ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 143
Скачиваний: 0
Волновая оптика |
19 |
стве, однородно заполненном средой с диэлектрической проницаемостью е/е0. Для того чтобы убедиться, что функция (1.3.8) описывает плоские волны, нужно рас смотреть некоторое фиксированное значение аргумента
u = t — ^-n-r. |
(1.3.9) |
При любом данном значении и функция / имеет соответ ствующее фиксированное значение / (и). Величина и — = const при фиксированном значении времени t реализу
ется в |
плоскости, |
определяемой соотношением п-г = |
= const. |
Вектор п направлен перпендикулярно плоскости. |
|
Поэтому |
функция |
имеет одно и то же значение |
в пространстве именно на этой бесконечной плоскости. Для того чтобы посмотреть, каким образом это фикси рованное значение функции ведет себя с течением времени, предположим, что t изменилось на At, вектор г — на А г, но так, что величина и осталась неизменной. Связь между приращением времени и изменением положения вектора
при фиксированном значении |
и задается |
соотношением |
п-Аг = |
vAt. |
(1.3.10) |
Конец вектора А г снова лежит на плоскости. Вектор п, очевидно, является нормалью как к первоначальной, так п к смещенной плоскостям. Плоскость, описываемая формулой (1.3.9), перемещается в направлении п на рас стояние vAt за время At. Отсюда следует, что плоскость движется в пространстве со скоростью v. Уравнение (1.3.8), таким образом, описывает плоское волновое воз мущение, движущееся со скоростью v. Вид функции/ (и) произволен. Изменяя знак v в (1.3.8), получаем другое решение волнового уравнения. Легко видеть, что функция
ф = / ( г + 1 н . Г)
представляет плоскую волну, распространяющуюся в на правлении — п.
Весьма важным частным случаем являются такие решения волнового уравнения, которые в каждой точке пространства изменяются во времени по синусоидальному
20 |
Глава 1 |
закону. Такую плоскую волну можно представить в виде
g— A cos ^ соt — п • г j .
Частота колебаний
где со — так называемая круговая частота. Иногда будем называть со просто частотой, подразумевая при этом, что она является умноженной на 2я истинной частотой коле баний. Удобно ввести вектор
k = |
-£-n |
|
(1.3.11) |
п записать |
|
|
|
g = A cos |
(cof — |
k - r) . |
(1.3.12) |
Назовем к волновым вектором. Если допустить, что г получает приращение
Лг = А,п,
то из требования, чтобы функция (1.3.12) совершила полпый цпкл своего изменения при изменении г до величины г -г А г, найдем соотношение
кХ |
2п, |
|
плп |
|
|
|
= |
(1.3.13) |
где |
= | к | |
(1.3.14) |
к |
есть модуль волнового вектора. Правая часть уравнения
(1.3.13) следует из (1.3.11) и (1.3.7).
Большое физическое значение волн вида (1.3.12) обу словлено тем фактом, что в большинстве сред, за исклю чением вакуума, v ие является константой, а зависит от частоты:
v = п (со).
Синусоидальные волны разных частот распространяются с разными фазовыми скоростями. Это явление называется дисперсией. Выражение общего вида (1.3.8) для плоской
Волновая оптика |
21 |
волны произвольной формы справедливо поэтому только в вакууме. В другой среде это выражение можно исполь зовать лишь как разумное приближение, если дисперсия не слишком явно выражена. Легко можно предсказать путь, по которому распространяется общее возмущение в диспергирующей среде. Допустим, что на некоторой плоскости существует возмущение вида / (t). Для того чтобы определить, как это возмущение будет распростра няться в диспергирующей среде, нужно представить произвольную функцию / в виде суперпозиции синусо идальных колебаний. Это осуществляется с помощью интегральпого преобразования Фурье функции / (t). Каж дое гармоническое колебание, согласно (1.3.12), распро страняется через диспергирующую среду как плоская волна (поскольку с самого начала возмущение предполагалось плоским). Располагая систему координат ради удобства таким образом, чтобы волна распространялась в направ лении оси z, мы выразим форму плоской волны общего вида, имеющей вид / (t) при z = 0, с помощью интеграла Фурье
оо
/(z, t)=-^- j /г (со) cos (coif— 7cz—)—0 (со)) cfco. (1.3.15)
о
Вводя комплексную функцию |
|
ср(со)= /г(со)Л0<“> |
(1.3.16) |
и распространяя определение фазы и амплитуды на отри цательные частоты как
0 ( -со) = |
- 0 (со) |
(1.3.17) |
и |
|
|
/г. (—со) = |
/г (со) |
(1.3.18) |
(к также изменяет знак), можно переписать выражение
(1.3.15) в виде |
комплексного интеграла Фурье |
|
|
|
|
оо |
|
/(z, |
— |
[ ср (со) ei(cM-fcz) йсо. |
(1.3.19) |
-’-ТО
22 Глава 1
Амплитудная |
функция ср (со) определяется через извест |
|
ную форму волиы при 2 = 0: |
|
|
|
СО |
|
|
<p(co)=j f ( 0 j ) e - iatdt.. |
(1.3.20) |
|
—СО |
|
Выражение |
(1.3.19) не является решением |
волнового |
уравнения, если v зависит от частоты, поскольку волновое уравнение имеет физический смысл, лишь когда нет дис персии (т. о. когда v не зависит от частоты) или когда функция / (2, t) описывается очень узким спектром частот. Фазовая скорость v в формуле (1.3.6) не имеет смысла для функции типа (1.3.19). Одиако (1.3.19) правильно описы вает распространение плоской волны общего вида в дис пергирующей среде.
