Файл: Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ.pdf

63

Рис.1.4?

составляющие действительно уменьшает ошибки в совпадении кривой

указанного полного процесса (кривая на рис.1.48) с основной

составляющей.

Отказ от разложения основного процесса на отдельные состав­ ляющие может быть оправдан лишь в специальных случаях, так как это означает, что при синтезе систем необходимо осуществлять решение дифференциальных уравнений систем в машине, хотя поря­ док этих уравнений (следовательно, и потребное машинное время) будет меньше порядка исходных'уравнений. С другой стороны, в главе 71 предлагается специальный алгоритм, при использовании которого потребное время счета получается приемлемым и при по­ вышении точности протекания основного процесса. Здесь мы счита­ ем, что определение процессов, соответствующих уравнениям выше второго порядка, осуществляется только интегрированием уравне­ ний.

§ 4. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПРИЕШШВННОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОЦЕССОВ

ИА ОТДЕЛЬНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К СИСТЕМАМ

РАЗЛИЧНЫХ ПОРЯДКОВ

В этом параграфе на основе идеи задачи приближенного разло­ жения процессов в системах на отдельные составляющие покажем методику ее решения применительно к системам различных поряд-

64

ков. Вначале рассмотрим системы третьего порядка, затем чет­ вертого и более высоких порядков. Причем здесь мы не будем

подробно обосновывать каждый этап и переход. Это сделано в

главе 1У. В данном параграфе, следуя цели, которая стави­ лась выше, покажем физические основы решения задачи.

Для того чтобы содержание параграфа было более обозримым, в характеристических уравнениях систем будем считать два коэф­

фициента равными единице. Возможность считать один коэффициент равным единице не требует пояснений. Для другого коэффициента

это можно сделать по условиям подобия переходных процессов. Это положение обосновывается в главе П. Для уравнений, в ко­ торых два коэффициента приняты постоянными, будем для коэффи­

Приняты постоянными коэффициенты именно левой части уравнения в связи с тем, что излагаемая ниже методика опирается на анализ характеристических уравнений систем (знаменателей передаточных функций систем). Принятые условия (61) не нарушают, как будет

указано в главе П, общности исследования.

Система третьего порядка

Характеристическое уравнение системы записывается

Сначала необходимо выделить область, в которой выполняется первоначальная исходная предпосылка метода. Для системы третье­

го порядка, которая может иметь лишь одну пару комплексно-со­ пряженных корней, исходная предпосылка требует,чтобы выполнялось условие (1.4). Граница же рассматриваемой области должна опре­ деляться из условия

р,2 = 4,89. (1.50)

Здесь через р, г обозначена колебательность для пары комплекс­

но-сопряженных корней.

65

На р и с .I .4 9 ,а пунктирной кривой выделена область, для ко­ торой выполняется условие (1 .5 0 ) . В дальнейшем эту область бу­ дем называть рабочей.

Р и с.1 .49

Единое аналитическое выражение границы этой области оказы­ вается слишком громоздким. Кроме того, единое уравнение труд­ но затем использовать в задаче синтеза систем. В связи с этим пунхтирная граница была заменена двумя сплошными линиями ОАВ

66

и ЕС. Первую линию будем называть правой границей, а вторую - верхней. Правая и верхняя границы приближенно выделяют рабочую

область. На этих границах условие (1.50) нарушается, однако

незначительно. Об этом свидетельствуют кривые на рис.1.49,б, показывающие значения колебательности для границ. АОВ и ВС.

Терминологию "правые" и "верхние" границы сохраним и для систем всех других порядков. Для этих систем правые и верхние

границы имеют такое же взаимное расположение, как и для систе­ мы третьего порядка, что будет видно из последующего материала.

Уравнения для правой и верхней границ системы третьего

порядка записываются: верхняя граница

л

аг = 6 аа, 0

Разделим рабочую область, выделяемую верхней и правой гра­ ницами, на две (первую и вторую) рабочие подобласти кривой,со­

ответствующей уравнению

а п - г

Уравнение (1.53) есть как раз то соотношение, которое опреде­

ляет простое правило оценки порядка каждой составляющей процес­ са при его приближенном разложении. В связи с тем, что кривая,

соответствующая уравнению (1.53), выделяет в рабочей области две рабочих подобласти, будем уравнение (1.53) и соответствую­

щую ему кривую называть разделительными. Причем эту терминоло­ гию сохраним и для систем более высоких порядков, где мы будем

рассматривать не одну, а серии 1фивых. и соответственно серии

первых и вторых рабочих подобластей.

