ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 152
Скачиваний: 0
|
Волновая оптика |
37 |
По мере роста угла |
функция sin а 2 достигает единицы |
|
до того, как а у станет равным 90°. В этом предельном слу чае плоская волна входит в среду 2 параллельно границе между двумя средами. Бесконечно малое возрастание приводит к sin a 2 > 1, что невозможно удовлетворить ни при каких вещественных значениях а 2. Физическая интерпретация этого явления заключается в том, что прошедшая волна больше не пересекает границу, т. е. остается лишь отраженная волна. Это явление называют полным внутренним отражением. Анализ на этом предель ном случае не заканчивается, и мы можем изучить поведе
ние плоских волн более |
детально. |
Из формул (1.6.9) |
и (1.6.18) следует, что |
|
|
7C2Z=-fclz |
&2-—® |
(1.6.22) |
так что, согласно (1.6.11), |
величина к 2х становится мни |
|
мой. Зависимость амплитуды волны от г в среде 2 теперь задается функцией *)
указывающей, что волна больше не распространяется в среду 2, а является спадающей (нераспространятощейся) волной с амплитудой поля, убывающей экспоненциально с ростом х.
Полное внутреннее отражение представляет собой пример существования в свободном пространстве нераспространяющихся волн, которые были рассмотрены в разд. 1.3. Полное внутреннее отражение наблюдается всякий раз, когда угол падения волны, приходящей к гра нице раздела двух диэлектрических сред со стороны более плотной среды (среды с большим показателем пре ломления), превышает некоторое критическое значение, определяемое уравнением
sin aic= — . |
(1.6.23) |
' |
Л1 |
4 |
1) Квадратный корень в (1.6.11) может иметь знак либо плюс, либо минус. Выбираем к2х = — £ | к2х |, так как в противном случае получается нарастающая волна, которая нарушает гранич ное условие конечности (или равенства нулю) интенсивности поля в бесконечности.
38 Глава 1
Уравнение (1.6.23) определяет критический угол для полного внутреннего отражения. Тот факт, что волна в среде 2 экспоненциально убывает, когда оц превышает критический угол, говорит о том, что поле в этой среде возбуждается со слишком короткой длиной волны, чтобы быть распространяющейся волной в среде с более низким показателем преломления (см. обсуждение данного вопро са в разд. 1.3).
Амплитуды полей прошедшей п отраженной воли да ются выражениями (1.6.13) и (1.6.14). Из формулы (1.6.15) видно, что отношение к 2х/к1х всегда положительно *), Как следствие этого величина С!А всегда положительна независимо от того, поступают волны из плотной среды в среду с низким показателем преломления или наоборот. Знак амплитуды В отраженной волны зависит от характе ра двух сред вблизи границы. Если волна отражается от среды с более высоким показателем преломления, то, как следует из формулы (1.6.15), величина к 2х/к1х больше единицы п, следовательно, амплитуда В отрицательна. Отражение от более плотной среды изменяет знак напря женности электрического поля. В противном случае, когда световая волна отражается от среды с более низким показателем преломления по сравнению со средой, откуда она пришла, амплитуда В положительна, т. е. вектор Е не меняет знака прп отражении.
Представляет интерес рассмотреть отраженную и про шедшую через границу мощности. При использовании метода комплексных амплитуд исходным является соотно
шение (1.2.12) |
|
S = lRo(ExH*). |
(1.6.24) |
В частном случае, когда отлична от нуля только ком понента Е у вектора Е, для я-проекции вектора S получаем
^ = |5,|=4-|Re(^*)|. |
(1.6.25) |
ж-проекция вектора Пойнтинга представляет собой мощ ность, проходящую перпендикулярно поверхности. Мощ-
*) В данном случае исключаем пз рассмотрения явление пол ного внутреннего отражения.
