Файл: Клюев, А. С. Автоматическое регулирование.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 93

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

П е р е й д я к и з о б р а ж е н и я м , п о л у ч и м :

ТрХвых(Р)+Х вых(p )= kX m (p).

Передаточная функция звена

\Ѵ(р) =

k

(2− 22)

Т р + 1

 

•

Определим характер изменения выходной величины при подаче па вход в виде скачка входной величины Ховх- Дифференциальное уравнение (2-21) достаточно просто решается обычным методом. Однако >в качестве примера найдем его решение через передаточную функ­

цию звена.

По таблицам преобразования Лапласа (см. пп. 3 и 8 Приложения 1) находим изображение входной величины:

■^nx (Р) = = ^ [-^опх] = = -Котзх/р-

Согласно формуле (2-12) изображение выходной ве­ личины

А'вых(р) = УУ(р)Хш (р)

или

Х вых (Р) ---

ІіХоѵ.х___

Р ( Т р + 1 ) '

 

Выразим оригинал функции хВых через ее изображе­ ние, вынеся постоянную величину за знак преобразо­ вания Лапласа:

: £ - ’ [Хвых(р)1:

■ Ä-

 

 

р

р

Полагая 1/7 = 0 , по таблицам преобразований Лапла­

са (см. п. 14 Приложения 1) находим:

 

x w ^ = k x , J \ — e ~ T \

(2-23)

Переходный процесс апериодического звена пред­ ставлен на рис. 2-6. Кривые переходных процессов име­ ют вид экспонент, т. е. время, необходимое для того, чтобы выходная величина хВЫ достигла установившего­ ся значения kxami теоретически бесконечно велико.

В связи с этим апериодическое звено часто называют

инерционным звеном первого порядка.

3*

35

Величина Т имеет размерность времени и называется постоянной времени. На рис. 2-6 представлены переход­ ные процессы апериодического звена при различных значениях постоянной времени.

Из кривых переходного процесса ясен физический смысл постоянной времени звена. Опа может быть опре-

Рис. 2-6. Передаточная функция и переходные про­ цессы апериодического звена при различных значе­ ниях постоянной времени.

делена как время, в течение которого выходная величи­ на достигла бы своего нового установившегося значения, если бы она изменялась с постоянной скоростью, равной скорости изменения ее в начальный момент времени.

Рис. 2-7. Графическое определение по­ стоянной времени апериодического звена.

36

Постоянная времени определяет динамические свой­ ства звена. Чем она больше, тем медленнее протекает переходный процесс в звене, и наоборот. В частности, при Т = 0 процесс протекает в звене мгновенно и инерци­

онное звено

превращается

в

безынерционное

усили­

тельное.

 

отметить

также,

что

 

 

 

Следует

 

 

 

при t = T значение

выходнй

ве­

 

 

 

 

личины

составляет

63%

нового

 

 

. УИах

установившегося значёния.

 

 

 

 

 

звена

 

 

 

Постоянная

времени

 

 

 

 

геометрически (рис. 2-7)

опрёде-

 

 

 

ляется как проекция на ось вре­

 

 

 

мени отрезка касательной к экс­

 

 

 

поненте,

заключенного

между

 

 

 

точкой касания и точкой пере­

 

 

 

сечения

касательной

 

с

линией

 

 

 

установившегося значения выход­

 

 

 

ной величины. Длина этой проек­

 

 

 

ции одинакова

для

касательных,

Рпс. 2-8.

Примеры апе­

проведенных в любой точке экс­

риодических звеньев.

поненты

(точки О и О').

 

 

 

 

 

 

 

На рис. 2-8 приведены примеры апериодических

звеньев. В ход­

ной величиной

этих звеньев

является

напряжение

ивх, а

выход­

н о й — напряжение

иПых, снимаемое

с

конденсатора

С.

 

Согласно второму закону Кирхгофа для электрической цепи по

рис. 2-8,а

можно записать:

 

 

 

 

1

г .

 

 

 

MßX— iRl ~Ь

 

 

^ИЫХ=

 

^НЫХ=

 

 

 

 

Q

1f'c

 

 

откуда

 

 

. _

 

^аых . .