Разделительная кривая, соответствующая уравнению (1.53).

67

на рис Л . 49,а представлена штрих-пунктирной линией ОДА. В пер­ вой рабочей подобласти, которая лежит вше разделительной кри­

вой, первая составляющая процессов имеет первый порядок, а вторая составляющая - второй порядок. Во второй рабочей под­

области, которая лежит справа от разделительной кривой, первая составляющая имеет второй порядок, а вторая - первый.

Изложенный вывод получен путем сравнения величин постоян­ ных времени для второй составляющей процессов с длительностью

первой составляющей tj , если эта составляющая апериодическая, и с длительностью одной полуволны колебаний Тп& , если первая

составляющая колебательная.

Кроме того, вывод о порядке уравнений первых и вторых со­ ставляющих процессов получен путем анализа большого числа пе­ реходных процессов, который сводился к оценке величин ошибок и

проводился не только для тех точек рабочих областей, которые расположены вблизи верхней и правой границ, но и вообще для всех точек рабочей области, в том числе и для точек раздели­

тельной кривой.

Выделение первой-и второй составляющих движения соответст­ вует двойному преобразованию (первому и второму) исходной структурной схемы. Исходные и преобразованные структурные схе­

мы для первой и второй рабочих подобластей показаны соответст­ венно на рис.1.50 и I.5I.

Сравнение величия постоянных времени для второй составляю­ щей процессов с величинами £7 пли Тпв и анализ переходных про­

цессов показали, что приближенное разложение процессов на про­ стейшие составляющие с допустимыми ошибками возможно почти для

всей рабочей области. Ошибки такого разложения, как легко за­ метить из 1фивых на рис.1.52 и 1.53, существенно зависят от

расположения точек, для которых анализируются переходные про­

цессы, внутри рабочей области и от начальных условий процес­ сов, т.е. правых частей уравнений (числителей передаточныхфунк­ ций замкнутых систем). Однако для всей принятой рабочей обла­

сти, за исключением точек, расположенных вблизи точки А, наи­

большие возможные ошибки в описании кривых при использовании приближенного разложения процессов оказались вполне допустимы­ ми независимо от начальных условий.

Рассматриваемые ошибки зависят кроме рассмотренных факто­ ров также от расположения разделительной кривой внутри рабочей области. Можно провести тщательное исследование по определению

71

использованию приближенного разложения процессов на отдельные

составляющие.

Для повышения точности описания процессов при приближенном выделении отдельных составляющих в работе рекомендуется прием, изложенный в главе 1У (§ 12). Зтот прием заключается в том,

что для колебательных составляющих коэффициент знаменателя пе­ редаточной функции,стоящий при Р , формируется специальным об­

разом по значениям нескольких рядом стоящих коэффициентов,т.е. формируется более сложным образом, чем в рассмотренных выше примерах. Кроме того, применяется еще один прием, по которому уточняются начальные условия для быстропротекающих составляю­

щих. Уточненные кривые на рис.1.52 и 1.53 представлены штрихпунктирными линиями. Процессы соответствуют случаю учета для

кривых законов изменения предыдущих составляющих. Процессы, полученные без указанного учета, рассматриваются в главе 1У. Окончательно судить об ошибках, в определении процессов необ­ ходимо по этим последним кривым.

Заканчивая описание методики приближенного разложения процессов в системах третьего порядка, отметим еще одно поло­ жение.

Выше отмечалось, что единое уравнение границы рабочей об­

ласти было приближенно заменено двумя уравнениями. Уравнение,

соответствующее правой границе, было получено подбором зави­ симости, достаточно точно описывающей действительную кривую, но имеющей простую структуру. При этом в качестве обязатель­ ного условия ставилось требование, чтобы искомая зависимость давала явное выражение для коэффициента а3 . Это требование выдвигалось для упрощения задачи синтеза систем. Такое же тре­ бование выдвигалось и при подборе зависимости для верхней гра­ ницы с той лишь разницей, что это требование относилось к коэф­ фициенту а г .

Однако применительно к уравнению верхней границы нужно обратить внимание еще и на следующее. Принятое уравнение верх­ ней границы для системы третьего порядка определяет одновре­ менно для системы второго порядка с характеристическим урав­

нением:

правую границу рабочей области. Эта область для условия а0 - 1

представлена на рис.1.54 (особенностью этой области является