Ч'1( а ) .
482 ГЛ . X . И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Е
( е [ а , b], |
где Оср(0 |
существует |
(почти всюду). |
Предположим, |
что |
Ф (а) = а , |
|
ф ф) = ь, |
ф ( [а, ß]) = [a, |
Ь]. |
|
|
Пусть |
f непрерывна |
на |
[а, Ь\ |
и пусть |
|
|
ф(*) |
|
|
|
X |
|
Ф(х) = J f ( u ) d u , |
W ( x ) = $ f ( q > ( t ) ) D y ( t ) d t . |
|
ф (о) |
|
|
|
« |
|
Функция Ф равна |
/•'оф, |
где |
|
|
|
|
|
F ( X ) = \ f { u ) d u . |
|
Имеем |
|
|
J f (и) d u < su p l f ( u ) ИX ' - X \ , |
F ( X ) - F ( X ' ) | = |
откуда |
|
|
|
|
|
|
1Ф {x) —Ф (x') I = I F |
( ф (x))— F ( ф (x')) К sup I / (н) Иф(x')—ф (x) [. |
|
|
|
|
|
U |
|
Абсолютная непрерывность функции ф влечет абсолютную непрерывность функции Ф.
Так как f и ф непрерывны, a Dф интегрируема (поскольку ф абсолютно непрерывна), то функция t —►f(<p(t))Dq>(t) интегри руема. С одной стороны, имеем
ОФМ 0%.f М)D(f>W
(дифференцирование сложной функции), и с другой стороны,
D XV М = f (ф (х)) £)ф (х).
Значит, £)Ф = DW. Но поскольку Ф и Т*- абсолютно непре
рывны и имеют почти всюду равные производные, то они отли чаются друг от друга на постоянную, и эта постоянная равна Нулю, ибо Ф (а) =
Итак, е с л и f н е п р е р ы в н а на |
[а, |
Ь], а |
ф аб со лю т но н е п р е р ы в н а |
н а [а, Ь], и е с л и |
|
|
|
ф(а) = а, Ф (ß) — |
b, |
ф([а, |
ß]) = [a, Ь], |
То
ьß
$ f (и) d u = J f { < f (f ) )D < t( t) d t .
8. М ЕРЫ Н А Ч И С Л О В О Й П Р Я М О Й |
483'. |
Предположим теперь, что Оср(і)^ 0 и покажем, что преды дущая формула верна для любой функции, являющейся преде лом возрастающей последовательности непрерывных функций,, интегралы которых на [а, Ь] ограничены. Обозначим предельную функцию через f. Тогда последовательность /п(ф)£>ф возрастает, сходится почти всюду к /(ф)Пф, и в силу ограниченности инте гралов выполняется равенство
ьß
J / (и) du = I / (ф (/)) £>ф (0 dt.
аа
Отсюда получаем теорему.
Те ор ем а . Если функция ф возрастает и абсолютно непре рывна на [а, ß] er R, а функция f интегрцруема на [а, Ь] =
= [ф(°0> ф(Р)]> то
ьß
J / (и) du = J f (ф (0) 0ф (0 dt.
