Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 118
Скачиваний: 0
М.ЗАМЛНСКИЙ
М.ЗАМАНСКт
ВВЕДЕНИЕ
В СОВРЕМЕННУЮ
АЛГЕБРУ
И АНАЛИЗ
Перевод с французского Е. И. СТЕЧКИНОЙ
ИЗДАТЕЛЬСТВО <НАУКАъ
Г ЛАВНАЯ Р ЕД А КЦ ИЯ ФИЗИКОМАТЕМАТИЧЕСКОН ЛИТЕРАТУРЫ
М о с к в а 1 9 7 4
НЛУЧчО- r
бИБЛИОН; ''’*'5ИДЯ
СССР
517.2
3-26
УДК 517
W -i/ W ti
COLLECTION UNIVERSITAIRE DE UATHEMATI QUES
MARC ZAMANSKY
professeur et Doyen de la Faculté des sciences de l’université de Paris
INTRODUCTION
A
L’ALGÈBRE et L’ANALYSE MODERNES
DEUXIÈME EDITION
ENTIÈREMENT REFONDUE
DUNOD
PARIS 1963
(g) Перевод на русский язык, Издательство «Наука», 1974.
20203 —066
3 053(01 )-74 47-74
ь.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От р ед ак ц и и ............................................................................................................. |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
Г Л А В А /. |
ОПЕРАЦИИ Н А Д МНОЖЕСТВАМИ. ФУНКЦИИ. |
|
|
|
||||
|
ЭКВИВ АЛ ЕНТ НОСТ Ь. ПОРЯДОК |
|
|
|
||||
Раздел 1. Операции над множествами.......................................................... |
|
|
9 |
|||||
§ 1. Терминология, символы, исходные определения (9). § 2. Под |
||||||||
множества, |
дополнения, |
пустое |
множество (10). § |
3. |
Объедине |
|||
ние (11). § |
4. Пересечение (12). |
§ 5. |
Произведение (12). |
§ 6. Свой |
||||
ства операций над множествами (12). |
|
|
|
|
||||
Раздел 2. Функции, или отображения......................................................... |
|
|
13 |
|||||
§ 1. Исходные определения |
(13). § |
2. Отображение во множество, |
||||||
отображение на множество, взаимно |
однозначное отображение |
(15). |
||||||
§ 3. Расширение функции |
на |
множества подмножеств (16). § 4. |
Об |
|||||
ратное отображение (17). |
§ 5. Композиция отображений (19). § 6. По |
|||||||
следовательности (20). § 7. |
Операции над семействами |
множеств |
(21). |
|||||
Раздел 3. Эквивалентность................................................................................ |
|
|
|
|
|
23 |
||
§ 1. Бинарные отношения (23). |
|
|
|
|
|
|||
Раздел 4. Порядок................................................................................................ |
|
|
|
|
|
|
26 |
|
Г ЛАВА 11. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ З А К О Н Ы |
|
|
|
|
||||
Раздел 1. Внутренние законы композиции................................................... |
|
|
31 |
|||||
§1. Определение и обозначение внутреннего закона композиции (31).
§2. Ассоциативность (32). § 3. Коммутативность (32). § 4. Регуляр ные элементы (33). § 5. Нейтральный элемент (33). § 6. Симметрич ные элементы (34). § 7. Понятие изоморфизма двух внутренних за
конов (36). § 8. Дистрибутивность одного закона относительно дру гого (37).
Раздел 2. |
Специальные внутренние законы композиции: группы, кольца, |
|||||
|
|
тела........................................................................................................ |
|
|
|
38 |
§ 1. |
Группы (38). § 2. Кольца (41). § 3. Тела |
(42). |
§ 4. |
Отноше |
||
ние эквивалентности на абелевой группе. Факторгруппа |
(44). |
§ |
5. От |
|||
ношения |
|
эквивалентности на коммутативном кольце. |
Идеалы |
(45). |
||
§ 6. Упорядоченные группы. Группы Рисса (46). |
|
|
|
|
||
Раздел |
3. |
Симметризация множества, наделенного |
ассоциативным и |
|||
|
|
коммутативным законом. Поле частных кольца без дели |
||||
|
|
телей нуля............................................................................................ |
|
|
|
52 |
§ 1. Первая задача. Симметризованное множество (54). § 2. Це лые рациональные, положительные рациональные числа (57). § 3. Умно жение на множестве целых рациональных чисел, сложение на мно жестве положительных рациональных чисел (58). § 4. Вторая задача. Поле частных кольца без делителей нуля (59).
