ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 148
Скачиваний: 0
24 Гласа 1
од %. Однако математический аппарат допускает выбор кх У> 2я/А.. С точки зрения физики это означает, что мы вынуждаем поле изменяться с пространственным перио дом, меньшим Я. Это действительно можно сделать, но поле противодействует нашим усилиям путем сжатия в направлении оси г. Невозможно вынудить поле к про странственным колебаниям, более быстрым, чем колеба ния с длиной волны в свободном пространстве на рабочей частоте. Это рассмотрение показывает, что нераспрострапягощиеся волны встречаются всякий раз, когда мы на кладываем на поле пространственные вариации, которые являются более быстрыми, чем это совместимо с распро странением в свободном пространстве гармонической пло ской волны. Как известно, именно это имеет место при полном внутреннем отражении на границе двух сред.
До сих пор обсуждение касалось волнового уравнения (1.3.6). Однако волновое уравнение было получено как частный случай уравнения (1.3.4). Необходимо исследо вать, при каких условиях волновое уравнение является достаточно хорошим приближением к уравнению (1.3.4), так как с последним уравнением гораздо труднее обра щаться и оно почти не применяется при практических вычислениях. Весьма удачным является то обстоятельст во, что в большинстве приложений, встречающихся в оп тике, можно использовать простое волновое уравнение, даже если условие его справедливости [равепство нулю второго члена в уравнении (1.3.4)] не вполне выполняется.
Среди членов уравнения (1.3.4) доминирующими яв ляются первый члеп в левой части и член в правой части, порядок величин которых одинаковый. Нижеследующий анализ относится лишь к оценке порядка величин и не претендует на строгость. Член в правой части уравнения (1.3.4) по порядку величины равен
Э2Е |
, г-, |
СО2 т-, / 2 я \ 2 т~1 |
.. 0 о с . |
е^ “Ж |
= й ге^Е=^ |
Е = ( ч г ) Е - |
(1-3.25) |
Заменяя оператор V производной по некоторому направ лению S в пространстве, можно записать
(1.3.26)
Волновая оптика |
25 |
Интересным является случай, когда второй член в пра вой части (1.3.26) много меньше первого. Сравним два рассматриваемых члена уравнения (1.3.4):
Здесь квадратные скобки указывают на то, что рассматри вается только порядок соответствующей величины. Счи тается, что градиент е по порядку величины равен отно шению разности е2 — е4 диэлектрических проницаемостей в двух близко расположенных точках к расстоянию AS между ними.
В качестве последнего шага выберем AS — %и получим
Чтобы можно было пренебречь вторым членом левой части уравнения (1.3.4), нужно потребовать выполнения усло вия R <^1. Как видно из соотношения (1.3.28), это озна чает, что относительное изменение е на расстоянии одной длины волны должно быть много меньше единицы. Это условие часто выполняется в оптически неоднородных средах. Мы убедимся ниже в том, что условие R «С 1 выполняется для случая оптических волноводов, у кото рых диэлектрическая проницаемость непрерывно изме няется, так что можно ограничиться решением волнового уравнения вместо гораздо более сложного уравнения (1.3.4). Только на границе раздела двух областей с различными диэлектрическими проницаемостями величина (1.3.28) поч ти равна или даже больше единицы. Большинство опти ческих приборов включает области, такие, как воздух, и материалы, диэлектрическая проницаемость которых отлична от диэлектрической проницаемости воздуха, но опять-таки постоянна. Например, на границе между стеклянными линзами и воздухом величина (1.3,28) боль шая. Однако даже в этих случаях требуется решать лишь ролповое уравнение, так как оно справедливо всюду, кроме
26 |
Глава 1 |
границы раздела сред. При этом решают волновое урав нение в различных однородных областях и сшивают эти решения посредством граничных условий. Граничные условия будут рассматриваться ниже.
