Файл: Монтажные провода для радиоэлектронной аппаратуры..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 125
Скачиваний: 0
электрического сопротивления р, выразим величину электрического сопротивления R какр — . Подставляя
это в (7-11), получаем:
qB=jJ2psdz = jPpda>,
откуда находим, что плотность тепловой мощности источников
? ( г , 0 = { ; 7 2 ( 0 Р ' |
е с л |
и 0 < г ^ |
(7-12) |
( 0, |
если |
г^>а. |
|
a — dj2; d — диаметр проводника.
Итак, в самом общем случае тепловые поля в про водах описываются уравнением
dt
Чтобы решать уравнения в |
частных производных, |
необходимо задавать начальные |
и граничные условия, |
т. е. распределение температуры |
ih{r) в начальный мо |
мент t = 0 и значения температуры на поверхности, огра
ничивающей рассматриваемое тело.
Чаще всего граничные условия либо выражают то,
что на поверхности температура |
поддерживается по |
|
стоянной: |
|
|
&1з = |
const, |
(7-14) |
либо, что на поверхности |
имеет |
место теплообмен |
с окружающей средой. Теплообмен выражается законом Ньютона: плотность потока тепловой мощности через граничную поверхность пропорциональна разности тем ператур поверхности и окружающей среды. В матема тической формулировке этот закон выражается соотно шением
|
К |
дп = * ( * - * « р ) | , . |
(7-15) |
где |
обозначает |
производную в направлении |
нормали |
к границе; ФСр— температура окружающей среды; а — коэффициент теплоотдачи.
В рассматриваемой осесимметричной задаче поверх ность, ограничивающая тело, есть цилиндр. Направление
138
нормали совпадает с радиальным направлением, так что граничное условие можно записать в виде
^ + Л ( » - » с р ) = |
0, |
(7 - 16) |
|
где Л = а/Я. |
|
|
|
Применим выведенное |
общее |
уравнение |
( 7 - 1 3 ) |
к исследованию теплового |
поля |
одиночного |
провода |
в стационарном режиме. Будем считать, что плотность тока не зависит ни от координаты, ни от времени.
Поскольку в |
(7 - 13 ) свободный член, определяемый |
( 7 - 1 2 ) , является |
кусочно-постоянной функцией, естест |
венно определять тепловые поля в проводнике и в изо ляции раздельно.
Тепловое поле в проводнике описывается в стацио нарном режиме уравнением
Решение этого уравнения, удовлетворяющее гранич ному условию (7* 1 4 ) , т. е. распределение температур в проводнике, при котором температура на поверхности проводника имеет постоянное значение г>а:
Ъ(г) = ^(а*-г*) |
+ К |
(7-18) |
|
Здесь Xi — коэффициент |
теплопроводности |
материа |
|
ла проводника. |
|
|
|
Полученный результат показывает, что распределе |
|||
ние температур в проводнике, нагреваемом |
протекаю |
||
щим по нему постоянным |
током, |
имеет параболический |
|
вид. Максимальная температура достигается в центре проводника и равна величине
а./^2Р „2 1 а
"макс — ~4Х~ |
"Т~ °" |
Когда сечение проводника невелико, можно считать, что температура во всем сечении постоянна и равна средней температуре
о
139
Стационарное тепловое поле в изоляции описывается однородным уравнением
£ - + - г £ = о - |
р-1 9 > |
Граница области, занятой диэлектрическим покры тием, состоит из двух частей: внутренней цилиндриче ской поверхности г = а, находящейся в непосредственном контакте с проводником, и наружной цилиндрической поверхности г = Ь, взаимодействующей с окружающей средой — чаще всего с воздухом.
В соответствии со сказанным граничные условия вы берем следующим образом: на внутренней поверхности будем считать температуру постоянной, т. е. граничные условия вида (7-14)
"\r=a — v a>
ана внешней будем предполагать теплообмен с окру жающей средой по закону Ньютона, т. е. граничные условия вида (7-16).
Тепловое поле в изоляции определяется как решение уравнения (7-19), удовлетворяющее сформулированным граничным условиям, и представляется следующим рас пределением температур:
» ( г ) = » а - * ( » - - » " > In 4 ,
где /г = аДг, а Яг — коэффициент теплопроводности ма териала изоляции.
Полученные распределения температур в проводнике, нагреваемом протекающим по нему током, и в слое изоляции, окружающей проводник, были получены не зависимо друг от друга. Единственно, что связывает их,
это — температура #а , |
устанавливающаяся |
на |
поверхно |
|
сти проводника, которая нам |
неизвестна. |
Оказывается, |
||
и эту температуру можно определить, |
|
|
||
Для этого нужно обратить внимание на то, что про |
||||
водник и прилегающий к нему слой изоляции |
находятся |
|||
в непосредственном |
тепловом |
контакте. |
Это |
означает, |
что на поверхности контакта температуры проводника и изоляции равны, кроме того, равны и тепловые потоки.
Обозначим •fl-i(r)—распределение температур в про воднике, т>2 (г)—распределение температур в изоля-
140
ционном покрытии. Математическая формулировка того, что проводник и покрытие находятся в тепловом кон такте, выглядит как два условия:
|
:\{а) |
я л> ИТ |
— Л2 ~3г |
( 7 - 2 0) |
|
|
|
|
|
||
Итак, задача сводится к тому, чтобы найти решение |
|||||
уравнения |
( 7 - 1 7 ) , т.е. iri(r), и решение уравнения |
( 7 - |
1 9 ) , |
||
т. е. $2 (г) |
такие, чтобы |
были |
выполнены условия |
(7 |
- 20 ) |
и, кроме того, было выполнено условие свободного теп лообмена:
^ + А ( » , - : » с р ) = 0 при г = Ь.
Такие решения можно найти, и тем самым получить распределение температур по сечению провода в целом:
&(г) = | ( в проводнике) |
(7-21) |
I ~ 2 т г а 2 ( ж + 1 п " г ) + & с 0 ( в |
и з о л я ц и и ) - |
Здесь q = /Яр. |
|
Сравнивая это распределение с |
полученным ранее |
выражением ( 7 - 1 8 ) , находим установившуюся темпера
туру на поверхности проводника в проводе, |
работающем |
в условии свободного теплообмена с |
окружающей |
средой: |
|
» . = » c p + / - S - a ' ( - ^ + l n - | - ) . |
(7-22) |
При протекании допустимой токовой нагрузки по проводнику на поверхности его установится критическая температура. Подставляя вместо'Фа в выражение (7 - 21 ) f>Kp, получаем уравнение для определения допустимого тока:
& к р - & с р . ^ / % а 2 ( ^ + 1 п 4 ) . |
(7-23) |
Это уравнение совпадает с уравнением теплового закона Ома ( 7 - 3 ) . На самом деле, поскольку мы имеем
141