1
4 |
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
|
Раздел 4. Внешние законы. Векторные пространства........................... |
61 |
|||
§ 1. |
Общие понятия (61). |
§ 2. Векторное пространство над телом |
||
(полем) |
(62). § 3. Построение |
векторных |
пространств. Примеры |
(66). |
Раздел 5. Законы и отношения на множестве функций........................... |
71 |
|||
Г Л А В А |
III. Л И Н Е Й Н А Я АЛГ ЕБ РА |
|
|
|
Раздел |
1. Векторные пространства................... |
............................................ |
74 |
|
§ 1. Линейно независимые элементы. Базисы (74). § 2. Конечно |
||||
мерное |
векторное пространство (76). § 3. |
Алгебры над полем |
(79). |
|
Раздел |
2. Линейные отображения. Линейные формы.............................. |
82 |
||
§ 1. Определения (82). § 2. Операции над линейными отображе ниями (82). § 3. Свойства линейных отображений (83). § 4. Случай ко нечномерных векторных пространств (87). § 5. Прямая сумма. Факторпространство (88). § 6. Ранг линейного отображения (91). § 7. Линейные формы. Сопряженные пространства (93). § 8. Транспонирование ли нейного отображения (95). § 9. Линейные уравнения (98).
Раздел 3. Матрицы над полем........................................................................ |
104 |
§ 1. Определение прямоугольных матриц (104). § 2. Алгебраические операции с матрицами (106). § 3. Представление линейного отображе ния посредством произведения матриц (109). § 4. Квадратные ма трицы (109). § 5. Ранг матрицы. Транспонированная матрица (111). § 6. Применение матриц к линейным уравнениям (112).
Г Л A B |
А IV. |
ПО Л ИЛ И НЕ Й НА Я АЛГЕБРА |
|
|
Раздел |
|
1. |
Билинейные отображения. Тензорное произведение. . . . 114 |
|
§ |
1. |
Билинейные отображения (114). § |
2. Тензорное произведение |
|
двух векторных пространств (116). § 3. Обобщения (120). |
||||
Раздел 2. Внешняя степень векторного пространства. Внешнее произ |
||||
|
|
ведение элементов............................................................................ |
121 |
|
§ 1. |
Внешняя степень порядка 2 (121). |
§ 2. Обобщения (124). |
||
Раздел 3. Внешние степени линейного отображения. Определители . , 128
§ 1. Внешние степени линейного отображения (128). § 2. Опреде лители (130). § 3. Определители матриц, определители векторов (131). § 4. Вычисления определителей. Решение линейных уравнений. Обра тимые матрицы (132).
Г Л A B А V. ТОПОЛОГИЯ |
|
|
Раздел |
1. Фундаментальные семейства.................................................. |
... . 136 |
§ 1. |
Определения. Примеры (136). § 2. Свойства |
(138). § 3. Срав |
нение фундаментальных семейств (140). |
|
|
Раздел 2. Топологические пространства..................................................... |
141 |
|
§ 1. Определение топологического пространства. База открытых окрестностей. База топологии (141). § 2. Сравнение и построение топо логий (150). § 3. Топологии, определяемые счетными семействами (153).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
|
5 |
||
Раздел |
3. |
Отделимые |
компактные, |
локально компактные и связные |
||||||||||
|
|
|
|
пространства .................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
155 |
|||
§ |
1. |
|
Отделимые |
пространства, |
регулярные |
пространства |
(156). |
|||||||
§ 2. Компактные |
пространства |
(158). § 3. |
Локально компактные про |
|||||||||||
странства (163). § 4. Связные пространства (167). |
|
|
||||||||||||
Раздел 4. |
|
Пределы, |
сходим ость........................................................................ |
|
|
|
|
168 |
||||||
§ |
I. |
Понятие фильтра (169). § 2. Пределы в топологических про |