Нетрудно распространить концепцию полей, распро страняющихся в диспергирующей среде, на волновые возмущения неплоской структуры. Чтобы сделать это, введем вновь плоскую синусоидальную волну
g (х , у, z, t) = ср (кх, ку, со) exp [i (coi — к-г)], (1.3.21)
распространяющуюся в направлении вектора к. Здесь использованы комплексные обозначения. Вещественная часть от (1.3.21) описывает физическую плоскую волну. Амплитудный множитель ср может зависеть от независи мых переменных кх, ку и со. Поскольку абсолютная вели чина к вектора к должна удовлетворять соотношению (1.3.13), можно выразить кг через независимые перемен ные:
*, = / ( ^ ) Z- V x - k \ . |
(1.3.22) |
Из этой формулы видно, что z-составляющая (или любая другая компонента кх или ку, если предпочтительнее считать z-составляющую независимой переменной) векто ра к будет мнимой, когда подкоренное выражение стано вится отрицательным. В этом случае вместо плоской волны мы имеем дело с нераспространяющейся (локальной) волной. Нераспространяющиеся волны, таким образом, также являются решениями волнового уравнения. Ис пользуя суперпозицию волн вида (1.3.21) со всевозмож ными частотами, бегущих во всевозможных направлениях,
Волновая оптика |
23 |
можно составить |
общее выражение для волны, |
распро |
|||
страняющейся в |
среде с |
дисперсией: |
|
||
|
|
оо |
оо |
оо |
|
1 |
Vi Z! О= (2я)3 |
J ^ |
J |
^ dkyCp(kx, ^1/1 ®) X |
|
|
|
—СО |
—со |
—оо |
|
|
|
X ехр [г (сой — кхх — куу — kzz)]. |
(1.3.23) |
||
Здесь z-составляющая волнового вектора определяется
формулой (1.3.22). Используя |
вещественные функции, |
||||
можно также |
написать |
|
|
|
|
|
оо |
оо |
оо |
|
|
f{x i lJi z>0 = |
4Яз ^ da |
^ |
dkx J |
dky | Ф |
ку, со) | X |
О—оо —оо
X cos (at— кхх — куу — /f2z-}-0). (1.3.24)
Это интегральное представление более общей волны состоит не только из синусоидальных плоских волн все возможных частот, распространяющихся по всевозмож ным направлениям, но также и из нераспространяющихся волн. При гармонической (синусоидальной) зависимости решения волнового уравнения от времени интегрирование по со можно из формулы (1.3.24) исключить.
Существование нераспространяющихся волн в свобод ном пространстве может показаться неожиданным, по скольку обычно под нераспространяющимися волнами понимают нечто присущее волноводам, когда их частота ниже критической. Нераспространяющиеся волны, встре чающиеся в наших рассуждениях, полностью обусловлены явлением полного внутреннего отражения волны, пытаю щейся проникнуть из среды с высокой диэлектрической постоянной в другую среду, обладающую более низкой диэлектрической постоянной. Чтобы понять это явление, рассмотрим гармоническую плоскую волну (1.3.21). Она обладает длиной волны X, определяемой формулой (1.3.13), и распространяется в пространстве в направлении, зада ваемом компонентами вектора к. Для простоты предполо жим, что волна распространяется в плоскости х, z, так что ку = 0 Теперь начнем поворачивать вектор к по направлению к оси х. В пределе при /с2-;= 0 волна пойдет параллельно оси х. Ее синусоидальное изменение в про странстве по направлению х имеет пространственный пери-