ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 89
Скачиваний: 0
ла наклона а линеаризованного участка в окрестности этой точки.
Так как коэффициент линейной зависимости выход ной величины от входной определяется производной нели нейной зависимости в точке линеаризации, то линеари зовать можно только такую функцию, которая диффе
ренцируема в точке линеаризации, |
а сама функция и |
|
ее производные не |
имеют разрывов. |
рис. 2-2,6, в точках |
Так, функцию, |
изображенную на |
|
сабсциссами Хі—хі линеаризовать нельзя.
Сучетом вышеизложенного при линеаризации функ ции необходимо также учитывать, чтобы при изменении переменных в окрестностях точки линеаризации в про цессе работы системы их значения не достигали бы вели чин, соответствующих точкам разрыва исходной нели нейной функции, так как в .этом случае замена нелиней ной зависимости линейной будет неправомерной.
Однако следует отметить, что несмотря на линеариза цию, процесс нахождения дифференциального уравнения системы через уравнения ее элементов в общем случае является достаточно трудоемким.
Всвязи с этим для практических инженерных расче тов разработаны менее трудоемкие методы нахождения дифференциального уравнения системы, ее синтеза и анализа, основанные на понятии передаточной функции.
2-2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
Исследование АСР существенно упрощается при ис пользовании прикладных математических методов опе
рационного исчисления. |
|
|
|
|
|
регулирую |
|||||
Дифференциальное уравнение элемента |
|||||||||||
щей системы в общем случае имеет вид: |
|
|
|
||||||||
_ |
d nx Bax |
I |
d n |
|
I |
|
а3^ВЫХ I |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
" |
d t n |
|
d t ”-1 |
' |
|
|
di* |
‘ |
|
||
dXBax |
I |
|
d mx BX I |
Ьтп 1 |
dm-'x BX I |
, |
|||||
|
d t |
T |
|
|
d t m |
‘ |
d t m - 1 - |
- - - - Г |
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
d 2x BX I |
d x „X |
|
|
|
|
(2-6) |
||
|
|
|
|
d t 2 ' |
К d t |
|
|
|
|
||
где Хвых— выходная величина |
элемента |
(в отклонениях |
|||||||||
от состояния равновесия); |
хвх — входная |
величина |
эле |
||||||||
мента |
(в |
отклонениях |
от |
состояния |
равновесия); |
||||||
ап, an-i,...,a2, ай |
йо, |
bm, |
|
|
bi, |
bo — постоянные |
|||||
коэффициенты, определяемые особенностями и парамет рами настройки элемента.
Если в уравнение (2-6) вместо ■функций времени
Явых(0 н *вх(0 ввести функции Авых(Р) и Авх(р) ком плексного переменного р, поставив условием, что эти функции связаны зависимостями
оо |
^ |
|
•АВЫХ(р) == f -^ВЫХ (0 & І5І dt\ |
I |
|
n |
1 |
(2-7) |
|
\ |
|
00 |
I' |
|
Х вх(р) = § х ѵх{і)е-і>*М, |
' |
|
о |
|
|
то оказывается, что дифференциальное уравнение, со держащее функции *вых(7) и xBX(t) при нулевых на чальных условиях1, равносильно линейному алгебраиче
скому уравнению, |
содержащему функции |
Хвых(р) и |
Хвх(р): |
|
|
йпрПХвых (р) + ап- 1Рп-*ХВЫХ(р) + . •. + йірХвых (р)+ |
||
+ аоХвых(р) = Ь тртХьх(р) +Ьт-\рт- іХ-ях(р) + ... |
||
■• -ЬірХвх(р) + Ь0Хвх(р). |
(2-8) |
|
Такой переход |
от дифференциального |
уравнения |
к однозначно соответствующему ему алгебраическому уравнению называется преобразованием Лапласа. Интег рал (2-7) называется интегралом Лапласа.
Функция Х(р) называется изображением функции x(t), функция x(t) называется оригиналом функции Х(р).
Операция перехода от искомой функции х(і) к ее изображению Х(р) (нахождение изображения от ориги нала) называется прямым преобразованием Лапласа. Математически прямое преобразование Лапласа запи
сывается условно с помощью символа |
St как |
|
|
£ t[x(t)]= X (p). |
|
Операция перехода от изображения Х(р) к искомой |
||
функции х(і) |
(нахождение оригинала |
по изображению) |
1 Нулевые |
начальные условия для дифференциального уравне |
|
ния п-го порядка характеризуются тем, что для ^=0 значения самой
функции x(t) и всех ее производных до |
(п— 1)-й включительно рав |
ны нулям, т. е. |
|
х(0) =х'(0) =х"(0) = ... |
(0)= 0, |
26
называется обратным преобразованием Лапласа. Мате матически обратное преобразование Лапласа записыва
ется условно с помощью символа ££-1 как
Z -'[ X (p )] = x (t).