||||||||||||
странствах (172). § 3. Пределы в отделимом пространстве, в компакт |
||||||||||||||
ном пространстве, в пространстве со счетной базой (179). |
|
|||||||||||||
Раздел 5. |
|
Непрерывность....................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
182 |
|||||
§ 1. Определения и общие свойства (182)„§ |
2. |
Гомеоморфизм (185). |
||||||||||||
§ 3. Непрерывные |
|
функции, |
компактные |
пространства, связные |
про |
|||||||||
странства |
|
(186). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Г Л А В А |
VI. Д Е Й С Т В И Т Е Л Ь Н Ы Е |
|
ЧИСЛА |
|
|
|
|
|||||||
Раздел 1. Множество рациональных чисел.................................................. |
|
|
188 |
|||||||||||
§ |
1. Множество Z целых рациональных чисел (188). § 2. Краткий пе |
|||||||||||||
речень |
|
определений |
и свойств |
множества |
рациональных чисел |
(189). |
||||||||
§ 3. Топология на Q (190). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Раздел 2. Построение R и основные свойства.......................................... |
|
195 |
||||||||||||
§ |
1. |
|
Определение |
R (195). § 2. |
Сложение, |
порядок и абсолютное |
||||||||
значение |
на R (196). |
§ 3. Поле R (198). § |
4. |
Топология на R. Два |
||||||||||
основных |
|
свойства |
(199). |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Раздел 3. |
Числовая п р я м а я ............................................................................ |
|
|
|
|
|
|
203 |
||||||
§ |
1. |
Основные |
|
элементы топологии множества R (203). § 2. |
Ком |
|||||||||
пактные |
множества, связные |
множества в R (207). § 3. Свойства не |
||||||||||||
прерывной числовой функции. Гомеоморфизм на R. Расширенная пря |
||||||||||||||
мая R (212). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Раздел |
4. |
|
Числовые функции на множестве.................................................. |
|
|
217 |
||||||||
§ 1. Грани, оболочки, верхние и нижние пределы (217). § 2. Число вые функции на счетном множестве. Бесконечные суммы. Ряды (226).
ГЛ А В А VII. МЕТ РИЧЕ СКИЕ ПРОСТРАНСТВА. НОР МИР ОВ АННЫЕ
ВЕК ТОРН ЫЕ ПРОСТРАНСТВА. Б А Н А Х О В Ы ПРОСТ РАНСТ ВА.
ГИ Л Ь Б Е Р Т О В Ы П РОСТ РА НСТ ВА
Раздел 1. Метрические пространства............................................................. |
239 |
§ 1. Расстояние (239). § 2. Топология метрического простран ства (241). § 3. Компактные метрические пространства (249). §4. Связные метрические пространства (250). § 5. Полные метрические пространства. Пополнение метрического пространства (250). § 6. Полуметрические пространства и ассоциированные метрические пространства (258). § 7. Отображения метрического пространства в метрическое простран ство. Непрерывность, равномерная непрерывность, продолжение по непрерывности (259).
Раздел 2. Метрические группы, метрические векторные пространства, |
263 |
||
|
банаховы пространства, гильбертовы пространства................ |
||
§ |
1. Метрические группы. Нормированные группы Рисса (264). |
|
|
§ 2. |
Метрические векторные |
пространства. Нормированные простран |
|
ства. |
Банаховы пространства |
(272). §3. Гильбертовы пространства (282). |
|
6 |
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Г Л А В А |
VIII. ФУНКЦИИ СО З НА Ч Е Н И Я М И В М ЕТ РИЧЕ СК ОМ |
|
|
ПРОСТРАНСТВЕ. СТ УПЕНЧАТ ЫЕ ФУНКЦИИ. Н Е ПРЕ РЫВ НЫЕ |
|
|
И ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ |
|
Раздел |
1. Понятие функционального пространства.................................. |
291 |
§ I. Простая сходимость семейства функций (291). § 2. Топология на множестве функций со значениями в метрическом пространстве (292).
