Файл: Яковлев, В. В. Стохастические вычислительные машины.pdf

где Х тах—максимальное значение машинной переменной; X 0тах — максимальное значение истинной переменной; т-х — масштабный коэффициент.

Учитывая, что Х тах не может превосходить единицы, уравне­ ние выбора масштаба преобразуется к виду

Входной преобразователь «тактированных» СтВМ (рис. 6) может рассматриваться как кодирующая схема, если вероятно-

х

Рис. 11. Графики, поясняющие работу линейных кодирующих устройств

стная моделирующая функция совпадает с моделируемой. При этом преобразование происходит в соответствии с интегральным законом (рис. 11)

Действительное кодирование исходных чисел в основном опре­ деляется их диапазоном, методом передачи знака числа и степенью сложности реализации отдельных арифметических операций в ма­ шине. Кодирование может быть линейным и нелинейным (нели­ нейные кодирующие устройства изучаются в гл. III).

Рассмотрим наиболее употребительные схемы линейного коди­ рования информации.

Если истинная переменная заключена в пределах (—1, + 1 ), то, как следует из рис. 11, возможны два способа линейного пре­ образования переменных Х п. При одном из них для передачи лю­ бого значения Х 0 в СтВМ используются две линии: по одной передаются отрицательные значения X — —Х 0, по другой — положительные X = Х 0. Такую кодирующую схему, следуя [82], будем называть симметричной двухлинейной (ДЛС).

В устройстве, реализующем ДЛС кодирование (рис. 12), в за­ висимости от знака истинной переменной Зн Х 0 выбирается верх­

28

няя или нижняя линия. По верхней линии, например, передаются только положительные значения переменной, по нижней — только отрицательные.

Оба регистра преобразователя: регистр хранения мантиссы Х 0

и Рг2 хранения случайного кода — имеют одинаковую разряд­ ность.

Положительные (или отрицательные) величины могут пере­ даваться и по двум линиям, если используется разностная форма записи исходных или промежуточных значений вида Х 0 =

= Х'в — X q. Количество JVX различных возможных разностных форм определяется соотношением

N x = 2l (2 — aj) — ax— 2а2 — 4а3— . . . — 2l~1a l_x,

где I — количество разрядов мантиссы Х 0; а£ — значения разряд­ ных коэффициентов мантиссы.

Отсюда, в частности, вытекает, что единица может быть пред­ ставлена лишь в одной разностной форме, ноль имеет 2l + 1 воз­ можных форм.

Все значения переменной Х 0 6 (—1» + 1) могут быть переданы и по одной линии, если воспользоваться соотношением

вольной серией, состоящей из нулей и единиц, следующих с рав­ ной вероятностью р = 0,5, число — 1 — серией импульсов с веро­ ятностью р = 0. В более общем случае, когда истинная переменная

29

Такую кодирующую схему будем называть симметричной одно­ линейной (ОЛС) [82].

Схема устройства, реализующего зависимость (1.38), предста­ влена на рис. 13. От схемы, осуществляющей двухлинейное сим­ метричное кодирование (рис. 12), она отличается увеличением раз­ рядности регистра Рг2 на единицу и способом кодирования исход­ ных чисел Х 0, которое производится по круговой системе (рис. 14), широко распространенной в цифровых интегрирующих маши­

ляются дополнительными кодами. Максимальному отрицатель­ ному числу соответствует код 0.000...0. На рис. 14 приведены коды некоторых чисел в принятой двоичной системе.

Логическая схема ЛС на рис. 13 осуществляет передачу на схему сравнения прямого или дополнительного кода мантиссы Х 0 в зависимости от содержимого знакового разряда.

Основной недостаток однолинейного симметричного кодирова­ ния заключается в том, что ноль представляется с максимальной дисперсией. Это вытекает из анализа функции (1.25), достига­ ющей максимума при р (х) = q (х) = 0,5.

Отметим, что обе кодирующие схемы допускают взаимное преобразование. Так, схема на рис. 15 осуществляет переход от двухлинейного к однолинейному симметричному представле­ нию.

Учитывая, что преобразуемое число может существовать только на одной из двух линий, можно составить следующие соотношения

30

Г л а в а II

РЕШАЮЩИЕ БЛОКИ СтВМ НА ОСНОВЕ ЛОГИЧЕСКИХ СХЕМ

6. Свойства последовательностей на выходе логических элементов

Вглаве I на нескольких примерах было показано, каким образом с помощью логических схем можно выполнять преобразо­ вания стохастических переменных. При этом предполагалось, что исходные стохастические переменные представлены независи­ мыми последовательностями Бернулли. Можно показать (и в этом мы убедимся несколько позже), что при таких ограничениях выходная последовательность тоже является бернуллиевской.

Вбольшом числе случаев схема испытаний Бернулли служит достаточно точной моделью стохастических вычислений. Однако, обеспечить в реальном устройстве даже так называемую практтческую независимость испытаний удается далеко не всегда. На­ пример, многократное использование одной и той же последова­

тельности в процессе вычислений, применение схем с памятью и, наконец, неидеальность датчиков случайных чисел — все это может быть причиной появления автокорреляции в последова­ тельностях или статистической зависимости между ними.

Для того чтобы выяснить, как влияет корреляция на результат вычислений, рассмотрим свойства последовательностей на выходе логических схем, реализующих некоторые элементарные булевы функции. Вполне естественным при этом является предположение о стационарности и эргодичности входных процессов.

Инверсия: z = x. Поскольку в данном случае функциональное преобразование сводится к замене события х дополнительным к нему событием х, математическое ожидание выходной перемен­ ной z определяется равенством

32

Используя свойства математического ожидания [201, фор­ мулу (2.2) можно привести к следующему виду:

Арифметическое и логическое произведения двоичных пере­ менных численно равны. Поэтому

Для статистически связанных событий г и г , имеем

Р (х \ /x J = p (х) + р k ) —Р (жж,) =

происходит вычитание стохастической переменной из единицы, а корреляционная функция остается без изменения.

Конъюнкция: z = xy. Математическое ожидание выходной последовательности в этом случае определяется вероятностью пересечения событий хш у

М (z) = Р (ху) = р (х )р (у) + К ху = М (х) М (у) + К ху, (2.7)

где К ху — взаимный корреляционный момент входных перемен­ ных:

Кху = М {[х —М (х)][у —М (у)]}.

Всоответствии с (2.3) автокорреляционная функция на выходе конъюнктора равна

Для того чтобы определить М (хухгух), рассмотрим взаимно­ смешанный центральный момент четвертого порядка (рис. 16)

Кху (хху) = М {[х М (х)] \у — М (у)] k - М (х)} [у,- М(у)]}. (2.9)