ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 87
Скачиваний: 1
МОЩНЫЕ ПОДВОДНЫЕ ВЗРЫВЫ |
25 |
первое семейство
|
&|$- II |
+ О |
второе семейство
d r
— _ и — С,
|
|
. |
i: |
: .. |
|
1 dp + |
du + |
vc“ d t = |
0; |
||
pc |
r |
' |
1 |
Г |
9 |
— dp — du-{- — - d t = 0; |
|
pc r |
Г |
третье семейство
d r
w = u> de + pd (y) = 0.
•
(25)
(26)
(27)
Третье семейство характеристик фактически представ ляет собой семейство траекторий частиц. Систему этих уравнений снова замыкает уравнение состояния (24). Кроме того, надо знать способ вычисления скорости звука с; эту величину можно получить из соотношения, которое выводится из уравнения состояния и имеет вид
с
Врассматриваемой задаче как уравнение состояния, так
искорость звука могут быть заданы в табличной форме. Характеристические уравнения вместе с соответствую щими граничными и начальными условиями образуют полную систему для задачи с краевыми и начальными значениями, которая должна быть решена численным методом. Приведенные уравнения можно использовать как в размерных, так и безразмерных переменных.
Характеристические уравнения можно непосредствен но представить в конечно-разностной форме и интегри ровать численно. В результате решения числовые дан ные будут определены вдоль характеристических линий. Чтобы получить данные на линиях постоянного значе ния времени или постоянного значения радиуса, по требуется применять интерполирование по двум на правлениям. Кроме того, проведение расчетов вдоль ха рактеристик является довольно громоздким делом. Гораздо более удобной оказывается численная схема со
26 |
К. А. КОТ |
счетными слоями при постоянных значениях времени, которая первоначально была разработана Хартри [9]. В этой схеме характеристические уравнения используют ся для расчета решения, которое продвигается от одной линии постоянного значения времени к следующей такой
' |
! |
\ |
at
/
- * • — *-
I |
-*-•-----о- |
а
Ч г
Р и с. |
3. Расчет |
типичных |
точек методом |
характеристик по схеме |
со |
счетными |
слоями |
при постоянных |
значениях времени. |
линии, и, значит, результаты выдаются вдоль линий по стоянного значения времени для различных радиусов. Здесь мы применяли модифицированную численную схему, которая введена в работе [10] и в которой исполь зуются эйлеровы координаты. Кроме того, эта числен ная схема была еще изменена таким образом, чтобы иметь возможность вести расчеты при размерах шагов по времени, больших, чем шаги, которые допускает локальный критерий устойчивости. Это последнее ново введение значительно сокращает время расчетов, позво ляя вместе с тем получать вполне точное решение по пространственной переменной [13].
МОЩНЫЕ ПОДВОДНЫЕ ВЗРЫВЫ |
27 |
В применяемой численной схеме некоторое заданное количество узловых точек расчетной сетки, представляю щих собой частицы, продвигается от одной линии по стоянного значения времени к соседней такой линии. Сначала определяется приращение времени At между этими линиями, а затем используются характеристи ческие уравнения для расчета нового положения уз ловой точки и параметров течения в ней. Следует отметить, что при этом подходе (хотя уравнения и за писываются в эйлеровых переменных) по существу рас считывается перемещение частиц, т. е. здесь прини мается лагранжева концепция.
Конечно-разностные уравнения и вычислительную процедуру можно лучше всего проиллюстрировать на примере расчетов, которые требуется выполнить для продвижения одной типичной узловой точки, т. е. одной частицы. На рис. 3, а показана типичная узловая точ ка /', которую надо продвинуть от момента времени t до момента t + At. Предполагается, что все узловые точки и значения всех переменных в этих точках известны в мо мент времени t. Точка j отвечает положению частицы i в момент времени 7 + ДА Точки а и 6 представляют со
бой точки пересечения (« + с)-характеристики |
и |
(и — ^-характеристики, проходящих через точку /, |
с |
линией постоянного значения времени t. |
|
Характеристические уравнения, записанные в конеч- но-разностной форме с первым порядком точности,
имеют вид |
гj — rt = |
«,•/ At, |
(28а) |
||
|
|||||
|
|
|
|
|
(286) |
|
О — Га= |
(и + |
c)al At, |
(29а) |
|
|
|
|
|
— |
|
|
— Ра) + |
(«/ — Ua) -f V { ^ f)ai Ы == 0, |
(296) |
||
|
Г/ |
гь= |
(и |
с)Ь! At, |
(30а) |
( рс )ь/ |
— Рь) — iuj — иь) + v ("7")6/ А/ = 0 . |
(306) |
|||
|
|
|
|
|
|
28 К. А. КОТ
Величины, отмеченные черточкой, являются средними, например
г7г/ = у ( « г + «/),
(31)
Величины в точках а и b на линиях постоянного зна чения времени t получаются интерполированием по из вестным узловым точкам на этой линии. Здесь в основ ном применяется квадратичная интерполяция; следова тельно, в каждой интерполяции участвуют три узловые точки. Поскольку точки пересечения а и Ъ соответствуют границам области зависимости решения для точки / на линии постоянного значения времени t, то при интерпо лировании всегда берутся две узловые точки внутри этой области и только одна точка вне этой области. Ко нечно-разностные уравнения, преобразованные к соот ветствующей форме, решаются итерациями вместе с уравнениями интерполирования и уравнениями, связы вающими функции термодинамического состояния. Ите рационная процедура прекращается, когда удовлетво ряется критерий сходимости как для скорости, так и для давления. Критерий сходимости для обеих этих пере менных обеспечивает сходимость с точностью до 0,00001 значений этих величин в предыдущей итерации.
