Файл: Монтажные провода для радиоэлектронной аппаратуры..pdf

При исследовании тепловых полей пользуются эмпи­ рически установленным законом, который гласит, что количество тепла, протекающего за определенный про­ межуток времени через плоскую стенку, прямо пропор­ ционально разности температур, установившихся по обеим сторонам стенки, площади стенки и промежутку времени, и обратно пропорционально толщине стенки (закон Фурье). Этот закон записывается формулой

где Q — количество тепла; f>i, т>2 — установившиеся тем­

и тепловой мощности

q-Q.lt,

то закон Фурье можно записать в другой форме:

тором вместо разности температур фигурирует разность потенциалов, вместо теплового сопротивления — омиче­ ское сопротивление и вместо тепловой мощности— сила тока.

Когда по проводу течет электрический ток, электри­ ческая энергия преобразуется в тепловую, проводник разогревается. Температура проводника может возрасти настолько, что окружающая его изоляция начнет разру­ шаться. Температуру, при которой начинается разруше­ ние изоляции, будем называть критической т>кр. Вели­ чина тока, при которой максимальная температура на поверхности проводника достигает значения критиче­ ской, принимается за предельно допустимую токовую нагрузку / д .

133

Количественно переход электрической энергии в теп­ ловую описывается законом Джоуля — Ленца, согласно которому тепловая мощность, выделяющаяся в провод­ нике при протекании по нему предельно допустимого тока, равна:

(7-4)

где R — солротивление.проводшжа; / = 0,24 кал/(вт-сек) — постоянная Джоуля.

Подставляя полученное значение тепловой мощности в формулу (7-3), находим величину допустимой токовой нагрузки:

(7-5)

где $ср — температура окружающей среды.

Таким образом, для определения допустимой токовой нагрузки необходимо знать тепловое сопротивление 5.

Приведенные выше формулы дают возможность ре­ шать задачу определения допустимых токовых нагрузок на одиночные провода в стационарном режиме, но не позволяют изучать нестационарные тепловые поля при меняющихся во времени токовых нагрузках, а также не дают возможности изучать тепловые поля в жгутах. Для того чтобы рассматривать и эти задачи, необходимо использовать более сложные формы закона Фурье и более обстоятельное описание тепловых процессов. Такое описание возможно только с привлечением дифферен­ циальных уравнений.

Приведенное выше понятие теплового поля в мате­ риальной области Q, которую в дальнейшем будем на­ зывать физическим телом, эквивалентно заданию на Q функции f(x, у, z), значение которой есть температура •& в точке с координатами я, у, г, лежащей внутри или на поверхности тела. Совокупность всех точек тела, в ко­ торых температура одинакова и равна т>ь представляет

точке имеют нормаль. Выберем в теле две достаточно близкие точки (хи уи Zi и х2, уг, z2), лежащие на одной изотермической поверхности. При этом, разлагая функ-

134

цию f(x, у, z), выражающую температуру, в ряд Тейло­ ра, получаем:

Написанное равенство можно понимать как скаляр­

скости, касательной к изотермической поверхности, зна­ чит, второй вектор направлен по нормали к ней. Этот

Выделим внутри тела Q произвольно ориентирован­ ную элементарную площадку, площадь которой обозна­

пишут ds вместо dsn.

В том случае, когда количество тепла Q меняется во времени, удобно ввести величину dQ/dt, которая на­ зывается т е п л о в о й м о щ н о с т ь ю .

С помощью введенных понятий формулируется наи­ более общий закон Фурье: тепловая мощность, заклю­ ченная в объеме, пропорциональна тепловому потоку, проходящему через поверхность, ограничивающую этот объем, т. е.

Количество тепла, запасенное в элементарном объе­ ме da>, равно произведению теплоемкости на темпера­ туру и на массу этого объема, т. е. равно величине cybdo), где с — теплоемкость, у — плотность вещества,

135

От поверхностного интеграла с помощью теоремы Остроградского — Гаусса можно перейти к объемному, при этом gradd заменится его дивергенцией. Нетрудно показать, что

В физике обычно пользуются понятием дифференциального оператора. Оператор ^ - + - - ^ - - 4 — ^ называют опера­ тором Лапласа и обозначают символом V 2 - Итак, выра­ жение (7-7) можно привести к виду

справедливому не только для области Q, но и для любой ее подобласти. Это может быть только тогда, когда равны между собой подынтегральные выражения, т. е.

Полученное уравнение называется уравнением тепло­ проводности и применяется при изучении сложных теп­

136

Если в объеме Q имеются непрерывно распределен­ ные источники тепловой мощности, то к правой части уравнения теплового равновесия (7-7) следует добавить еще член, выражающий выделяющуюся в объеме теп­ ловую мощность:

<7в = j <? (х, у, z, t)du>.

а

Тогда общее уравнение теплопроводности принимает вид:

Провода, тепловые поля которых мы собираемся изу­ чать, представляют собой неограниченные осесимметричлые тела. Тепловые поля в таких телах удобно рассмат­ ривать в цилиндрических координатах, направив ось z вдоль оси симметрии провода. В силу осевой симметрии характеристики поля от угловой координаты не зависят, а так как мы имеем дело с не ограниченными вдоль оси z телами, естественно предположить тепловое поле однородным, т. е. одинаковым в любом сечении коорди­

ны dz. Пусть s обозначает площадь поперечного сече­ ния, тогда объем рассматриваемого участка du> = sdz. Как отмечалось выше, при протекании по проводнику тока / в рассматриваемом участке выделяется тепловая мощность

Ток / можно выразить через плотность тока /. Если считать, что плотность тока в любой точке сечения про­ водника постоянна, то I = Js. Вводя понятие удельного

137