Волновая оптика |
39 |
ность S z, протекающая параллельно границе, на поверх ность раздела не падает. Рассмотрим мощность падающей, отраженной и прошедшей волн. Мощность падающей волны получим путем подстановки слагаемого с множи телем А выражений (1.6.1) и (1.6.4) в (1.6.25). В итоге имеем
Pi = |
(1.6.26) |
Мощность отраженной волны содержит множитель В:
Р г = \ п 1ху ^ - \ В \ \ |
(1.6.27) |
Наконец, мощность прошедшей волны дается выражением
Pt = ^ n 2xj / ^ \ С \ \ |
(1.6.28) |
Коэффициент отражения и коэффициент прохождения определяются следующими соотношениями:
|
В |
Рг |
_ |5 |2 |
|
(1.6.29) |
|
|
Pi |
\А |2 ’ |
|
|||
|
|
|
|
|||
Т |
|
Р{ |
hx |
|С |2 |
|
(1.6.30) |
|
Pi |
kix |
\А I2 |
• |
||
|
|
|
||||
Для того чтобы выразить коэффициенты отражения и про хождения через угол падения волны, запишем выраже ние (1.6.15) с учетом (1.6.18) в виде
к2х_ п2 cosа2
к\х П) cos ct-i
Подставив вместо а 2 выражение, полученное из закона Снеллиуса (1.6.19), имеем
к2х |
"l/a-1—nf sin2 aj |
(1.6.31) |
|
к}Х |
«л cos aj |
||
|
Отношение прошедшей мощности к падающей можно теперь получить из формул (1.6.13), (1.6.30) и (1.6.31):
4ni cos aj 1/ п\ — п\ sin2 ai
(1.6.32)
(ni cos ctj-f-Д / — nf sin2 оц)2
40 Глава 1
Аналогичным образом получается отношение отраженной мощности к падающей:
RЕ |
(щ cos cq— l/ n | —п\ sin2 а р 2 |
(1.6.33) |
||
(«1 cos cq |
~\/п \— nfsin2 cq)2 |
|||
|
|
|||
Эти соотношения справедливы лишь в тех случаях, когда квадратный корень в (1.6.32) и (1.6.33) является вещест венным. Случай мнимого корня требует более детального рассмотрения. Квадратный корень становится мнимым, когда угол а! превышает свое критическое значение, определяемое формулой (1.6.23). В результате получается полное внутреннее отражение; распространение волны
всреде 2 отсутствует. Компонента к2х волнового вектора
всреде 2 становится мнимой, так что компонента п2х единичного вектора, которая входит в формулу (1.6.6), также мнимая, в результате чего выражение (1.6.25) обращается в нуль, если его применить к прошедшей волне. В случае полного внутреннего отражения коэффи циент прохождения
Т= 0,
акоэффициент отражения
R = 1.
Это становится очевидным, если учесть, что в этом случае
отношение |
к2х/к1х является чисто |
мнимой величиной |
и квадрат |
абсолютной величины В, |
как следует из фор |
мулы (1.6.14), равен |
| А |2. В общем случае, когда при |
|||
сутствуют |
как отраженная, так и прошедшая волны, |
|||
из формул |
(1.6.32) и |
(1.6.33) |
вытекает |
равенство |
|
|
Т + R = |
1, |
(1.6.34) |
что указывает на сохранение полной энергии в рассматри ваемом процессе.
Выражения для коэффициентов прохождения и отра жения упрощаются, когда волна падает на граничную поверхность между двумя диэлектрическими средами под прямым углом. Полагая cq = 0, из формулы (1.6.32) получаем
j, 4гцп2
(1.6.35)
Е ~~ (Ч + Ы 2 ’
Волновая оптика |
41 |
а из (1.6.33) следует, что |
(п{ —ге2)2 |
|
|
Д е = |
(1.6.36) |
||
( » ir « s ) 2 |
|||
|
|
Другой крайний случай — случай скользящего падения — должен быть рассмотрен отдельно для каждого из двух возможных вариантов. При «j > nz имеем полное внутрен нее отражение и вся мощность отражается при углах падения, больших критического. В случае щ < п2 полное внутреннее отражение отсутствует, но в пределе, когда
волна падает параллельно |
стенке (а4 = 90°), получаем |
из формул (1.6.32) и (1.6.33) |
|
Т Е = |
0 |
Таким образом, при скользящем падении вся мощность отражается от границы раздела диэлектриков независимо от того, падает ли волна на оптически более плотную или менее плотную среду.
До сих пор речь шла о частном случае, когда вектор Е падающей, а также отраженной и прошедшей волн параллелен граничной поверхности. То обстоятельство, что векторы Е отраженной и прошедшей волн направлены параллельно вектору Е падающей волны, вытекает из уравнений Максвелла и граничных условий. Решения граничных задач единственны. Поэтому если получено некоторое частное решение, то никакое другое решение не может существовать.
Рассмотрим, наконец, случай падения плоской волны на плоскую границу раздела двух диэлектрических сред, когда вектор Е волны лежит в плоскости, определяемой волновым вектором и нормалью к поверхности. Свойства плоских волн проходить и отражаться от границы раз дела сред зависят от их поляризации, так что необходимо исследовать волну, поляризованную перпендикулярно поляризации, рассмотренной выше. Пусть в среде 1 имеет место суперпозиция падающей и отраженной волн:
Ex = Aeixe - ^ + B e 3xe~*v, |
(1.6.37) |
Ez= Aeize-*i'+Be3ze-"w, |
(1.6.38) |
j / ^ e-ik3r. |
(1.6.39) |