Файл: Клюев, А. С. Автоматическое регулирование.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 105

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Вследствие

этого температура будет

продолжать уменьшаться и

в точке 8

отклонение ее от заданной

достигнет х = — а.

В следующий момент, когда снова разомкнутся контакты 2—3 ртутного термометра, отпадет реле Р\ и сработает реле Р3, включая электродвигатель Д,- Так как конденсатор С включается последова­ тельно с обмоткой возбуж дения ОВ2 п фаза напряжения, подводи ­ мого к ним, противоположна фазе напряжения, которое подается к конденсатору С и обмотке возбуж дения OBі прн срабатывании реле Рг, то двигатель Д будет вращаться в обратную сторону, уве­ личивая подачу энергии в объект.

Вследствие инерционности объекта температура некоторое вре­ мя будет продолжать понижаться и только в точке 9 станет увели­

чиваться. В точке 10 отклонение ее от заданного значения станет

равным .ѵ = — а

н тогда электродвигатель, как н в точке 2, отклю­

чится. Но

и

после

этого

температура будет увеличиваться до зн а­

чения Л'оі

в

точке

11. В

этой

точке

включения электродвигателя

ни

на увеличение,

ни на уменьшение подачи энергии произойти не

может, так

как

температура

объекта находится меж ду

теми двумя

значениями

ее,

при которых

происходит

переключение контактов

1—2 термометра

(т. е. — а < х 01< о )

и ни

одно из реле

(Р2 или

Р3),

■включающих электродвигатель, сработать не может.

 

 

В то

ж е

время

в точке 11 величина y=dxjdt равна

нулю и,

сле­

довательно, в системе установилось равенство потоков энергии, под­ водимой к объекту и отводимой от него. Поэтому в дальнейшем температура объекта не изменяется. Таким образом, в точке И си­ стема стабилизируется и процесс регулирования закончится. Оста­ точное отклонение температуры в системе от заданного значения

равно

— л'оі. Величина этого отклонения может

быть любой

в преде­

лах от — а до а.

 

 

 

 

 

 

На рис. 7-21,6 процесс регулирования изображен в функции вре­

мени,

где

кривая

x(t)

является

разверткой

во

времени

фазовой

траектории

1— 2— 3— . . .

— 10— 11.

На рис. 7-21,е

показано

измене­

ние во времени напряжения С1Л(1), подводимого

к электродвигате­

лю Д. Эта диаграмма показывает моменты включения и отключения

электродвигателя и направления вращения его вала.

 

Решив

первое

из дифференциальных уравнений системы (7-28)

при начальных условиях

7 = 0 и у=уо, получим

зависимость

коорди­

наты у фазовой плоскости от времени:

 

 

 

I

у = у*е~Т + Ш я ( \ - е ~ Т у

[(7-31)

Интегрируя второе уравнение

из

системы (7-28), находим

выра­

ж ение для координаты х фазовой

плоскости в функции времени:

 

 

t

 

t

 

X — ^ У dt -j- С3=

— Ту0е

т-j- йС/д

Те

(7-32)

где С3 — постоянная интегрирования.

 

 

И з начальных условий 7 = 0 , х=Хо и у=Уо находим:

 

 

С3=Хо+Т(уо— kUR).

 

Подставив найденное значение постоянной С3 в уравнение

(7-31),

получим:

 

 

 

 

 

х = х0 + у„Т

1 — е

+ kU)

(7-33)

3 2 4

Решив совместно выражения (7-31) и (7-33), получим:

а'= л'о+7'(//о— //)+А£7дЛ

ч

(7-34)

С помощью выражения (7-34) можно осуществить

переход от

фазовой картины к процессам во времени.

Определим, например, в общем виде время, соответствующее пе­

реходу системы по

фазовой плоскости (рис. 7-21,я) из точки

'П(х,„, У ні) в точку п(х,1, у п) ■

Уравнение (7-34)

для точки т

Xіи= А'о+ Т(уо—УIII) +kU лtm.

Соответственно для точки п

Х ц = Л ' о + Т ( / / о —У it) + k U n t n .

