Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

ОТ РЕДАКЦИИ

Книга М. Заманского является современным введением в важнейшие раз­ делы математики, составляющие основу общего математического образова­ ния — алгебру и анализ. Эти науки, равно как и их преподавание, подверглись за последние десятилетия коренным изменениям. Одна из замечательных осо­ бенностей книги М. Заманского состоит в последовательном изложении важ­ нейших приемов применения алгебраических идей и средств в математическом анализе. На очень простых и важных примерах, таких, как множество рацио­ нальных чисел или числовая прямая, автору удается наглядно показать, как выглядят в конкретных ситуациях общие алгебраические понятия и какую роль эти понятия играют при постановке и решении аналитических задач. На протяжении всей книги автор пользуется любым случаем, чтобы подчеркнуть наличие алгебраической структуры в аналитическом объекте и указать спо­ собы использования этой алгебраической структуры.

Но ценность книги далеко не исчерпывается этой методической особен­ ностью. Книга М. Заманского содержит изложение важнейших понятий це­ лого ряда математических теорий — от общей топологии и теории упорядо­ ченных групп до функционального анализа и теории интегрирования. Не­ смотря на большой объем материала, изложение сохраняет высокий уровень лекционной наглядности.

Книга М. Заманского может служить полезным учебным пособием для любого инженера или студента технического или экономического вуза, — для каждого, кто знаком хотя бы с элементарным курсом математического ана­ лиза, — как средство ознакомления с плодотворными и мощными инструмен­ тами современной математики, изучение которых он может продолжить при работе над систематическими курсами общей алгебры и функционального анализа.

Л. Штерн

Г Л А В А /

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ. ФУНКЦИИ. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ. ПОРЯДОК

Р А З Д Е Л 1

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

§ 1. Терминология, символы, исходные определения

Множества и составляющие их элементы обозначаются бук­ вами, заимствованными из различных алфавитов, но главным образом из латинского.

Иногда, руководствуясь соображениями удобства, обозна­ чают множество прописной буквой, скажем, Е или А, а эле­ мент, ему принадлежащий, строчной буквой, х или а. Из тех же соображений принимают алфавитный порядок при записи двух или трех множеств: Е, F, G, и их элементов: х, у, г.

Элемент множества называют также точкой.

В некоторых случаях для лучшего запоминания принимается более точное специальное обозначение: N — множество нату­ ральных чисел, А — кольцо, R — множество действительных чи­ сел и т. п.

Выражения «х принадлежит множеству £», или «х есть эле­ мент множества Е», или «х есть точка из Е» все имеют одина­

сывается:- х ф Е .

Говорят, что множество Е содержится во множестве F, если любой элемент х из Е является элементом множества F. Сим­

может рассматриваться как тождественное равенство между х и у, это может также означать, что некоторый элемент х обо­ значается по-новому, через у. Разъясним последнее на примере. Пусть имеются два действительных числа а и Ь\ обозначим

Если же имеет место и обратное, т. е. всякий раз, как верно

тается так: для того чтобы было верно Р, необходимо и доста­ точно, чтобы выполнялось Q, или: необходимым и достаточным условием справедливости Р является выполнение Q.

Например, фраза определения «две дроби plq и p'lq' назы­

§ 2. Подмножества, дополнения, пустое множество

Всякое множество, составленное из элементов заданного множества Е, называется подмножеством, или частью множе­ ства Е. Подмножество определяется заданием некоторого свой­ ства Р, которому удовлетворяют (или которому не удовлетво­ ряют) элементы множества Е.

туральные числа, множество которых составляет часть множе­ ства N. Если же Р — свойство, состоящее в том, что «квадрат натурального числа равен двум», то оно не выполняется'ни для какого элемента множества N.

Если свойство Р не имеет места ни для какого элемента из Е, то подмножество множества Е, определяемое этим свой­ ством, называется пустым подмножеством, или пустым мно­ жеством. Пустое множество обозначается 0 . Говорят также, что такое множество пусто, или что множество элементов, удов­ летворяющих Р, пусто.

Подмножество, содержащее лишь один элемент х, обозна­ чается {X}.

подмножеств множества Е, т. е. является подмножеством мно­ жества Е, и значит, можно также записать, что X cz Е.

Пусть Е есть некоторое множество, а X — его подмножество, определенное свойством Р. Дополнением множества X (до Е) называется множество элементов из Е, не принадлежащих X, т. е. элементов, для которых свойство Р не выполняется.

Дополнение множества X обозначается через СХ или, в слу­ чае необходимости уточнения, через С е^-

Наряду с этим обозначением используется также обозначе­ ние «разности»: Е — X.

Дополнением пустого множества является все множество Е,

используется для записи дополнения У относительно X. Оче­ видно, что

X с= УфЬСХ гэ СУ.

§ 3. Объединение

Объединением двух множеств, Е и F, называется множество элементов, принадлежащих Е или F. Союз или имеет смысл: «безразлично». Он является отрицанием союза и, означающего: «одновременно». Объединение двух множеств Е, Е обозначается Е {] F. Символ U называется символом объединения. Имеем

ди Е = Е1!£.

Вобъединении двух множеств, Е и F, мы можем рассмот­ реть элементы из Е, не принадлежащие F, элементы из F, не принадлежащие Е, и элементы принадлежащие Е и F.

Пересечением двух множеств, Е и Е, называется множество элементов, принадлежащих Е и F. Пересечение двух множеств

или не имеют общих точек, или не пересекаются. Каково бы ни

дением множества £ на множество Е называется множество всех элементов, получаемых путем составления пар из двух элементов, первый из которых, х, принадлежит £, а второй, у, принадлежит Е. Произведение множества £ на множество Е

Если £ = Е, то вместо £ X Е пишут также £ 2.

§ 6. Свойства операций над множествами

Объединение и пересечение, рассматриваемые как операции над множествами £, Е, G,

коммутативны, т. е.

£ U Е — Е и £, £ Л Е = ЕЛ£;

ассоциативны, т. е.

(£ U Е) U G = £ U (Е U G), (£ Л Е) Л G = £ Л (Е Л G);

тогда можно писать £ U Е U G без скобок.