Файл: Клюев, А. С. Автоматическое регулирование.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 96

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

В зависимости от знака подкоренного выражения (2-32) при нахождении оригинала по его изображению (2-33) могут возникнуть три случая:

1.При 7’і/7'2> 2 оба корня характеристического урав­

нения вещественные отрицательные:

рі = —щ, pi— —а2.

С учетом этого запишем выражение

(2-33) в виде

•^вых (Р)--

______ ^Хрпх______

 

т\ р{р + *і) (р + аг)

По этому изображению согласно таблицы преобра­ зовании Лапласа (см. п. 20 Приложения 1) находим оригинал:

'“ВЫХ — ^-^QBX

(2-34)

 

Таким образом, при Г,/Г2> 2 переходный процесс оп­ ределяется двумя экспонентами и в этом случае диф­ ференциальное уравнение (2-24) характеризует переход­ ные процессы соединения, состоящего из двух соединен­ ных последовательно апериодических звеньев. Это видно также непосредственно из передаточной функции соеди­ нения, если ее записать в виде

W(p)-

-0

- k----;-------

 

 

(#.+ яі) (Р.+ аг)

ИЛИ

 

 

 

\Ѵ(р) =

к

I

7 > + Т

Ті Р+ \ ’

где Тз= 1/cti и Ті,— 1/аз-

7УГ2> 2

нет необходимости вво­

Следователыю, при

дить лонятия нового типового звена, хотя на практике часто такое соединение называют инерционным звенолі второго порядка.

2. При 7’1/Г2=0 характеристическое уравнение имеет два одинаковых вещественных отрицательных корня

Рі= Р2=—а = —1/Т2.

С учетом этого запишем выражение (2-33) в виде

^Хопх____

-^вых (р)--

т\р(р + °.у-

■10

По таблице преобразования Лапласа (см. п. 19 Приложения 1) находим:

-Квых = /« овх[1 - (1 + № ) « ? - '/7Ч

(2-35)

Переходный процесс периодический. Так как при этом передаточная функция (2-25) может быть представлена в виде

 

IѴ(Р) =

к

1

 

Тр + 1 Гр Л- 1 ’

где Т—1/а, то при

7Т/Т2= 0 ,

так же как и при ТііТ2>2,

мет необходимости

вводить

понятия нового типового

звена.

При Гі/7'2<2

характеристическое уравнение имеет

3.

два сопряженных комплексных корня где

(2-36)

С учетом этого запишем выражение (2-33) в виде

- ^ в

ы х ( р ) --------

9 . .

 

I

 

 

(2-37)

 

 

 

 

 

г2р[{р + а-У + “21

 

Обозначив в (2-37)

 

 

 

 

 

 

 

кх,О В Х

 

 

ХЛР) и

(Д + “)2 + W2

■х Л р).

T i p

 

 

по Приложению 1 найдем оригиналы:

 

 

X ^ L -ҢХ, (р)]:

kxt

и

х 2 =

— е

“^іпшС

Ч

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Согласно п.

 

6 Приложения

 

1 находим

характер из­

менения выходной величины звена:

 

 

 

_

 

_

 

<

 

1

 

 

 

 

 

 

 

, kx0aX

е

—ат

•

#

 

Лвых:

 

о

П

“

 

sinuDtrfx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ex«'4-

 

„—ах

 

 

 

 

 

 

 

—5—і----5 -

(а S in сот - 1-

ш COS сот)

 

ы>7:X

 

I

а 2

со**

'

 

 

1

 

1

 

=-1іхйЪХ^ \ — е

аі ^cos u>t-j—

sin

 

41

 

 

е~ ‘^

sin

, I

. . . в

(2-38)

или

-'-ВЫХ -- ^■Л'ОПХ

—

юг;4- arclg —

ш7\

V

1

а

 

Таким образом, переходный процесс звена при Ті/Т2<2, характеризуемый уравнением (2-38), периоди-

времени.

Переходные

процессы

зависимости от отношения

колебательного

звена

в

7УГ2 представлены

на

рис. 2-9.

 

 

 

Как следует из выражения

(2-38), мнимая составляю­

щая со корней характеристического уравнения является круговой частотой колебательного звена. Период коле­ баний Т = 2я/(о. Оценкой переходного процесса колеба­ тельного звена служит степень затухания колебаний. Степенью затухания ф называется отношение разности

двух соседних

амплитуд

одного

знака

(взятых

относи­

тельно среднего положения

кхоъх)

к

первой

из них

(рис. 2-10,а):

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф= —

 

 

1 -

ф--

(2-39)

 

А і

 

 

 

А I

 

 

Как следует из рис. 2-10,а,

 

 

 

 

Л

к х а в х „ — О-t,

 

д

 

 

„ — b i t

 

 

сoTt

’

2

 

сйТг

 

Так как f2— U — T, то

подставив

значения

и Л2

В (2-39), получим:

 

—2тг —

 

 

 

ф =

1

 

(2-40)

 

— в

".

 

 

4 2

Чем ближе к единице величина і|з, тем быстрее зату­ хают колебания переходного процесса.

Степень затухания зависит от отношения веществен­ ной составляющей комплексных корней характеристиче­ ского уравнения а к их мнимой составляющей со. В свою очередь это отношение определяется отношением посто­ янных времени Tj/T2:

4. При Ті= 0 Т1/Т2 = 0 вещественная и мнимая со­ ставляющие корней характеристического уравнения бу­ дут равны:

а = 0; со= 1/Т2.

