Файл: Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ.pdf

87

вертого порядка, а в качестве pasделительного уравнения взять соотношение (1.53).

При рассмотрении указанных закономерностей для уравнения

прав.ой границ! следует анализировать два случая в связи с тем,что эта граница может являться ограничивающей кривой как для пер­ вой, так и для второй рабочих подобластей. Это видно, напри­

мер, из рис.1.64 и 1.65, соответствующих конкретному сочетанию значений А,и А0 . Сначала рассмотрим случай,- когда правая граница является ограничивающей кривой для первой рабочей под­ области и возьмем для примера сочетание значений коэффициентов,

соответствующее точке на рис.1.64. Характеристическое урав­ нение системы для указанного сочетания значений коэффициентов

записывается

для раскрытия физических закономерностей, о которых сказа­

но выше, будем проводить сравнение рассматриваемой системы с системами четвертого и третьего порядков, коэффициенты уравне­ ний которых совпадают с соответствующими коэффициентами урав­

нения- (1.68). Уравнения для указанных систем имеют вид

Сочетания значений коэффициентов этих уравнений отвечают точ­

кам ф, на рис.1.60 и 1.52.

Кроме того, будем рассматривать еще две системы (третьего

и четвертого порядков), характеристические уравнения которых записываются

Сочетания значений коэффициентов этих уравнений отвечают точ­ кам Qz на рис.1.60 и 1.52.

Сравним сначала системы, соответствующие уравнениям (I.7I) и (1.72). Сочетание значений коэффициентов для уравнения (1.72) отвечает, как видно из рис.1.52, 1ранице рабочей области для

системы третьего порядка. По кривым переходных процессов можно

91

Рассмотрим физические причины такого положения. На рис.1.66 представлена исходная замещающая структурная схема

системы и третья преобразованная замещающая схема, а на

рис.1.67 - исходная и вторая преобразованная замещающие схе­ мы для системы третьего порядка. Из сравнения схем, представ­ ленных на рис.1.66,б и 1.67,6, можно заметить, что при исполь­ зовании уравнения (1.73) не учитывается при определении пра­

вой границы влияние достоянной времени третьей составляющей процесса (рис.1.66,6) на колебательность второй составляющей. Однако нельзя не учитывать ее влияние на расположение границы

рабочей области.

Рис.1.67

По той же причине влияния постоянной времени третьей со­ ставляющей процесса точка в, , соответствующая уравнению (1.69) , лежит на границе рабочей области (система четвертого порядка - рис.1.60), хотя точка Q1, соответствующая уравнению (1.70) лежит внутри рабочей области (система третьего поряд­

ка - рис.1.52).

Сравним системы, соответствующие уравнениям (1.69) и

(1.68). Этим уравнениям на рис.1.60 и 1.64 отвечают точки Qv Исходная замещащая структурная схема системы и третья цреобразованная замещащая схема для уравнения (1.69) представлены, как указывалось, на рис.1.66. На рис.1.68 представлены исходная

92

и четвертая преобразованная структурные схемы для уравнения

( 1. 68).

Раскроем на примере сравнения рассматриваемых двух систем [уравнения (1.69) и (1.68)] физические причины, которые позво­ лили для уравнения правой границы в се е теме пятого порядка исполь­

зовать уравнение [последнее уравнение системы (1.67)] .кото­ рое получено из уравнения для системы четвертого порядка. Для

этого проведем сравнение двух замещающих структурных схем (рис.1.66,в и 1.68,6). Из сравнения можно заметить, что при

Рис.1.68

использовании указанного выше уравнения для определения правых границ в системе пятого порядка не учитывается влияние постоян­

ной времени ^четвертой составляющей процесса на положение пра­ вой границы, а учитывается лишь влияние постоянной времени Т3

третьей составляющей, как это делается и в системе четвертого порядка (рисЛ .66,в). Однако при учете и постоянной времени четвертой составляющей процесса общая сумма рассматриваемых постоянных времени будет мало отличаться от постоянной времени третьей составляющей (постоянная времени четвертой составляющей

относительно мала в сравнении с постоянной времени третьей со­

ставляющей). Поэтому определение правой границы с учетом толь­ ко постоянной времени третьей составляющей дает практически правильный результат.

