Файл: Клюев, А. С. Автоматическое регулирование.pdf

Переходный процесс в рассматриваемой системе определяется дифференциальными уравнениями

В этом случае моменты переключения релейного элемента при возрастании y=dx/dt будут сдвинуты вправо, а при убывании у — влево от начала координат на величину Ь. Ф азовая картина такой системы представлена на рис. 7-26. Если начальная амплитуда коле­ баний регулируемого параметра достаточно велика, то фазовые

небольшая, то фазовые траектории имеют вид спиралей, расходя­ щихся от центра. Следовательно, в системе имеют место устойчивые автоколебания.

На рис. 7-27 изображены как устойчивые автоколебания систе­ мы в функции времени, так и кривые, характеризующие поведение этой системы при амплитудах начальных колебаний, меньших (/11 )

и больших (Л2), чем амплитуда автоколебаний А.

Если амплитуда автоколебаний системы находится в пределах допустимых отклонений регулируемой величины и частота колеба­ ний также является допустимой, то система регулирования будет удовлетворять предъявленным к ней требованиям и, следовательно, такая система является практически, устойчивой.

Если амплитуда автоколебаний в системе превышает допусти­ мые отклонения регулируемой величины от заданного значения или если частота колебаний опасна для системы (возникают перенапря­ жения, вибрации и т. п.), такая система не пригодна для целей ре­ гулирования данного параметра и является практически неустой­ чивой.

336

Амплитуда и частота автоколебаний не зависят от внешних воз­ мущающих воздействий, а определяются только собственными пара­ метрами самой системы регулирования: ее инерционностью, зоной не­ чувствительности нелинейного элемента, коэффициентом передачи системы и т. п.

Рис. 7-26. Фазовые траектории с устойчивым предельным циклом нелинейной системы с неоднозначным релейным элементом без зоны нечувствительности.

Рис. 7-27. Переходные процессы в нелинейной си­ стеме с устойчивым предельным циклом.

337

нии можно определить, исходя из устойчивости предельного цикла (рис. 7-28,а) с учетом выражений (7-17).

Рис. 7-28. Фазовые траектории и переходный процесс системы регулирования, приведенной на рис. 7-14.

Обозначим время изменения регулируемого параметра на уча­ стке 2—4 фазовой траектории от х = —b до х —Ь при у > 0 через t\\ напишем первое из выражений (7-17) для 'Конечного значения этого участка переходного процесса:

4—6 фазовой траектории, соответствующий обратному изменению

338

Из выражения (7-50) следует, что чем больше инерционность объекта, характеризуемая постоянной времени Т, и чем больше зона неоднозначности Ь, тем больше период автоколебаний. Чем больше напряжение и, подводимое к объекту, тем период автоколебаний ■ меньше (рис. 7-28,6).

Рассмотренные выше .системы имеют устойчивый пре­ дельный цикл. Однако в нелинейных системах могут «меть место и неустойчивые предельные циклы.

В системах с неустойчивым предельным циклом фа­ зовые траектории «сматываются» изнутри, снаружи или изнутри и снаружи предельного цикла. В такой системе автоколебания возникнуть не могут, так как при любом достаточно малом случайном возмущающем воздействии на систему точка, изображающая движение системы, на­ чинает удаляться от предельного цикла. Так как на фа­ зовой плоскости может быть несколько особых точек с различным характером движения системы в ее окрест­ ностях, то из условия непересекаемости фазовых траек­ торий вне особых точек (иначе возникла бы неопреде-

.ленность в характере движения системы, что не может иметь места) и заполнения траекториями всей фазовой плоскости следует, что на фазовой плоскости должны быть особые траектории, разделяющие область траекто­ рий одного типа от областей траекторий другого типа. Физическая сущность возникновения таких траекторий, называемых сеператрисами, на границе двух видов дви­ жений такова же, как и рассмотренная выше причина об­ разования предельного цикла. К сепаратрисам с обеих сторон асимптотически приближаются фазовые траекто­ рии граничных областей фазовой плоскости.

В окрестностях особых точек типа «седло» сепаратри­ сы также называют «усами седел» (рис. 7-25,к—м).

Таким образом, исследовав по Ляпунову устойчивость нелинейной системы в окрестностях всех особых точек, 'определив предельные циклы и сепаратрисы, можно по­ лучить на фазовой плоскости полную качественную кар­ тину всевозможных движений в АСР.

в] Исследование автоколебаний в нелинейных системах

Условия возникновения автоколебаний в нелинейной системе и параметры предельных циклов можно исследо­ вать, используя частотные критерии устойчивости, рас­ смотренные в гл. 4.

Э39

Так, в соответствии с (2-74) характеристическое урав­ нение линеаризованной системы (рис. 7-11) запишется как

стемы; Wn(p, со, /1) — передаточная функция нелинейного элемента после его линеаризации.

Подставляя в выражение (7-51) для данного вида нелинейного элемента из (7-22) и Приложения 3 значе­

Системе, находящейся на границе устойчивости, будет соответствовать годограф Михайлова, проходящей через начало координат (рис. 7-29).

Рис. 7-29. Годо­ граф М ихайло­ ва линеаризован­ ный нелинейной системы с автоко­ лебательным ре­ жимом.

При этом точке в начале координат соответствует ре­ жим собственных периодических колебаний в системе с частотой соп и амплитудой Ат так как в этом случае характеристический многочлен (7-52) Л„(/ш, А) имеет на мнимой оси пару чисто мнимых корней.

Из выражений (7-53) можно найти частоту <г>п и амп­ литуду Лп автоколебаний.

В качестве примера найдем условия возникновения автоколеба­ ний в АСР, приведенной на рис. 7-11 с передаточной функцией объекта

340