Подставив эти зна­ чения в выражение (2-38) для переходного процесса колебательно­ го звена, получим

—sinj^—|-arctg 00

—вх ^ 1 COS j .^ ^ .

(2-41)

Такое колебатель­ ное звено называется

консервативным.

Переходный процесс будет в этом случае не­

затухающим

колеба­

тельным

 

(так

как

■ф= 0) с частотой

(£>о—

= 1/72,

периодом

Т =

= 2 яТг

и

амплитудой

А = ійяовх

(рис.

2-10,6).

Чем

больше

Т\

н

меньше Т2, тем

больше

степень

затухания

ко­

лебательного звена.

 

6)

Рис. 2-10. Переходные процессы ко­ лебательного звена при 1 > -ф > 0 и -ф=0.

43.

Следовательно, для уменьшения колебательности си­ стем регулирования в колебательных звеньях необходи­ мо увеличивать постоянную времени 7^ и уменьшать Тг. Однако это целесообразно делать лишь в определенных пределах, так как при чрезмерном увеличении отноше­ ния Ті/То, переходный процесс затягивается (см! рис. 2-9) и время регулирования увеличивается.

На рис. 2-І1 даны примеры колебательных звеньев.

 

 

 

Входной

величиной мембранного

пневматического

клапана

(рис. 2-11,о)

является давление Д РВх,

а

выходной — перемещение

 

А5пых

штока

клапана

(отсчет

ве­

 

дется в малых приращениях от

 

равновесного

состояния).

 

 

 

 

Если нельзя

пренебречь инер­

 

цией подвижной системы клапана и

 

силами трения,

то

условие

равнове­

 

сия сил,

действующих на

клапан,

за ­

 

пишется

как

 

 

 

 

 

 

Лі + / т р + / п р = / в х .

 

 

 

іг

Mßs

Cf

\*г Ci

\Utul

0—

 

 

 

 

 

é)

 

Рис. 2-11. Примеры колеба­ тельных звеньев.

Входное усилие при площади F мембраны равно:

fnx — APnxF.

Сила инерции [и равна произве­ дению массы m подвижной системы на ускорение a = d 2(ASnUx)/dt2:

d!ASattx fa = m dt2

Учитывая только силу вязкого трения, которая пропорциональна скорости перемещения подвижной системы, получим:

,, rf&SnvtX

ь р = ь

dt •

Сила противодействия пружины

пропорциональна ее сжатию

fnp= cASnblz,

где с — жесткость пружины.

Подставив значения сил в уравнение равновесия, получим:

m

d2ASssa

dASB

±cASm = APBXF.

dt1

+ b-

dt

 

 

 

В настоящее время принято составлять дифференциальные урав­ нения звеньев в безразмерных (относительных) единицах.

Безразмерной единицей давления будем считать отношение АРВх к максимальной величине давления Ямакс на мембрану, при котором

44

'

клапан полностью закрывается; безразмерной единицей перемещения

штока

клапана примем

отношение Ä S BUX к полному ходу Suauc

 

 

Pax — •

р

 

.

5пых —

А5вЫх

’

 

 

 

 

 

*

<J

 

 

 

 

 

 

* макс

 

 

 

°макс

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пх — /^вх-^макс» ^ПЫХ =

^вых^максі

 

 

 

 

 

^макс

dSntax

,

d2dSnых

„

dzSBblx

 

 

dt

dt

 

’

dt2

‘-'маке

 

 

Подставив эти значения в дифференциальное

уравнение,

полу­

чим выражение его в безразмерных единицах:

 

 

 

 

 

d2snax

\

dSysix I

„

__D

-

 

 

^Н^-'макс

 

 

 

^Л 22

"гI О'О№-,макс

 

f///i t

"г1 С^1°макос^выхн — '

макс''' /'пхPax*-

 

С

учетом

того,

что cSMÜKa — P„anaF, можно

записать:

 

 

 

^

d2snhix

b

^пих .

 

 

 

 

 

 

с

dtг

 

 

 

dt

■5пых -- PDX-

 

Таким образом, при

учете

инерции

подвижной

системы

и вяз­

кого трения мембранный пневматический клапан при Ь/Ѵ тс< 2 яв­

ляется колебательным звеном.

Постоянные времени и коэффициент передачи его равны:

1 Г т .

Ь .

1.

• = У

Т>=— ’ k=

И з этого примера следует, что в элементах

систем регулирования

вязкое трение не всегда является нежелательным. В данном случае достаточно высокое вязкое трение обеспечивает устойчивую работу клапана, так как постоянная времени Тх пропорциональна коэффи­ циенту вязкого сопротивления Ь.

Практически, когда силы вязкого трения в механических элемен­ тах недостаточны, применяют дополнительное демпфирование под­ вижной системы, т. е. вводят дополнительную силу, противодействую­ щую перемещению подвижной системы и пропорциональную скорости

этого перемещения.

 

 

 

 

Если пневматический клапан применяется в системе с инерцион­

ным

объектом, в котором переходные процессы протекают медленно,

т. е.

скорости изменения р Вх и

Simx

небольшие, то величина ускоре­

ния

d2ssux/dt2 с точностью, достаточной для практических расче--

тов,

может быть

принята равной

нулю. Тогда дифференциальное

уравнение клапана

примет вид:

 

 

 

 

dSjizx

I

_

 

 

Тг

I"£інх — Лих-

Следовательно, в этом случае можно пренебречь инерционностью . подвижных частей пневматического клапана и представлять его в ди ­ намическом отношении как апериодическое звено с передаточной функцией, определяемой формулой (2-22).

45

Смотрите также файлы