Решая оба эти уравнения совместно, находим время перехода Д7„мі = (Сі— Im) системы из точки m в точку п:

fay f - ^ n

^ni

T ( Уп 1 / т ) Ь

По этой формуле определим, например, время t\, затрачиваемое для перехода системы на фазовой плоскости из точки 1 в точку 2 (рис. 7-21,а ). В этом случае имеем:

Хці—Х\ — Х о і Ут = У\ = / / о = = О ,

х п ~ х 2= — а; У п = У г ~ к и л .

Рис. 7-22. Фазовые траектории нелинейной системы с релейным однозначным несимметричным элементом с зоной нечувствительности.

32S

Искомое время

 

 

 

 

 

 

Хо — Я

 

 

 

 

 

 

 

(— л + х0 + ТШЛ) =

Т -+-

 

 

 

 

 

 

 

ш .

•

 

 

 

 

Следовательно, имея фазовую картину АСР,

можно решить

за ­

дачу исследования работы

системы при любых

начальных

усло­

 

 

 

 

 

 

виях,

используя

развертку

 

 

 

 

 

 

во времени фазовых траек­

 

 

 

 

 

 

торий.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На рис. 7-22 приведена

 

 

 

 

 

 

фазовая

картина

аналогич­

 

 

 

 

 

 

ной системы в случае, если

 

 

 

 

 

 

включенный в

нее

релейный

 

 

 

 

 

 

элемент

 

является

несимме­

 

 

 

 

 

 

тричным

 

однозначным

с

зо ­

 

 

 

 

 

 

ной

 

 

 

нечувствительности

 

 

 

 

 

 

I«2

1>

I

1

, статическая

ха ­

 

 

 

 

 

 

рактеристика

такого

 

релей­

 

 

 

 

 

 

ного элемента была пока­

 

 

 

 

 

 

зана

на

рис.

7-9

(крайняя '

 

 

 

 

 

 

левая).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На рис. 7-23

изображ е­

 

 

 

 

 

 

на

фазовая картина

той

ж е

 

 

 

 

 

 

системы

 

регулирования

в

Рис. 7-23. Фазовые

траектории

нели­

случае,

 

если

включенный

в нее релейный элемент яв­

нейной

системы

с

двухпознционньш

ляется

 

однозначным

сим­

релейным элементом без зоны

нечув­

 

метричным и не имеет зоны

ствительности.

 

 

 

 

 

 

 

 

нечувствительности;

 

такой

 

 

 

 

 

 

 

элемент

имеет

статическую

характеристику,

вид

которой

дан

на

рис. 7-6,а.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По фазовой картине АСР можно судить об устойчи­ вости системы и характере переходных процессов ней.

7-4. УСТОЙЧИВОСТЬ И АВТОКОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

а) Понятие устойчивости по Ляпунову

Строгое определение понятия устойчивости нелиней­ ной системы впервые дано А. М. Ляпуновым. Сущность этого определения состоит в следующем.

Если на фазовой плоскости, отображающей движение системы, имеется точка О ее равновесного состояния (рис. 7-24,а) и вокруг этой точки имеется некоторая об­ ласть 6, не состоящая только из точки равновесия и об­ ладающая тем свойством, что ни одно движение системы, начинающееся в пределах этой области, не приводит к отклонениям, превышающим допустимые значения е от состояния равновесия, то такая система называется устойчивой по Ляпунову.

326

Совокупность значений допустимых отклонении систе­ мы от ее равновесного состояния образует вокруг точки равновесного состояния область допустимых отклоне­ ний е.

Область б является областью допустимых начальных условий движения системы.

Если вокруг точки равновесного состояния нет обла­ сти допустимых начальных условий движения системы б, обладающей вышеуказанным свойством, то при любых

Рис. 7-24. К вопросу устойчивости нелинейной системы по Ляпунову.

а — области допустимых начальных движений б и допустимых отклонений е системы от точки равновесного состояния; б—г — примеры асимптотически устойчивой, неустойчивой и неаснмптотическн устойчивой систем в окрестностях точки равновесного состояния.

