Файл: Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ.pdf

95

практически совпадают со значениями этих величин в соответст­ венных точках (глава IУ) для системы четвертого порядка. .

Наконец, изложим физические закономерности, которые позво­ лили для разделения первой и второй рабочих подобластей исполь­

зовать разделительное уравнение (1.53). Подробно этот вопрос рассматривать не будем, лишь укажем, что использование урав­

нения (1.53) оказалось возможным по тем же причинам, какие оправдали его использование для систем четвертого порядка.. Дело в том, что значения отношения суммы постоянных времени

тически такими же, как и для соответствующих точек системы четвертого порядка. Соответствие здесь заключается в равен­ стве последних пяти коэффициентов уравнения пятого порядка аналогичным коэффициентам уравнения четвертого порядга, как это

имеет место, например, в уравнениях (1.68) и (1.69).

х х

х

Из материалов по рассмотрению систем третьего и четверто­ го порядков вытекает, что уравнения правых границ для этих си­ стем должны записываться в соответствии с их полными характе­ ристическими уравнениями.

Для системы пятого порядка (как и для систем всех более высоких порядков, о чем будет изложено ниже) это положение нарушается. При исследовании указанной системы было показано, что уравнение правой границы для этой системы должно записы­ ваться по уравнению правой границы для системы четвертого по­ рядка с увеличением индексов всех коэффициентов на единицу. Иначе это означает, что при определении уравнения указанной границы из характеристического уравнения системы (1.65) долж­ ны быть выделены последние пять слагаемых, т.е. в уравнении не должно учитываться первое слагаемое. Получится характеристи­ ческое уравнение четвертого порядка, которое отличается от

обычного уравнения (1.57) увеличением индексов всех коэффици­ ентов на единицу. Уравнение имеет вид

96

После этого уравнение правой границы для системы пятого поряд­ ка должно составляться, как уравнение правой границы для си­ стемы четвертого порядка с характеристическим уравнением (1.74)

Таким образом, для системы пятого порядка с учетом уравне­ ний верхних границ общая система уравнений, определяющих рабо­ чие области, состоит из уравнения для системы второго порядка, уравнения правой границы для системы третьего порядка и двух уравнений правых границ для систем четвертого порядка. Пере­ численные уравнения различных порядков получаются из уравнения

(1.65) и записываются

а0рг + а ,р + аг = 0 ■,

Решение задачи приближенного разложения процессов в указан­

ных системах можно было бы рассматривать последовательно для систем шестого, седьмого и других более высоких порядков в со­ ответствии с той методикой и теми приемами,, какие применялись для систем более низких порядков. Однако такой трудоемкой работы удалось избежать. Зто оказалось выгодным еще и потому, что уда­ лось получить результат сразу для системы /7-го порядка, причем этот порядок может быть любым.

Подробно пояснять решение задачи приближенного разложения процессов в системах шестого и более высоких порядков здесь не будем. Материалы по решению этой задачи изложены в главах Ши IУ. Здесь же приемы ее решения укажем лишь в общих чертах.

для рассматриваемых систем было высказано сначала предполо­ жение, что те приемы составления уравнений правых и верхних гра­

ниц рабочих областей, которые использовались для системы, пятого порядка, дадут правильный результат и для систем других поряд­ ков. Кроме того, было высказано предположение о том, что для

данных систем будет справедливо уравнение (1.53) разделения пер­

вых и вторых рабочих подобластей.

для обоснования приема составления уравнений правых границ

97

ивозможности применять разделительное уравнение (1.53) исполь­ зовался следующий способ.

При рассмотрении системы пятого порядка также сначала вы­ сказывались такие же предположения об уравнении правой границы

иразделительном уравнении. Затем путем тщательного исследова­ ния рабочих областей была доказана справедливость указанных

предположений. При этом физически это объясняется тем, что для всех точек рабочих областей отношение суммы £ 7^ постоянных

к системе седьмого порядка и т.д. для всех точек рабочих обла­ стей указанное выше отношение будет также мало отличаться от

его значения для системы четвертого порядка, то можно считать принятые предположения справедливыми, так как они оказались справедливыми для системы пятого порядка.

Положение о малых отличиях отношения £ Г- к длительности t f или Тпб (удалось доказать. Даже при стремлении порядка уравне­ ния системы п к бесконечности указанное отношение для вс^х то­ чек рабочих областей шло отличается от соответствующих значе­ ний для системы четвертого порядка, т.е. предположения об урав­

нениях правых границ и о разделительном уравнении себя оправ­ дали.

для обоснования приема составления уравнений верхних гра­ ниц использовался аналогичный способ с той лишь разницей, что '

здесь были доказаны просто узкие пределы изменения отношения суммы постоянных времени для быстролротекающих составляющих

процессов к величинам и Тпв ,(в зависимости от характера пер­ вой составляющей) в соответствии с тем, что для системы пятого порядка этим обстоятельством физически и объясняется возмож­ ность использовать в качестве уравнений верхних границ уравне­ ния рабочих границ для системы, порядок уравнения которой на единицу меньше.

В заключение исследования систем шестого и более высоких

порядков необходимо было бы обосновать при переходе к каждой следующей системе возможность выделения первой составляющей

процессов. Тем самым была бы обоснована возможность приближен­ ного разложения процессов на простейшие составляющие, так как

98

возможность выделения остальных составляющих доказывать не

нужно, если она доказана для систем меньших порядков. Этот

вывод вытекает из приема составления уравнений верхних границ и подробно обоснован для систем пятого порядка.

Однако обосновывать возможность выделения и первой состав­

ляющей процессов также нет особой необходимости. Дело в том, что доказательство малых отличий отношений суммы Е Т- постоян­ ных времени к длительности t 1 или Тпв (является одновременно и обоснованием возможности выделения первой составляющей процес­

сов. Это доказательство для всех точек рабочих областей было проведено одновременно с его рассмотрением для границ рабочих

областей.

X X

X

После исследования системы пятого порядка были указаны характеристические уравнения, на основе которых записываются

уравнения границ рабочих областей. Такие уравнения запишем и для системы п -го порядка. Из пояснений, которые изложен^ для системы пятого порядка, можно заметить, что система указанных характеристических уравнений для системы л-го порядка будет

отличаться от системы (1.75) увеличением числа уравнений чет­

вертого порядка.

характеристическое уравнение для системы п -го порядка

Тогда характеристические уравнения, на основе которых записы­

а , р ^ + а г р3+ а 3 р г+ a^p + as ^ 0 -,

a n - s P ‘h+ а п -ьр 3+ а п-з PZ+ а п -гР + o n- i = 0 5

а п - г Р г + а г,-7Р + Оп = 0 - .

99

Сучетом уравнений (1.77) по аналогии о (1.67)

уравнения границ рабочих областей записываются

г

Номера уравнений в (1.78) введены для удобства их исполь­ зования.

Учет начальных условий

В данном параграфе при рассмотрении методики решения зада­ чи приближенного разложения процессов на отдельные составляю­ щие пока в основном говорилось о левых частях уравнений от­ дельных составляющих [о сомножителях знаменателя приближенно­ го разложения функции (I.I) типа (I.I5) и (1.27)] . При состав­ лении выражений для правых частей уравнений отдельных состав­

ляющих, для числителей сомножителей приближенного разложения функции (I.I) необходимо было исходить из учета начальных ус­

ловий для отдельных составляющих.

Начальные условия для координат исходной замещающей струк­ турной схемы и исходной замещающей системы уравнений, как вид­

но из рассмотренных выше примеров, определяются по исходной пе­

редаточной функции (I.I) с учетом ее числителя и знаменателя.