Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Скачать файл (16,84Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 121

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

478				ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Э та		теорема		п ока зы вае т в	случае	в о зр а ста ю щ и х		ф ункций
(и л и	мер на		R ) ,	чем является	теорем а о		р азл о ж е ни и . Ф у н к
ц ия	F 1	имеет	почти всю д у п р о и звод ную			/ і,	но f { = 0.	Е сли F x

не п остоя нна , то нельзя записать

F\ ( x ) - F l (а )= J/ i(/ )tf = 0.

И н ы м и словам и ,

F x

не

будет

и н теграл ом

от

своей

п р о и з

водной .

П ри м ер ом та ко й ф ун кц и и с л у ж и т

ф ун кц и я

ска чко в

(§

3, тео

рема

3 ).

Е сл и о тп р а вл я ть ся

от возра стаю щ е й

ф ун кц и и

F ,

то

м о ж н о

вн ача л е нап и сать , что F

С +

5 ,

где С —

непреры вная возрас

та ю щ а я

ф ун кц и я , а

—

ф ун кц и я

ска чко в .

З атем

разбиваем

н а

Со +

С ь

где

С 0 аб со л ю тно непреры вна

где С\

непреры вна,

но

имеет

почти

всю д у , п р о и звод ную ,

р а в н ую

н ул ю .

О ко н ч а те л ь

но

получаем

F =

C 0 + С , +

5 .

Е с л и

теперь

рассм отреть

м нож ества —

образы

м нож еств

из

[а , Ъ]

при о то б р а ж е н и я х

С 0,

С ь S м нож ества

в R ,

то

л е гко

в и

деть,

что:

1 )

С 0 переводит

м нож ество

меры

н уль

во

м нож ество

меры

н ул ь ;

2 )

С 1 определяет

н еп ре ры вн ую

м еру

(к а ж д а я

точка

имеет

м еру

н у л ь ),

но

С і ( Ь ) —

С , ( а )

есть

мера

м нож ества

^-н ул е вой

меры ;

не

определяет

непреры вной

м еры ;

то л ь ко то ч ки счет

ного

м нож ества

(то ч ки

разры ва ф ун кц и и

F )

им ею т

н енулевую

м еру;

переводит счетное

м нож ество (A-нулевой м еры ) во м но

ж е ство п о л о ж и те л ьн о й

меры.

Н а ко н е ц ,

добавим ,

что

м о ж н о п о стро и ть

неп ре ры вн ую

ф ун к

ц ию

строго

во зр а ста ю щ ую ,

но

и м е ю щ ую

почти всю д у

п р о и зво д

н ую ,

р а в н ую н ул ю .

Т а к а я

ф ун кц и я

является

гом еом орф изм ом .

Э то

доказы вает,

что

семейство множеств м ер ы

н у л ь н е является

т опологическим

инвариант ом .

§ 6. Примитивные. Интегрирование по частям. Замена переменного

1. Примитивные.		П у с ть		F	—	д ействител ьная				ф ун кц и я	д ей
с тв и те л ь н о го перем енного			х	на		R или	на		некотором интервале
из R . П ред пол ож им ',		что д ля			л ю б о го х		ф ун кц и я			F имеет	п р о и з
во д ную ,	конечную«	или	б есконечную ,				и		п усть	f ( x ) — D F ( x ) .
■Ф ункция	f есть п роизвод ная				ф ун кц и я ,		а	F	есть	ее п ри м и ти в на я
»(всякая	д р у га я п р и м и ти в н а я				о тличается			от нее		на п о с то я н н у ю ).

8. МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ

479

З ад ача

о ты ска н и я п р и м и ти в н о й

д л я п роизвод ной

ф ун кц и и

состоит

следую щ ем : « пр ед п ол о ж и м ,

что

задана

ф ун кц и я

кото ро й

известно , что

она

является

производ ной

некоторой

ф ун кц и и

к а к п о стро и ть

F ?»

Т р уд н о сть

этой

задачи

в з н а ч и

тельной мере про и стека ет

из

п ростоты

ее

ф о рм ул и ро вки ,

п о

ск о л ь к у

не

делается н и к а к и х

п р е д по л ож ен и й

пом им о

п ер вон а

чальной

ф о рм ул и ро вки .

Ч а сти чн ы е

реш ения,

ко торы е

б ы ли

получены

в начале

века, исхо д и л и

из

более

у з к и х

п ре д п о л о ж е н и й : пред полагалось ,

что

является

производ ной и

уд о вл етвор яет

неко то р ом у

д опо л ни те л ьно м у

усл о ви ю .

Т а к , к о г

да

непреры вна ,

и н те гр ал

К о ш и

(и н те гр а л

от

н епреры вны х

ф ун кц и й )

позволяет о тветить

на вопрос: всяка я

непреры вная

ф ун кц и я

есть

п роизвод ная

ф ун кц и я ,

и ее

п р и м и ти в н а я

о пр е

деляется

к а к

F { x ) = \ f { t ) d t .

И н те гр а л

Р и м ан а позволил

д а ть

ответ

нескол ько

более о б

щ и й .

Е сли

-производная ф ун кц и я

f о гра ни ч ен а ,

то

она

и н те гр и

руем а в см ы сле

Л е б е га ,

последняя

ф орм ула

снова

опреде

ляет

п р и м и ти в н ую .

Д а н ж у а

п р и н а д л е ж и т

реш ение

проблем ы

(в 1912 г.)

д л я

сл уч ая , ко гд а

пре д по л агае тся

конечной в

к а ж

дой

точке ,

Ш о к е

(в 1942 г.) для

общ его

случая.