даже достаточно малых начальных отклонениях в систе­ ме от равновесного состояния в ней возникнет движение с отклонениями больше допустимых значений е. Следо­ вательно, такая система (по определению) не будет устойчивой.

Упрощенное представление устойчивой и неустойчи­ вой систем по Ляпунову представлено на рис. 7-24,6 и в.

На рис. 7-'24,6 изображен шар, находящийся в конус­ ном углублении на сферической поверхности. При неко­ торых начальных отклонениях шара от состояния равно­ весия 6^7?, вызванных кратковременными внешними бо­ ковыми воздействиями, шар после нескольких колебаний под влиянием его силы тяжести будет возвращаться к равновесному состоянию.

Если величина допустимых отклонений в системе е—R, то вокруг точки равновесного состояния шара в си­ стеме (рис. 7-24,6) будет иметься некоторая область на­ чальных условий движения б, обладающая тем свойст-

327

пом, что любое движение шара, начавшееся в пределах этой области, не вызовет его отклонения больше допусти­ мого значения e= R. Таким образом, эта система будет устойчивой по Ляпунову.

На рис. 7-24,б изображен шар, находящийся на вер­ шине конуса, расположенного на сферической поверхно­ сти. При отсутствии внешних воздействия на шар систе­ ма находится в равновесном состоянии, при котором сила тяжести шара F полностью компенсируется реакцией опоры.

Однако при любом достаточно малом отклонении ша­ ра от точки равновесного состояния в этом случае появ­ ляется составляющая силы тяжести шара, вызывающая движение его в сторону от равновесного состояния. Если отклонения шара при этом от состояния равновесия бу­ дут больше допустимых, то эта система будет по Ляпу­ нову неустойчивой, так как она не имеет вокруг точки равновесного состояния системы области допустимых' на­ чальных условий движения б.

Из понятия устойчивости по Ляпунову следует, что область б находится всегда внутри области е.

Валено таклее отметить, что на систему, устойчивую по Ляпунову, не накладывается требование возвращения системы в точку равновесного состояния после оконча­ ния переходного процесса. Обязательным лее условием является требование 'движения системы только в преде­ лах области допустимых отклонений е.

Если система после окончания переходного процесса приходит в точку первоначального состояния, то она на­ зывается асимптотически устойчивой (рис. 7-24,6).

Если новое устойчивое состояние системы не совпада­ ет с первоначальным, то такие системы называются неасимпт.отически устойчивыми (рис. 7-24,г).

Следует отметить, что устойчивость по Ляпунову ха­ рактеризует поведение системы только в окрестностях точки равновесного состояния системы.

При начальных лее условиях, существенно отличаю­ щихся от точки равновесного состояния, система может оказаться неустойчивой.

В связи с этим устойчивость системы по Ляпунову принято также называть устойчивостью «в малом», т. е. для достаточно малых начальных отклонений.

Точки равновесного состояния системы принято назы­ вать особыми точками.

328

6) Исследование устойчивости по уравнениям первого приближения

Рассмотрим характер движения в нелинейной системе при достаточно малых начальных отклонениях от равно­ весного состояния.

Так, для нелинейной системы второго порядка фазо­ вые траектории в общем виде определяются системой уравнений

 

(7-35)

где Хі и

xz = dxi/dt— координаты фазовой плоскости;

fi(xi, хг)

и fz{xь Л'2) — некоторые аналитические функции.

Например, применительно к системе (7-28) имеем:

у- (/гС/д - у ) и f2(х,, х2) == у.

Так как .производные dxjdt и dxo/dt характеризуют скорость изменения параметров (координат) системы, то состояние равновесия в системе будет определяться усло­ виями:

С учетом этого из выражения (7-35) находим, что точки, характеризующие равновесное состояние системы, определяются системой уравнений

(7-37)

В общем случае система уравнений (7-37) имеет не одно, а несколько решений. Возьмем одно из решений Хі=Хоі и Ä9 = Хо2 в общем случае при хОіФ 0 и х02фО.

Исследуем характер движения системы в окрестно­ стях этой точки равновесного состояния, ,.

22— 196

329

Смотрите также файлы