Файл: Клюев, А. С. Автоматическое регулирование.pdf

Корни характеристического уравнения

При соответствующем выборе ß<0 можно всегда иметь как минимум один корень отрицательным при Ь>0. В этом случае система будет иметь структуру, представленную на рис. 7-25,/с.

При xF='cx и и='ахі имеем:

получить комплексные корни характеристического урав­ нения. Если при этом ß2 < 0 , то вещественная часть кор­ ней будет положительной. Фазовый портрет второй струк­ туры будет иметь вид, іпредставленый на рис. 7-25,ж.

С учетом этого желаемый фазовый портрет системы может иметь вид, представленый на рис. 8-7,а.

Прямыми переключения будут ось х2 и линия S устой­ чивой траектории движения (вырожденное движение) изображающей точки первой структуры

ристического уравнения (8-5) первой структуры.

Из рис. 8-7,а следует, что система должна иметь структуру по рис. 7-25,ж в области / (рис. 8-7,6) [мате­ матически это условие можно записать как Х\(х2—XzXi)=- = *is>0] и структуру по рис. 7-25,к в области II (рис. 8-7,6) [математически это условие запишется как

Jfl(* 2 ----t a * 0 = X i S < 0 ] .

Таким образом, синтезированный закон управления имеет вид:

Управляющее устройство для этой системы иілеет такой же вид, что и представленный на рис. 8-6. Отличие состоит только в том, что на БИС вместо sgnx2 подает­ ся Sgn 5.

При этом важно отметить один из методов повыше­ ния быстродействия систем с переменной структурой.

О)

Рис. 8-7. Синтез СПС с рис. 7-25,к и ж.

При увеличении |ß| увеличивается величина отрица­ тельного корня характеристического уравнения (8-6). При этом увеличится угол между прямой (8-12) и осью Хі фазовой плоскости. В результате этого одному и тому же значению х будет соответствовать большее значение производной. Следовательно, система при новом ß будет иметь большее быстродействие. •

364

Таким образом, если в линейной системе с постоян­ ной структурой для увеличения 'быстродействия необхо­ димо увеличивать коэффициент воздействия как по 'вели­ чине ошибки, так и ее производной, то в классе СПС быстродействие достигается только за счет увеличения

одно из переключений структур должно быть на прямой (8-12). Однако по ряду технических причин (нестабиль­ ность параметров объекта и аппаратуры, люфты в си­ стеме и т. д.) в большинстве случаев не удается осуще­ ствить переключение точно на этой прямой. В связи с этим рассмотрим характер движения в системе, если

по фазовым траекториям рис. 8-7,а. В этом случае после переключения на прямой (8-15) изображающая точка будет уходить от нее и в системе возникнет колебатель­ ный процесс, который будет затухать в соответствии с рис. 8-8,6. Такой режим в системе принято называть

фазовые траектории обеих структур будут направлены

кэтой прямой переключения (рис. 8-8,в).

Врезультате этого после переключения изображаю­ щая точка от этой прямой не может уйти »и по одной из структур.

При этом в системе возникнут переключения теоре­ тически с бесконечно большой частотой, в результате которых изображающая точка будет перемещаться к на­ чалу координат. В системе возникнет скользящий режим. Изображающая точка будет совершать искусст-

365

Венное вырожденное движение к Началу координат по искусственной фазовой траектории

или в дифференциальной форме

Таким образом, движение в скользящем режиме, опи­ сывается дифференциальным уравнением первой степени и не зависит от параметров системы (8-17).

Это исключительно важное свойство дает возмож­ ность при соответствующем выборе с получить требуе­ мые свойства системы. По этой причине скользящий ре­ жим находит очень широкое использование при проек­ тировании систем.

366

Как указывалось выше, скользящий режим в системе образуется при с < —Яг.

С учетом этого и выражения (8-6) получим:

откуда

6'ß<—с24-саг—йі-

Аналогично из (8-8) имеем:

Ьа>'—с2+са2—аі.

Таким образом, получаем следующие условия существо­ вания скользящего режима в системе второго порядка:

—с2 + са2— ал#

а> Ь

(8-18)

Система с переменной структурой в общем случае может иметь несколько структур. Если, например, на ко­ эффициент Ч - закона управления (8-10) накладываются такие ограничения, что требуемое качество функциони­ рования системы не обеспечивается, то в этом случае можно выбрать закон управления в виде

т. е. для формирования закона управления используется информация как о величине ошибки х —хи так и величине ее производной dXi/dt=X2.

В этом случае характеристическое уравнение систе­ мы (8-4) запишется в виде

К * = - т (л, + № , ) ± j / 4- (a * + b% Y - а, - ИГ..

(8-21)

367

Предположим, что коэффициент 4хі может принимать два предельных значения: аі или —cu, а коэффициент Чх9 — значения аг или —«2 .

Если при 4xt= ai и Чг2 =та2 корни характеристического

Если Чгі= а і и Ч/2 = —аг, то корни характеристическо­ го уравнения действительные и положительные (счита­

368

ВЫМ портретом по рис. 7-25,м. Структура ІІІ является неустойчивой, но имеет прямую устойчивого вырожден­ ного движения

на который 'будем осуществлять изменение структуры. Из анализа фазовых портретов рассмотренных струк­ тур (рис. 8-9) следует, что в первом и третьем квадран­ тах, т. е. при *і*2 > 0 , можно использовать только струк­ туру /. В секторах между осью и прямой (8-22), т. е. при *і5 < 0 , следует использовать структуру II, так как только эта структура обеспечивает попадание изобража­ ющей точки на прямую устойчивого вырожденного дви­

жения (8 -2 2 )..

После попадания изображающей точки на эту пря­ мую должна включиться структура III, что обеспечива­

s = x2 — Я2 *і.

Фазовый портрет системы с переменной структурой и законом изменения структур в соответствии с (8-23) представлен на рис. 8-9,г.

Из (8-23) следует, что структура с xF i= —юн и ЧГ 2 = = —«г в данной системе не осуществима, так как усло­

обеспечивает апериодический закон регулирования. Апериодический процесс регулирования также обес­

369