Абелева группа 38 Абсолютное значение 48, 189
------ действительного числа 197 Аксиома (S') 371
—(S'') 387
Алгебра 79
—банахова 280
—нормированная 280
Антисимметричное отношение 24 Ассоциативность 32
База открытых множеств 143
— топологии 143 Базис 76 Банаха теорема 335
Банаха — Штейнгауза теорема 352 Банахово пространство 279 Беппо Леви теорема 398
Биективное отображение, биекция 15 Билинейная форма 114
Билинейное отображение 114 |
|
— — альтернированное 123 |
теорема |
Больцано — Вейерштрасса |
212
Бэра свойство локально компактного пространства 165— 167
— — полного метрического простран ства 254
Вариация 449 Вейерштрасса — Стоуна теорема 316 Вейерштрасса теорема 310 п-вектор 128
Взаимно-однозначное отображение 15 Внутренность 144 Выпуклое множество 288
Гельдера неравенство 414, 427 Гильбертово пространство 285 Гомеоморфизм 185
Грани числовой функции 217 Грань верхняя 28
—нижняя 28 Группа 38
—метрическая 264
—Рисса 48
------- нормированная 266
—топологическая 202, 264
—упорядоченная 46
Диагональ 12 Диаметр множества 244 Дини теорема 307 Дистрибутивность 37 Дополнение 11
Дополнительное подпространство 89
Закон внешний 61
—композиции 31
—— внутренний 31
Замена переменного 481 Замкнутость 146
—на R 204
Замыкание 145
—на R 205
Значение 13
Идеал 46 Изоморфизм 36, 85
Индекс 14 Интегрирование по частям 480
Интервал 190
— на R 203
Инъекция 16
Клан 299 Класс эквивалентности 24 Колебание 224
п р е д м е т н ы й у казатель |
485 |
Кольцо 41
— т о п о л о г и ч е с к о е 2 0 2
Ко м м у т а т и в н о с т32ь
Ко м п а к т н о е ( п р о с т р а н с т в о ,
ст в о ) 158, 159
К о м п а к т н о с т вь R 207
Ко м п о з и ц и я о т о б р а ж е н19и й
------ - непрерывных 185
Ко м п о н е н т ы76
Ко о р д и н а т ы76
Лебега — Никодима теорема 430 Лебега теорема 400 Лебега — Фубини теорема 445
Линейно зависимые элементы 75
— независимые элементы 75
М а ж о р а н т а28
М |
а ж о р и р о в а н н о е о т о б р а ж е30н и е |
М |
а т р и ц а 105 |
—квадратная 109
—обратимая 111
Медианы равенство 286 Мера 371
—абсолютно непрерывная 429
—Лебега 455
—ограниченная 372, 407
—положительная 371, 374 Мера — произведение 371, 374 Мера Радона 379
Минковского неравенство 416 Миноранта 28
М ш ю р и р о в а н н о е о т о б р а ж е30н и е М н о ж е с т в о , в с ю д у п л о т 145н о е
—измеримое 405
—компактное 159
—меры нуль 410
—плотное 145
—п р е н е б р е ж и м о386е —417
М о н о т о н н ы е п о с л е д о в а т е л ь н о с т и
р е м а о п р е д е л е ) |
2 1 2 |
Наибольший элемент 27 Наименьший элемент 27 Невырожденная эрмитова форма 284 Нейтральный элемент 33 Непрерывность равномерная 259 Норма 274
— линейного отображения 346 Нормированное пространство 274 Нормы эквивалентные 277
Оболочка числовых функций 221 Образ 13
— топологии 151—152
мн о—ж ефильтра 171 Объединение 11 Ограничение 15
Окрестности 143 Окружность 241 Оператор 13, 61 Определитель 130, 131
Ортогональные элементы 287 Открытое множество 146
------- на R 204
Отношение бинарное 23
— порядка 26
-------противоположное 27 Отображение 13
—в, на 15
—возрастающее 30
—линейное 82
—непрерывное 182
—обратное 17
—тождественное 14
—убывающее 30
Параметр 13 Переменное 13 Пересечение 12 Перестановка 15 Пифагора теорема 287 Подгруппа 39
Подмножество, пустое подмножество
10
Подпоследовательность 21 Подпространство метрического про
странства 241
— топологического пространства 151 Подфильтр фильтра 170 Покрытие 22 Поле 42
— нормированное 272 ( т—е о топологическое 202
Полилинейное отображение 120