Проверим, насколько обоснованным было пренебре жение вторым членом в правой части (1.3.26). Порядок величины пренебрегаемого члена относительно оставляе мого члена есть
(1.3.29)
Нет необходимости требовать, чтобы отношение (1.3.29) на самом деле было много меньше единицы. Вторым членом в (1.3.4) можно пренебречь и в том случае, когда оба слагаемых в (1.3.26) имеют одинаковый порядок величины. Для этого необходимо потребовать, чтобы изменение гра диента е на расстоянии одной длины волны примерно равнялось пли было мепыне самого градиента. Это требо вание выполняется при условиях, когда R 1.
Приведенные аргументы показывают, что волновое уравнение можно использовать даже тогда, когда величи на е не остается постоянной, а меняется в пространстве, но ее изменения должны быть незначительными на рассто янии в одну длину волны света. За исключением гранич ных поверхностей между двумя различными диэлектри ческими средами, это условие почти всегда выполняется. Таким образом, распространение света в неоднородной среде можно исследовать путем решения волнового уравнения. Разница между волновым уравнением и более точным уравнением (1.3.4) в большинстве практически интересных случаев незначительна.
1.4.ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
СЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИММЕТРИЕЙ
Общее решение (1.3.24) волнового уравнения было построено для случая, когда е и р, постоянны в простран стве. Везде ниже опять будем предполагать, что величина р постоянна. Но если е является функцией пространствен
Волновая оптика |
27 |
ных координат, то суперпозиция плоских волн (1.3.24) уже не будет решением волнового уравнения. Оказывает ся, что все-таки и в этом случае можно построить общее решение из более простых решений. Такой подход известен как метод нормальных мод. Каждая плоская волна в пре дыдущем разделе может рассматриваться как мода неко торой структуры. Термин «мода» не всегда удается легко определить. Можно определить моду как собственное ре шение уравнений Максвелла, соответствующее некоторому собственному значению и удовлетворяющее всем гранич ным условиям задачи. Плоские волны, рассмотренные в предыдущем разделе, удовлетворяют всем этим требо ваниям. Векторы
Е = |
Ае exp [i (at — k-r)], |
(1.4.1) |
Н = |
5h exp [i (at — k-r)] |
(1-4.2) |
с комплексными коэффициентами А и В и единичными век торами е и h удовлетворяют уравнениям Максвелла, если удовлетворяются уравнения
—i (k X Ь) В |
= |
iaeAe, |
(1.4.3) |
—i (к х е)А |
= |
— гсорШ», |
(1.4.4) |
полученные после подстановки выражений (1.4.1) и (1.4.2) в соотношения (1.2.1) и (1.2.2). Вводя единичный вектор и по (1.3.11), находим, что равенства (1.4.3) и (1.4.4) удо влетворяются, если имеют место следующие соотношения:
п-е = 0, |
|
(1.4.5) |
|
h = |
п х |
е, |
(1.4.6) |
В = л / — А. |
(1.4.7) |
||
0 |
У |
(х |
|
Из уравнения (1.4.5) видно, что мы имеем дело с попереч ными волнами. Поскольку в этом случае нет граничных условий, плоские волны (1.1.1) и (1.4.2) можно рассматри вать как моды в соответствии с нашим определением. Меж ду прочим, каждая компонента векторов Е и Н удовлетво ряет волновому уравнению. Составляя для каждой компоненты суперпозицию волн, получим общее реше ние уравнений Максвелла в однородной среде. Если же,
28 Глава 1
однако, е не остается постоянной в пространстве, то (1.4.1) н (1.4.2) не будут решениями пн волнового уравнения, ни уравнений Максвелла.
Рассмотрим решение уравнений Максвелла в неодно родной среде для частного случая, представляющего для нас особый интерес. Часто е не зависит от одной простран ственной координаты. Без ограничения общности можно считать, что диэлектрическая проницаемость не зависит от координаты z.
