Файл: Подводные и подземные взрывы сб. ст.pdf

Условия на ударной волне даются соотношениями Рэн­ кина — Погонно:

скорость ударной волны. На самой ранней стадии взры­ ва давление на ударной волне весьма высоко, поэтому мы сделаем предположение о сильной ударной волне [6], т. е. давление и энергия в невозмущенной среде будут полагаться равными нулю. Таким образом, в уравнениях (66) и (6в) будем пренебрегать членами, содержащими Ро и во. Тогда единственными размерными постоянными величинами, которые появляются в задаче о гомотермическом взрыве, будут невозмущенная плотность р0 и энергия взрыва Ео.

Задача об одномерном неустановившемся течении при наличии только двух независимых размерных по­ стоянных величин является автомодельной задачей, и в ней количество независимых переменных может быть сведено к одной-единственной безразмерной переменной [6]. Для сферически симметричного случая безразмерная автомодельная переменная обычно выражается так:

где р* — характерная плотность, Е — постоянная, имею­ щая размерность энергии, и R — радиус ударной волны. Второе равенство в (7) позволяет определить константу пропорциональности а между величинами Е и До и по­ казывает также, что Xs = 1.

Чтобы обеспечить автомодельность, должны быть также наложены некоторые условия на форму уравне­ ния состояния. Для гомотермической задачи термическое уравнение состояния можно брать в следующей общей

где ср(р/р*) — произвольная функция приведенной'плот­ ности р/р*, а ф(Г)— функция температуры, которая в предположении гомотермичности зависит только от вре­ мени. Функция ф(7') должна иметь размерность давле­ ния. Из соображений размерности следует, что функция

ф(Г) пропорциональна t~°!\ Ее можно выразить через скорость ударной волны:

Здесь К — безразмерная постоянная, которая опреде­ ляется из решения задачи. Используя условие гомотер­ мичности, уравнение состояния и уравнение (9), можно исключить давление из дифференциальных уравнений и граничных условий задачи. Таким образом,

-§ f= 4 f Ж Л ф(р/р.)] = к и \ ' ,

причем штрих означает дифференцирование по аргумен­

ту р/р*.

Чтобы исключить из уравнений задачи входящую в них явно постоянную К, можно ввести новую автомо­ дельную переменную [8]:

уравнение (10), выражаем частные производные через автомодельную переменную Z:

Кроме того, все зависимые переменные можно опреде­ лить как некоторые функции от автомодельной перемен­ ной Z:

Эта система уравнений является автономной и путем простого деления первого уравнения на второе может быть сведена к одному обыкновенному дифференциаль­ ному уравнению

Граничные условия на ударной волне нельзя непо­ средственно выразить через преобразованные перемен­ ные, потому что они содержат параметр Zs, который заранее неизвестен и должен быть определен из реше­ ния задачи. Однако для любого выбранного значения Zs можно найти величины У« и IFS по формулам преобра­ зования. Следовательно, геометрическое место всех воз­ можных состояний на скачке в плоскости У, W легко определяется. Заметим, что при конечных, но ненулевых значениях плотности величина W становится бесконечно большой, когда Z равно нулю. Величина У при Z = О равна dF/dZ, и дальнейшее исследование показывает, что У = 0.

№ видно, что первое из вышеуказанных условий требует, чтобы либо Z = оо (бесконечно большой радиус), либо величина плотности обращалась в нуль или в бесконеч­ ность в зависимости от значения (3. Все эти условия фи­ зически неприемлемы. Следовательно, надо рассматри­ вать второе из вышеуказанных условий. Чтобы произ­ водная dY/dW оставалась конечной, когда знаменатель дифференциального уравнения обращается в нуль, не-