------ альтернированное 124 Положительное действительное число
197
Полуметрическое пространство 258 Полунормированное пространство 274 Полурасстояние 258 Пополнение метрического простран
ства 255 Порождение 69, 75 Порядок 26 Последовательность 20
— Коши 193
Последовательность Коши в R
199
Почти всюду 386 Правило знаков 58
Предел верхний, нижний 221
-------, — на R 206
Предельная точка 172 Прикосновения точка 173 Проектор 290 Произведение (множеств) 12
—внешнее 123
—скалярное 283
—тензорное 116—119 Производные числа 457—458 Пространство векторное 62
------- метрическое 273
------- нормированное 274
—гильбертово 286
—компактное 158
—локально компактное 163
—метрическое 239
—нормальное 161
—нормированное 274
-------, ассоциированное с полунормированным 275
—отделимое 156
—полунормированное 274
—регулярное 157
—Рисса 282
—топологическое 141
—хаусдорфово 156
Равенство двух отображений 15 Равномерная непрерывность 260 Равностепенная непрерывность 297 Разбиение 23 Разложение меры 433
—(ортогональное), теорема 289 Размерность 78 Ранг линейного отображения 84, 91
—матрицы 112
Расстояние 239
—евклидово 240
—между множествами 244
Расстояния эквивалентные 243 Регулярный элемент 33 Рефлексивность 24 Рисса пространство 282
— теорема 454 Ряд 235
Семейство подмножеств 21
—свободное 75
—суммируемое 227
—фундаментальное 136 Симметризованное множество 54
Симметричность 24 Симметричный элемент 34 Скачок 447
Согласованное отношение эквивалент пости 44
Сопряженное пространство 93 Степень внешняя 123, 127, 128
—тензорная 121 Столбец 105 Строка 105 Сужение 15
—меры 377 Сумма прямая 89
Суммирования метод 362
Сфера 241 Сходимость простая 291
— равномерная 292 Счетное множество 20 Сюръекция 15
Таблица умножения 80 Тело 42 Тензор 121
Теплица теорема 364 Топологическая группа 264
—структура 141 Топология 141
—индуцированная 151 Точка 9
—накопления 205
—предельная 172
—прикосновения 173 Транзитивность 24
Транспонированная матрица 112 Транспонированное линейное отобра
жение 96
Уравнение линейное 98 Урысона теорема 331
Свободная система 75 |
Фактормножество 25 |
Факторпространство векторного про |
Связное множество 167 |
странства 89 |
. ----- в Я 210 |
Фату теорема 400 |
Фильтр 169
—индуцированный 170 Форма линейная 82
—эрмитова 283 Функция 13
—абсолютно непрерывная 473
—монотонная 447
—непрерывная 213
—полунепрерывная сверху 318 снизу 318
—постоянная 14
—пренебрежимая 395
—скачков 447
—ступенчатая 302
Хана — Банаха теорема 342
Целые рациональные числа 57
Часть 10 Число действительное 195
— рациональное 57, 189
Шар 241 Шварца неравенство 284
Эквивалентность 24 Элемент 9 Эндоморфизм 82
М. Заманский
ВВЕДЕНИЕ В СОВРЕМЕННУЮ
а л г е б р у
И А НА ЛИЗ
М., 1974 г., 488 стр. с илл. Редактор А. И. Штерн
Техи. редактор С. Я. Шк ляр,
Корректор Т. С. Вайсберг
Сдано |
в набор 20/ХІ 1973 |
г. |
|
Подписано |
к пе |
чати 6/Ѵ 1974 г. Бумага 6 0 X 9 0 Тип. № 1. |
Физ. |
иеч. л. |
30,5. Условп. печ. л. |
30,5. |
Уч.-изд. л. |
27,71. |
Тираж |
14 000 экз. |
Цена |
книги 2 р. |
24 к. |
Заказ № 871. |
|
|
|
|
|
Издательство «Наука» |
|
|
|
|
Главная редакция |
|
|
|
|
физико-математической литературы |
|
117071, |
Москва, В*71. Ленинский проспект, 15 |
Ордена |
Трудового Красного |
Знамени |
|
Ленинградская |
типография |
№ |
2 |
|
|
имени |
Евгении |
Соколовой |
Союзполиграфпрома |
при Государственном комитете Совета Министров
СССР по |
делам издательств, полиграфии |
и книжной |
торговли, |
198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспекті 29.