Будем искать модовые решения в виде |
|
Е = Е 0(ж, у) exp [i (at — |3z)], |
(1.4.8) |
H = H0(;r, у) exp [i (at — |5z)]. |
(1.4.9) |
После подстановки этих выражений в (1.2.1) и (1.2.2) и использования соотношений (1.2.3) и (1.2.4) приходим к следующий! уравнениям:
дПг |
| |
|
= когЕх, |
(1.4.10) |
ду |
1 |
|
||
dHz |
|
|
||
фНх |
|
= 1шЕу, |
(1.4.11) |
|
дПу |
|
дх |
|
|
|
дНх —itoeEZ) |
(1.4.12) |
||
дх |
|
|||
|
ду |
|
|
|
дЕг |
-НРЯ, = — icopIIх, |
(1.4.13) |
||
ду |
||||
фЕдН |
дЕхдх |
— i^d-Iy, |
(1.4.14) |
|
ЭЕу |
|
дЕх — — щ Л 2. |
(1.4.15) |
|
дх |
|
|||
|
ду |
|
|
|
С помощью соотношений (1.4.10), (1.4.11), (1.4.13) и (1.4.14)
можно выразить поперечные компоненты поля через E z
и Н г:
Ех= |
|
д |
dEz |
1 |
дНz \ |
(1.4.16) |
|
|
Р |
дх |
^ |
в, |
)• |
||
|
|
|
|||||
Еу= |
- |
м |
|
|
дх |
)• |
(1.4.17) |
н х= |
- |
м |
|
“ е |
в, |
) ’ |
(1.4.18) |
я г/= - |
|
з дНг |
| |
в, |
) ’ |
(1.4.19) |
|
|
0 |
ду |
1 |
||||
|
|
|
|||||
Волновал оптика |
29 |
х2 = й2 - р а, |
(1.4.20) |
к2 — со2ер,. |
(1.4.21) |
Соответствующие выражения в цилиндрических координа
тах будут приведены в разд. 8.2. Уравнения |
(1.4.16) — |
|||
(1.4.19) являются точными. |
Замена IIх и |
IIу |
в (1.4.12) |
|
выражениями (1.4.18) и (1.4.19) приводит к |
|
|||
02Ег |
д2Е , |
-%2Ez— 0. |
|
(1.4.22) |
дх2 |
ду2 |
|
||
|
|
|
||
Из уравнения (1.4.15) |
аналогичным образом |
получаем |
||
'Г-Н, дЧ1г |
X2Hz= 0. |
|
(1.4.23) |
|
дх2 |
ду2 |
|
||
|
|
|
||
Уравнения (1.4.22) и (1.4.23) |
выполняются |
строго лишь |
||
в случае е = const. Примечательным здесь является то, что каждое из этих уравнений содержит либо только E z, либо только IIz. Продольные компоненты векторов Е и Н не связаны друг с другом и могут быть выбраны про извольным образом, лишь бы они удовлетворяли уравне ниям (1.4.22) и (1.4.23). Как правило, обе продольные компоненты поля связываются граничными условиями. Если же из граничных условий не вытекает связь этих компонент, то можно получить модовые решения при E z — 0 или II г = 0. Их называют соответственно попереч ными электрическими или ТЕ-модами и поперечными магнитными или ТМ-модами.
В общем случае, когда е зависит от х и у, уравнения (1.4.22) н (1.4.23) становятся приближенными. Однако они дают хорошие приближения, если относительные измене ния е много меньше единицы на расстояниях порядка длины волны. В случае оптических полей с их весьма короткими длинами волн эти приближения обычно доста точно точны и существенно упрощают вычисления.
До сих пор осталась не определенной постоянная рас пространения р. Она является собственным значением рассматриваемой граничной задачи. Ее величина или, точнее, ее возможные значения определяются граничными условиями задачи. Общие решения уравнений Максвелла получаются путем суперпозиции мод.