__ ^вых

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'С“

с

 

dt

’

 

 

 

R2 ■

 

 

По первому закону

 

Кирхгофа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і =

іс -)-

/

=

С

 

 

 

И»их

 

 

 

 

 

 

dt +

Ri ■

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставив

значение

і в

выражение для ивх, получим:

 

 

 

«вх =

RtC

dU-nых

 

 

 

вых-

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Преобразовав

дифференциальное

уравнение по

Л апласу, полу­

чим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UВХ(Р) =

RiRzC

Р +

1

 

У ш і (P h

 

 

~R\ + Ri

 

 

37

откуда находим передаточную ф ункцию звена:

к

 

 

\Ѵ(р) =

Т р +1

’

 

 

 

где

 

 

R&C

 

,

Яо

„

 

к ~

я, +

/?г ’ Т ~

Я, + й*

ш 'с '

Таким образом, электрическая день, изображенная на рис. 2-8,а.

является апериодическим

звеном.

 

 

Коэффициент передачи звена регулируется величинами сопро­ тивлении Ri и /??.. При этом пропорционально коэффициенту пере­

дачи изменяется и постоянная времени.

 

 

 

 

При /?2 = ° ° получаем электрическую

цепь

по

рис.

2-8,6. Коэффи­

циент передачи, постоянная времени и передаточная

функция в этом

случае будут равны:

 

 

 

 

k = l ; Т — RC; W (р) =

- f -

[+

{ ■

 

Постоянная времени изменяется путем изменения величины со­ противления R.

Электрическая цепь, представленная па рис. 2-8,6, является апе­ риодическим звеном с коэффициентом передачи, равным единице.

г) Колебательное звено

Колебательное звено имеет дифференциальное урав­ нение

'J'2 ^ Х 'в ы . т

I

T'

 

" -T„Т.1у --

llXii

(2-24)

2 dr-

'

1

dt

 

 

 

Передаточная функция звена

 

 

W ( p )

 

 

к______

 

(2-25)

 

 

 

 

Т \ р ' + Т хР+ I

Переходный процесс колебательного звена можно исследовать путем аналитического решения дифференциального уравнения (2-24), которое является неоднородным линейным дифференциальным урав­ нением второго порядка.

Д ля получения общего решения неоднородного дифференциально­ го уравнения

 

rjn - lv

 

dxn

 

 

 

U

Лц

 

+п0х.в

P і^вх)

dln

А'П—1

dt11 - 1 ' +

- +

a I dt

 

 

 

 

 

 

(2-26)

достаточно к какому-либо частному

решению его прибавить общ ее

решение однородного с ним уравнения, т. е. уравнения

(2-26), в ко­

тором F (x BX) = 0.

 

 

 

 

 

3 8

Одним из частных решении неоднородного уравнения (2-26) при скачкообразном изменении .v,s = .i'o вх будет новое значение Хопых, установившееся после окончания переходного процесса.

Так как производная постоянной величины равна нулю, то частное решение уравнения (2-26) при новом состоянии равновесия

системы

будет

иметь

вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■Х'овых --- ..

F (Хопх)-

 

 

(2-27)

 

 

 

 

 

и0

 

 

 

 

 

Однородное дифференциальное уравнение получим из

уравне­

ния

(2-26) при

F(xп х )= 0:

 

 

 

 

 

 

 

 

ИП- 1V

 

dx.П Ы Х

I.

Л

 

 

dt

 

U

Лп

 

 

1

+ яп- 1

dt11-'

■•■+ ffi rff

I Яровых—0.

(2-28)

 

Его характеристическое уравнение имеет вид:

 

 

 

 

 

о>і/’’, + а І1- і + . . .

+ a i/j + a 0= 0 .

 

(2-29)

Оно получается, если приравнять нулю оператор левой части не­ однородного дифференциального уравнения или, что то ж е самое, приравнять нулю знаменатель передаточной функции \Ѵ(р) звена.

Характеристическое уравнение в общем случае может иметь і одинаковых корней p t и, помимо того, п—і неодинаковых корней

 

Р1, р 2, ■■ •, Р п - і .

Определив все

корни характеристического уравнения, общ ее ре- .

шение однородного

дифференциального уравнения можно найти

по известной формуле

*«« (0 = С1^ <+ С2еЛ, + . ■

+

+ / ‘‘ ( y \ , + A J + A.J*+

(2-30)

где Си Cz, . - Ai, Az,..., Ai — постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий.

Характер переходного процесса звена или соедине­ ния, определяемого дифференциальным уравнением (2-24), зависит от расположения корней его характери­ стического уравнения

 

Tzzpz+ Tip +1 =0

(2-31)

на комплексной плоскости.

 

Корни характеристического уравнения (2-31)

 

Л ,2 =

т,

(2-32)

27|

 

 

С учетом (2-25), (2-12) и таблицы преобразований Лапласа (см. п. 8 Приложения 1), находим изображе­ ние выходной величины:

кх-о

(2-33)

ХВых {р) '■

р {Цр> + т,р +

I)

39

Смотрите также файлы