и -40<g>(Q,3É.B®Q,,

то гомоморфизм ф ® Cl: U* (X ) ®

® Q

Я* (X;

В ® Q.) для

X —точка является изоморфизмом.

Следовательно,

гомоморфизм ф ® О, является изоморфизмом для

всех

конечных

клеточных комплексов (это легко доказывается

с помощью индукции по числу клеток комплекса). Заметим, что по построению ряд ср (я) является логарифмом группы F0 (х, у).

Отождествим кольца А 0 и Qy. При конкретных вычислениях в теории комплексных кобордизмов часто бывает полезно знать явный вид логарифма формальной группы геометрических кобор­ дизмов. Конечно, этот вид зависит от выбора канонического клас­

са Тома и (I) 6 U'2 (СР (°°))> но он однозначно восстанавливается, если фиксировать вид формальной группы.

Т е о р е м а

6.11 (Мищенко, см. приложение 1 работы Нови­

кова [6]). Для

формальной группы

геометрических кобордизмов

 

F (*» У )

Д + У+

 

 

С Р ( х ) С Р (у)

 

 

логарифм gF (х) имеет вид х + У,

Æ,)+1.

Х-і п 4 - 1

До к а з а т е л ь с т в о . Согласно доказательству леммы 1.1, имеет место формула

 

 

d x

 

 

 

д Р { х ,

у)

 

Следовательно,

д у

у = 0

 

 

 

 

 

dgF (х) =

С Р

( X) d x

 

 

W r , l ] - [ С Р (1 ) ] [ С Р

( г - 1 )]) ХТ ‘

 

1 + 2

Легко показать, например сравнением чисел Чжэня, что [НтJ =

=

(!)1 №Р (г — !)]•

Следовательно,

dgF (х) = СР (х) dx

И gF

(X) = х + У , Ш Ш

у.П+1

 

 

Для полноты изложения сформулируем следующий результат:

Т е о р е м а

6.12

(Бухштабер

[1*]). Отождествим кольца

В ® ы,

и Qy ® О,.

Тогда

преобразование ф: U* ( ) —

Д" н * ( ;

Qy ® Q,) совпадает с

характером Чжэня — Дольда

chy. Я* (X) —V Я*

(X ; Qy (gi Cl), который полностью определяет­

ся тем, чтд при X

— точка он представляет собой стандартное

вложение

0,и с

йу ® Û.

 

Ряд gŸ (х) = ф (х) имеет вид

где

[ЛЯ"] = сх (£n+1)

Ç Я2 (1S,2,l+2) ^

Qû2", причем Sa [Л/2’!] = О,

со Ф

(п), и S (n) [АТ2'1}

— —(п + 1)!,

где £І1+1 — образующий груп­

пы

KP (S2n+2) и

Sa [AT2'1} — числа

Чжэня

многообразия ЛЯ",

вычисленные через

нормальное расслоение.

 

С л е д с т в и е .

Отождествим кольцо Б

с кольцом /J* (MU).

Тогда гомоморфизм ab*: Q,, — В совпадает с гомоморфизмом Гуре­ вича я» (MU) //* {ATU).

Чтобы продемонстрировать возможности исследования групп комплексных кобордизмов методами теории когомологий U* ( ), приведем два примера.

I. Новый способ доказательства отсутствия кручения в груп­

пах Qu- Рассмотрим корасслоение S1- ^ S 1—>S1\jpD2, где р — отображение степени р, и соответствующую ему точную последо­ вательность в кобордизмах

Я9 (S1 Up Я2) —> Я9 (S1) Я9 (S1) —->. . . .

Обозначим через а образ элемента а при изоморфизме Qjifm-*- jj-2in+\ Если р* (а) = 0, то существует элемент ß 6 € U~2m+1 (S1 Up Я 2), такой, что i*ß = а. По теореме 6.6 элемент

ß можно представить в виде ?ціі 4- Х2і2 і где tg Ç Uq (S1 Up Я2),

с} =

1,

2.

Так как

U2 (S1) = 0,

то

£* (і2) = 0, и поэтому a =

= i*ß

=

XJÏ* (ij). Таким

образом,

если а Ф 0,

то г* (іх) Ф 0.

Так

как

і* (ц) Ç U1 (S1) ^

Z, то

і* (ц) =

уі,

где

і — образую­

щий

группы

Я1 (S1),

а у — целое

число.

Так

как ру Ф 0, то

р*г* (ц) Ф 0,

что

противоречит

точности

последовательности.

Следовательно, a = 0. э

 

 

 

 

 

 

II. Исследование

структуры Qu-модулей Я* (X). В параграфе

«Комплексные бордизмы» гл. VII доказано, что если у комплекса X

группы H q (X; Z), q ^

0, не имеют кручения, то группа бордиз-

мов Я* (X ) изоморфна свободному

Qu-модулю

Я* (X; Z) <g> Qu-

Если

же

группы H q {X;

Z) имеют

кручение, то структура Qu-

модуля

Я* (X) может быть довольно сложной.

 

 

Для любого конечного комплекса X Qu-модуль Я* (X) являет­ ся конечно порожденным (Новиков [6]). Существуют примеры комплексов X, у которых в Qu-модуле Я* (X) есть образующие размерности, большей размерности комплекса X. Примеры таких комплексов можно найти в работе Коннера и Смита [1*], которая стимулировала исследования по оценке максимальной размерности образующих Qu-модуля Я* (X). В настоящее время самый силь­ ный результат здесь дает следующее следствие из теоремы 6.6:

2 4 -0 1 0 2 4

Смотрите также файлы