Таким образом, для системы четвертого порядка из-за влия­ ния постоянной времени третьей составляющей процесса при опреде-

93

лении уравнения правой граница нельзя исходить из уравнения этой границыдля системы, порядок уравнения которой на единицу

меньше, а для системы пятого порядка этот прием дает правильный

результат, так как сумма постоянных времени для быстропротекающих составляющих мало отличается от постоянной времени Т3 соответствующей системы четвертого порядка.

Шше мы этот вывод обосновали физически лишь для конкрет­

ной точки первой подобласти. Однако это можно было сделать ана­ логичным образом и для всех других точек первых подобластей.

Кроме того, примерно такое же физическое обоснование можно бы­ ло привести и для граничных точек вторых подобластей. Общим здесь является то, что сумма постоянных времени для быстропротекающих составляющих процессов мало отличается от этой суммы

для системы четвертого порядка, коэффициенты которой соответст­ вуют последним коэффициентам уравнения пятого порядка.

В итоге можем заключить, что использованный выше прием оп­ ределения уравнения правой границы для системы пятого порядка подтверждается также физическими закономерностями.

Перейдем к рассмотрению физических закономерностей, которые

позволили применить изложенный выше прием для определения урав­ нений верхних границ. В качестве уравнений этих границ были взяты уравнения границ рабочих областей для системы четвертого

йорядка. Сейчас нужно этот прием обосновать физически. Причем

следний коэффициент характеристического уравнения для системы третьего порядка - равен нулю, рассматриваемое совпадение явля­ ется очевидным, так как система третьего порядка вырождается в систему второго порядка-. Для условия, когда коэффициент А 3 не равен нулю, совпадение указанных выше уравнений имеет место изза того, что при приближенной замене действительной границы ра­

бочей области (рис.1.49) верхняя граница была представлена пря­

мой линией, т.е. было принято, что граничные значения коэффици­

94

структурные схемы системы (рис.1.50) и переходные процессы для двух различных значений А3 , которые представлены на рцс.1.52, а также учитывая» что верхняя граница рабочей обла­ сти определяется предельной колебательностью для второй состав­

ляющей процесса.

дело заключается в том, что при А3= 0 кривая процесса по координате х, вырождается в прямую линию, и поэтому процесс

по этой координате не оказывает влияния на колебательность второй составляющей процесса. ПриА= 0 координата- х ; уже из­ меняется и имеет место взаимное влияние процесса по этой ко­ ординате и по второй составляющей процесса. Чем больше отно­

шение удвоенной постоянной времени (2Гг)для второй составляю­ щей к длительности процесса по первой составляющей t 7 , тем взаимное влияние сильнее, которое выражается, а это нас сей­ час и интересует, в увеличении колебательности второй состав­ ляющей.

Однако в тех пределах изменения коэффициента А3 , которое

соответствует верхней границе и определяется правой границей рабочей области (рис. 1.52), взаимное влияние первой и второй составляющих процесса не приводит к слишком значительному из­ менению колебательности второй составляющей. Физически это

объясняется сравнительно небольшой величиной отношения 2 Г2 и времени t 7 .

Изложенные пояснения полностью относятся и к системе чет­ вертого и пятого порядков. При этом для этих систем значения

отношения 27^к t , также оказываются сравнительно малыми. Кроме

того, для систем четвертого и пятого порядков в общем случае

верхние границы могут определяться предельной колебательностью не только второй, но и других составляющих процессов, а также

вообще могут определяться не только предельной колебательностью для какой-либо составляющей процесса, но и вообще взаимным со­ отношением колебательностей для составляющих процессов в соот­ ветствии с исходной предпосылкой метода. Взаимное влияние пер­ вой и других составляющих процесса не приводит к значительному изменению колебательности последних составляющих. Это объясня­

ется тем, что отношение суммы постоянных времени £ T-L для этих составляющих процесса к времени t ; , если первая составляющая

апериодическая,- или к величине Тп&1, если первая составляющая колебательная, везде оказывается сравнительно небольшой. Для систег/ы же пятого порядка значения рассматриваемого отношения