М е то д

Д а н ж у а ,

назва нн ы й

им

тота л и зац и е й ,

и н огд а

н а зы

вается и н те гр ал о м

Д а н ж у а ,

но

пре д ставл я ет

сущ ественное р а з

личие с и н те гр и р о ва н и е м в п р и н я то м

смы сле.

сам ом деле, если

ф ун кц и я

и н те гр и руе м а ,

то

| / |

то ж е

и н те гр и руе м а ,

тогд а к а к

это,

вообщ е

говоря ,

будет

не т а к

д ля

тота л и зи руе м о й

ф ун кц и и

(ср.

сходящ иеся

аб со л ю тно

сход ящ иеся

ряды ,

одной

сто

роны , и сходящ иеся

и не сходящ иеся

а б солю тно

ряды ,

с д р уго й

с то р о н ы ).

Здесь мы о гр а н и ч и м ся сл е д ую щ и м

результатом .

Т е о р е м а .

Е с л и действительная ф у н к ц и я

о п р е д е л е н н а я

н а

[а, b], является

п р о и з в о д н о й

некот орой

ф у н к ц и и

F и

е с л и /

о г р а

н и ч е н а , то ф у н к ц и я

F оп р ед ел яет ся

к а к

F ( x ) = l f ( t ) d t + C .

самом

деле,

п усть D F

—

sup 1 / (х)

Д л я

п ро и зво л ь н ы х

д в у х точек

х ,

х '

эл ем ентарная

ф орм ула ко

н ечны х п ри р ащ ен и й

дает

j F ( * ) - F ( ; O K M U - n

J ф (t) dt,

480	ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

и следовательно, для любого подразбиения интервала [а, Ь] точками щ имеем

Ii\F{at+l) - F ( a t) \ ^ M { b ~ a ) .

Стало быть, функция F абсолютно непрерывна и записы вается (§ 5, теорема 1):

F(x) — F (а) +

где qpe SS. Ho		DF =	(§	4,	п. 2, теорема), и значит, f —	фf.
Таким	образом,	функцияп. в. ф		f	интегрируема, и интегралы п .отв.	фf.
и от ф	на [а, х]	равны	между собой при любом х. Итак,

F{x) = F(a) + J f (t) dt.

В частности, если х			— Ь, то мы записываем
					ь
		[F(x)}xxZba = F ( b ) - F ( a ) =			j f(t) dt.
					a
2. И н т е г р и р о в а н и е п о			ч а с т я м .	Мера	на R	есть мера Лебега.
Пусть	f — функция		со значениями		в R,	определенная	на
[а, і], ) е	S ’,	и G — абсолютно непрерывная				функция на [а,	Ь].
Так как G е		S ’00 и f ев	то \G е	& х.

Пусть

F(x) — F (а) + JX f {t) dt\

функция F абсолютно непрерывна, почти всюду дифференци руема, и DF — f. Наконец, G имеет почти всюду производную g

и записывается

		X
	G ( x ) = * G ( a ) +	J g(t)dt.
		а
Так как функция FG имеет почти всюду в качестве произ
водной fG +	gF и является абсолютно непрерывной функцией,
то		ь
. .		ь
[FG]xxZba =	F (b)G (b) ~F (a)G {а) =	J (f (t) G (t) + g (t) F (t)) dt,

8, МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ

481

что записывается также

Jъ f{t)G{t)dt = F { b )G {b ) - F {a )G {a ) - Jь F{t)g{t)dt,

	а	а
ИЛИ
	Ь	Ь
	I G dF = F (b) G (b) — F {a)G (а) — $ F dG,
	а	а
где функции F и G абсолютно непрерывны на [а, Ь].
3.	Замена переменного.	Известна формула замены перемен

ного для интегралов от непрерывных функций: если / непре

рывна на интервале [а,	Ь] из R и если ф — такая непрерывная
функция с непрерывной производной на интервале [а, Ъ], что
а = ф (а),	ö = ф (ß),	Ф([а, ß]) — [а, Ь],
то
ф ( ß )	Р
С f {и) du = f f (ф (t)) £>ф (t) dt.
q> (а)	а
Речь идет о том, чтобы выяснить, останется ли это равенство
справедливым, если предполагать		только,	что f интегрируема,
а ф удовлетворяет более общим условиям,			чем предыдущие.

Мы ограничимся случаем компактных интервалов [а, Ь], [а, ß] из R.

В тех общих предположениях, в которых функция может быть интегрируема (в смысле Лебега), формула остается вер ной лишь при достаточно специальных условиях на функцию ф. Так, если f непрерывна, а ф возрастает (и даже непрерывна), формула, о которой идет речь, может не быть верной, ибо если /)ф = 0, то применение указанной выше формулы к такой функ

ции ф давало бы интегралу от f на [а, Ь] значение 0. Цель даль нейшего изложения состоит в том, чтобы показать, что если ф абсолютно непрерывна, а / интегрируема, то формула замены переменного верна. Доказательство заключается в том, что до казывается справедливость формулы для непрерывной функ ции /, а затем для любой интегрируемой функции, являющейся пределом монотонной последовательности Коши непрерывных функций (ср. раздел 2, § 2, теорема).

Так как любая абсолютно непрерывная функция предста вима как разность двух абсолютно непрерывных возрастающих функций, то мы будем предполагать ф абсолютно непрерывной и возрастающей на [а, Ь], и значит, D y ( t ) ^ 0 в каждой точке

Смотрите также файлы

Зарахович, Я. А. Янтарь.pdf

Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ.pdf

Клюев, А. С. Автоматическое регулирование.pdf

Конструкция летательных аппаратов учебник..pdf

Контейнерная транспортная система..pdf

Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно