Файл: Яковлев, В. В. Стохастические вычислительные машины.pdf

Если каждая из переменных X и Y передается только по одному проводу, то получаем следующие четыре частных случая:

p (zi) = -|p (^i). р (22) = { р Ы ;

3)( - * ) + ( + У),

Р (zi) = \ р Ы » Р (ч) = \ р (®а)

4)( _ Z ) + ( - F ) ,

р(zi) = о, P (Z2) = ± M ± ^ M ..

Заметим, что в случаях 1 и 4 результат передается по одной линии. Следовательно, величина дисперсии полусуммы опреде­ ляется известным уже соотношением Бернулли (1.36). В двух оставшихся случаях результирующие последовательности при­ сутствуют одновременно на двух линиях, что приводит к возра­ станию ошибки. Покажем это на примере второго случая.

Используя теорему о дисперсии разности двух случайных величин [66], запишем

К га , = — j p (хО р (у2).

Подставляя в уравнение (2.32) выражения для дисперсий и корре­ ляционного момента, получим

Если бы результат суммирования еще подчинялся закону Бер­ нулли, то выражение для дисперсии имело бы вид

D" (z) = [р {z1) —p{z.l)] [1 - р (zj) + р (z2)]

или после подстановки выражений для р (zx) и р (za)

[ ( _ 2 ^ 1 ] + £ М . [ 1 _ £ М ] _

что конечно значительно ниже результата (2.33).

Для уменьшения ошибки выходной переменной используем схему с инверторами на входе (рис. 24). Математическое ожидание на выходе схемы определим из соотношений:

Р (ч) = \ р (ч) [1 —Р (Уа)1+ |-Р Ы [1 —Р (ч)Ь

Р (ч) = у Р (я?а) [1 —Р Ы ] + -| Р Ш [1 —Р («01-

Четыре случая алгебраического сложения запишем в виде:

1)( + Х Ж + У ),

Рис. 24. Сумматор с уменьшенной ошибкой на выходе

2)(+ Х ) + ( - Г ) ,

3)(_ Х ) + (+ Г ),

р (ч) = \ р Ы И — р Ы Ь р (z2) = j p ( ч ) [1 — р (P i)];

4)( _ X ) + ( - F ) ,

Вновь воспользовавшись соотношением (2.32), дисперсию ре­ зультата (применительно ко второму случаю алгебраического сложения) найдем в виде

5 0

Последнее уравнение дает значение ошибки значительно мень­ шее, чем при вычислениях по формуле (2.33) при равных X и Y.

Наконец, если каждая из входных переменных X и Y пере­ дается по двум линиям в одной из разностных форм, то операции

ализуются путем следующих преобразований [82]: для сложения

p(zi) = j [ p (*i) + pfoi)].

Р {г2) = \ [ р {х 2)+Р(Уг)\‘,

для вычитания

P{^) = \ [p {x 1) + p { y i)],

Р (ч ) = \\Р{хг)+Р(У1)\-

Деление на элементах, подобных рассмотренным, не может быть выполнено. Поэтому приходится прибегать к использованию логических схем с ненулевой памятью.

8. Стохастические умножители

В предыдущих разделах мы показали, что простой логический элемент И реализует операцию умножения т входных переменных, представленных последовательностями бернуллиевского типа. Допустимое ко­ личество входов г одного элемента опре­ деляется требованиями достижения за­ данной параметрической надежности схемы и точности выполнения операции.

Специфичным является случай, когда на входы такого стохастического умно­ жителя подается одна и та же последова­ тельность. Причем, последовательности, действующие на отдельных входах,

сдвинуты одна относительно другой на один или большее число тактов. Подобные схемы могут быть использованы в качестве устройств образования целой степени от переменной. В этом случае элементы задержки, включенные на входе, выполняют функции статистической развязки переменной. Например, у квадратора (рис. 25) значения входной переменной в каждом i-м такте неза­ висимы в силу предположения об отсутствии последействия в исходной временной последовательности.

Используя несложные приемы, описанные в [74], для матема­ тического ожидания и дисперсии появления единицы на выходе квадратора запишем

M (zt) = M (xi) М (х^ ),

D (zt) = M (zl) [ i - M ( z l)\.

Поскольку для стационарной последовательности

M(Xi) = M (xi_х) = . . . = р (xt) = р fa .!) = . . . = р ,

то окончательно

М (Zi) = р (zt) = р2,

D (zt) = р2(1 —р2),

т. е. схема на рис. 25 действительно реализует операцию возведе­ ния входной переменной в квадрат.

Если мы теперь зададимся целью определить математическое ожидание и дисперсию величины к — числа появлений единицы на выходе стохастического квадратора за п тактов, то обнаружим, что при этом придется отступить от классической схемы испытаний Бернулли (стр. 19).

В самом деле, при рассмотрении значений выходной функции квадратора в последовательные моменты времени:

Zl — Х( XI_[, z i +1 = ^ i + A i

z n — х пх п - 1>

заметим, что все соседние во времени значения (т. е. отстоящие на интервал т2 = 1) оказываются взаимно коррелированными. Используя формулу (2.3), определим корреляционные моменты

К г (1) = М (Zlzi+1) - М (zt) М (zi+1)

5 2

в i + 1-м такте при условии, что он появился в i-м, больше, чем еебезусловная вероятность.

Если теорема о сложении математических ожиданий [8] при­ менима к любым случайным величинам, как зависимым, так и не­ зависимым, то для определения дисперсии ft-числа появления единиц в выходной последовательности z необходимо применить теорему о дисперсии суммы

на все возможные попарные сочетания случайных величин в пре­ делах zx—zn.

Учитывая, что корреляционная матрица в данном случае имеет

Очевидно, если бы удалось реализовать сдвиг входящей после­ довательности на Гд = п тактов, то мгновенные значения выход­ ной переменной квадратора оказались бы некоррелированными. Разделив правую часть уравнения (2.37) на п2, при условии td = 1

Таким образом, дисперсия результата на выходе квадратора оказалась выше на величину 2psqjn в сравнении с дисперсией, последовательности без последействия.

Для того чтобы и в этих условиях сохранить значение диспер­ сии, определенное в отсутствии корреляции, необходимо увели­ чить длину последовательности испытаний до величины п’ равной

n’ = n l ^ p - J p- ,

1 — р2

5 3