Раздел 2. Ступенчатые функции. Приближение ступенчатыми функциями 298
§ |
1. Ступенчатые функции (298). § 2. Равномерное приближение |
||
ступенчатыми функциями (303). |
|
||
Раздел |
3. Непрерывные числовые функции на компактном простран |
||
|
|
стве ....................................................................................................... |
306 |
§ |
1. |
Теорема Дини (307). § 2. Теорема Вейерштрасса (309). |
|
Раздел |
4. Полунепрерывные функции............................................................. |
317 |
|
§ |
1. |
Определение и общие свойства (317). § 2. Полунепрерывные |
|
функции |
на локально компактном или полном метрическом простран |
||
стве |
(323). § 3. Оболочки полунепрерывных функций (325). § 4. |
Полу |
|
непрерывные функции — оболочки непрерывных функций. Теорема Уры-
сона (327). |
— |
Г ЛАВА IX. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ В ЕК Т ОР Н ЫЕ ПР ОСТ РАНСТ ВА И Л И НЕ ЙНЫЕ |
|
ОТ ОБ РА ЖЕН ИЯ |
|
Раздел 1. Полные метрические векторные пространства |
...........................335 |
Раздел 2. Полунормированные и нормированные пространства . . . . 342
§ 1. Теорема Хана — Банаха (342). § 2. Непрерывные линейные отображения (344). § 3. Теорема Банаха — Штейнгауза (350). § 4. При меры (352).
Г Л А В А X. И Н Т Е ГР И РО В АН ИЕ
Раздел 1. Числовые меры на пространстве Р и с с а .................................. |
369 |
§ 1. Введение и отыскание исходных условий (369). § 2. Положи тельная мера на пространствеРисса числовых функций. Аксиома (3/) (371).
§3. Положительная мера на пространстве ступенчатых функций (373).
§4. Положительная мера Радона (377). § 5. Обобщение понятия меры (381).
Раздел 2. Построение пространства Л ? ......................................................... |
|
384 |
|
§ 1. Пренебрежимые множества. Новая форма аксиомы 9 (385).' § 2. |
|||
Построение пространств Л? и L (389). |
§3. Теорема |
об интегрирова |
|
нии (392). |
|
|
|
Раздел 3. Свойства пространства J3? |
|
... . 395 |
|
§ 1. Пренебрежимые функции (395). § 2. Последовательности |
|||
Коши в ЛЛ (396). § 3. Интегрирование |
последовательности функций |
||
из Л ? (398). |
|
|
|
Раздел |
4. Измеримые множества............... |
..................................................... |
405 |
§ 1. |
Общие определения (405). § |
Случай меры |
на клане (408). |
§ 3. Случай меры Радона (411).
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
|
|
||
Раздел 5. |
Пространства 3 * р ............................................................................ |
|
|
|
|
|
§ 1. |
Неравенства Гёльдера |
и Минковского (413). § 2. |
Построе |
|||
ние и свойства пространства |
(1 < |
р < |
+ |
оо) (416). § 3. |
Соотно |
|
шения между пространствами J g p (1 < |
р < |
+ |
оо) (420). § 4. Простран |
|||
ства 'З'™ и L°° (424). |
|
|
|
|
|
|
Раздел 6. |
Теорема Лебега — Никодима,- |
Разложение меры. Непрерыв |
||||
|
ные линейные формы на J£?p |
..................................................... |
|
|
|
|
§ 1. |
Теорема Лебега — Никодима (429). § 2. Разложение меры (433). |
§ 3. Непрерывные линейные формы на пространствах 2 ,р (436). |
|
Раздел |
7. Теорема Лебега — Фубини............................................................. |
§1. Произведение двух кланов (440). § 2. Мера — произведение (442).
§3. Теорема Лебега — Фубини (443).
Раздел 8. Меры на числовой прямой............................................................. |
|
||||
§ |
1. |
Монотонные функции, |
функции ограниченной вариации (447). |
||
§ 2. Определения мер на числовой прямой (451). § 3. |
Производные мо- |
||||
|
|
|
|
Я |
|
нотонных |
функций |
(456). § 4. |
Изучение j / (t) dt, |
где f — интегри- |
|
руема |
|
|
|
а |
|
(467). § 5. Абсолютно непрерывные функции и каноническое раз- |
|||||
ложение монотонной |
функции (472). § 6. Примитивные. Интегрирование |
||||
по частям. Замена переменного |
(478). |
|
|||
Предметный у к азател ь .....................................................................................