Практически переход от дифференциального уравне ния к алгебраическому уравнению относительно изобра жения решения исходного дифференциального уравне
ния происходит без каких-либо вычислений. |
(2-8), |
Если сравнить уравнение (2-6) с уравнением |
|
то нетрудно заметить, что формально переход от |
диф |
ференциального уравнения к алгебраическому относи тельно изображения при нулевых начальных условиях, обычных для большинства АСР, получается путем за мены символов дифференцирования оригиналов функций dnldtn, dnildln~1,.. .,d/dt соответственно на рп, рп-і,.. .,р
и функций x(t) — их изображениями Х~(р). С комплекс ной переменной р, как и с другими членами алгебраиче ского уравнения, можно производить различные дейст вия: умножение, деление, вынесение за скобки и т. д.
Так как возможность однозначного перехода от диф ференциального уравнения к алгебраическому значитель но упрощает все расчеты АСР (это является математи ческой основой инженерных расчетов АСР), то очень важно психологически убедиться в правомерности такого перехода.
Обозначим в (2-6) |
производную d xldl= y(t). Соглас |
|
но (2-7) найдем изображение: |
|
|
|
со |
со |
у (Р) = Ä \ j f ] |
= \y{t)e-r> i dt = |
^e~ el dx. |
|
b |
о |
Согласно правилу интегрирования по частям
V (р) = [X (0 e-v'] I “+ Jре-р*X (t) dt =
О
оо
=рj x{t)e~^dt —х(0).
о
При нулевых начальных условиях х(0) = 0 и с учетом (2-7) получим:
Г(Р) = 2 р д -]= р Х (р ).
27
Таким образом, мы убедились в правомерности пере хода от дифференциальной формы записи производной к ее записи в операторной форме путем формальной замены символа дифференцирования cljclt на комплекс ную переменную р (при нулевых начальных условиях). Так как
d2x |
d |
то èt |
d2x |
—p*X{p) и T. д. |
dt- |
dt |
|
~dF |
|
Таким образом, операция дифференцирования ориги нала соответствует операции умножения изображения этого оригинала на комплексное число р.
Это является одним из важнейших свойств преобра зования Лапласа.
Аналогично можно доказать, что операции интегри рования оригинала соответствует операция деления изображения этого оригинала на комплексное число р.
Так, при нулевых начальных условиях
&X (Р)
р
Так как интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов от отдельных выражений, а по стоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то преобразование Лапласа обладает свойствами линей ности, а именно
Е M V |
= £ а д ; |
і=1 |
i=l |
££[ax{t)] = a3l[x(t)\ = aX(p), а = const.
Каждый элемент АСР в общем случае описывается дифференциальным уравнением вида (2-6). Следователь но, при выводе дифференциального уравнения системы в целом необходимо совместно решить несколько диф ференциальных уравнений высших порядков.
Преобразование дифференциальных уравнений по Лапласу позволяет свести эту задачу к решению системы алгебраических уравнений. Определив из алгебраиче ских уравнений изображение Х(р) искомой функции x(t), определяющей переходный процесс в системе, на ходят эту функцию, польуясь таблицами оригиналов и их изображений (см. Приложение 1) или по известным формулам обратного преобразования Лапласа.
28
Кроме того, .преобразование дифференциальных урав нений по Лапласу дает возможность ввести чрезвычай но удобное понятие передаточной функции, характери зующей динамические свойства любого элемента систе мы. С помощью передаточных функций расчет АСР еще более упрощается и становится доступным широкому кругу инженерно-технических работников, не требуя применения сложного математического аппарата.
Вынеся в уравнении (2-8) Хвых(р) и Хвх(р) за скобки, получим:
[апрп+ апір п~1+ ■■. + <2і/? + 0о)ЙТВых(/?) =
=='{bmPm-\-bm-ipm~i + .. .+ bip + bo)Xsx(p). (2-9)
Определим из уравнения (2-9) отношение изображе ния выходной величины к изображению входной:
Х швх (Р) |
Ьтр т + Ьт_ , р т~1-f-... -р Ьгр -f- Ь0 т (п\ |
/о іл \ |
Х л [р) |
ß»Pn + (i„-iP n- ‘ + - + a jP + a0 — W W- |
^ |
Отношение изображения выходной величины эле мента системы к изображению его входной величины при нулевых начальных условиях называется передаточ ной функцией элемента системы.
Соответственно отношение изображения выходной ве личины звена к изображению его входной величины называется передаточной функцией звена.
Передаточная функция W(p) является дробно-рацио нальной функцией комплексной переменной р:
= |
(2-11) |
где
Р (р) = йпрп ап—ірп~1+ . . . + аір + ао
— полином степени п, а
Q(р) = bmpm+ bm-lPm' i +. . .+ bip+ bo
— полином степени ш.
Из уравнения (2-10) следует, что передаточная функ ция элемента системы W(p) и изображение его входной величины определяют изображение выходной величины:
Xsmt(p) = W (p)Xm (p). |
(2-12) |
Так как передаточная функция системы полностью определяет ее динамические свойства, то первоначальная задача расчета АСРсводится к определению ее переда-
29