Для точек, которые расположены вблизи одной из границ, характеристическая линия, проходящая через рассчитываемую точку, может пересекать границу. Та кой случай показан на рис. 3, б для точки р, которая должна быть продвинута до положения точки q. Оче видно, что для расчета точки q нельзя использовать ус ловия в точке Ь', так как она находится за границей всей области. Для определения точки Ь на границе или на линии разрыва вычислительная процедура видоизме няется.
УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ ВОДЫ
Расчет мощного подводного взрыва требует соответ ствующего описания термодинамического состояния воды. Теоретически точечный источник взрыва в момент
МОЩНЫЕ ПОДВОДНЫЕ ВЗРЫВЫ |
29 |
взрыва создает бесконечные давления и температуры. Однако более реально считать, что при мощном взрыве можно ожидать давления свыше 10'° бар и температуру порядка 107 К [2]. Частицы воды, ударно сжатые до та ких предельных условий, будут подвергаться процессам диссоциации и ионизации. Вместе с тем при последую щем расширении удельный объем может достигать ве личины свыше 104 см3/г. Поскольку нас интересуют со стояния как сжатия, так и разрежения, то калорическое уравнение состояния для воды надо формулировать, охватывая диапазон давлений от 1 до 1010 бар и диапа зон плотностей от 10~4 г/см3 до максимальных значений при сжатии на ударной волне. Кроме того, для гомотермического решения в высокотемпературной области тре буется рассматривать термическое уравнение состояния, которое имеет форму уравнения (8).
Работы, выполненные ранее в этом направлении, во обще говоря, дают описание термодинамического состоя ния воды в несколько более ограниченном диапазоне. Так, таблицы для пара, опубликованные Американским об ществом инженеров-механиков (ASME) [14], позволяют хорошо определять термодинамическое состояние до давлений 103 бар. В работах [15, 16] приводятся данные
для более высоких |
давлений вдоль скачка Гюгонио и |
в ближайшей его |
окрестности, а именно до давлений |
8,1 -105 бар. Результаты этих работ и других исследова ний сведены в полезные таблицы Шарпом [17]. Другие таблицы, опубликованные Ховардом [18], доведены до значений давления 106 бар и температуры 104 К. Для диапазона более высоких значений приходится брать только данные, основанные на различных теоретических моделях и полученные при расчетах на вычислительных машинах, например в работе [19]. Имеются данные для
воды в диапазоне давлений от 1 |
до 104 Мбар (1 мега |
бар = Ю6 бар) и для плотностей, |
больших 1 г/см3; здесь |
рассматриваются температуры свыше 107 К. Эти резуль |
|
таты получены на основе |
модели атома Томаса — Фер |
ми. Из-за ограниченности |
такой модели эти результаты |
не следует применять для давлений, меньших 10 Мбар. Буткович [20] сообщил некоторые термодинамические данные для воды при температурах до 107 КЧ, давлениях
30 |
К. А. кот |
до 103 Мбар и плотностях в диапазоне от 10~5 до 10 г/см3. Эти данные также получены путем применения различ ных теоретических моделей.
р, г)см 3
Р и с. 4. Термическое уравнение состояния (р, р, Т) для воды при
высокой температуре.
/ — скачок Погонно.
Имеющиеся данные мы использовали для построе ния соответствующих термодинамических графиков. Та кие графики часто бывают необходимы, чтобы устранить несоответствия между данными из различных таблиц. Кроме того, для некоторых областей требуется провести сглаживание данных. Чтобы получить данные во всей интересующей нас области мы провели их интерполиро
МОЩНЫЕ ПОДВОДНЫЕ ВЗРЫВЫ |
31 |
ванне и экстраполирование [13]. Результаты этой работы представлены на рис. 4 и 5. На первом из этих рисунков приводится параметрический график температура — давление — плотность для высоких давлений и темпера' тур. Эти данные требуются для расчета гомотермического решения на самой ранней стадии взрыва и
представлены в форме, |
соответствующей уравнению |
|
(8) |
[13]. |
график энергия — давление — |
|
На рис. 5 изображен |
|
плотность почти во всем диапазоне, интересном в задаче о точечном взрыве. Этот график построен в плоскости давление — плотность как параметрическое семейство постоянных значений удельной внутренней энергии. Об ласть графика справа ограничена кривой Рэнкина — Гюгонио, а слева она доходит до значения плотности 10-4 г/см3. Скачок Гюгонио изображен для невозмущен ных условий, отвечающих давлению 1 атм и темпера туре 20° С. В случае других невозмущенных условий можно ожидать небольших изменений этой кривой при низких давлениях, однако эти изменения будут несуще ственны в масштабе рис. 5. Следует отметить, что при сжатии на ударной волне максимальное значение плот
ности составляет 4,8 |
г/см3 при |
давлении |
на скачке |
50 Мбар. При более |
высоких |
давлениях |
плотность |
уменьшается по сравнению с этим максимальным зна чением. Это указывает на то, что при таких давлениях нагревание в ударной волне столь велико, что сжатие ограничено. Такое поведение возможно у жидкостей и твердых тел, как это было продемонстрировано теоре тически и экспериментально [21]. Оказалось невозмож ным найти такую форму калорического уравнения со стояния, которая была бы пригодна во всем широком диапазоне, представленном на рис. 5. Поэтому в расче тах по методу характеристик соответствующие данные использовались в табличной форме. С этой целью была построена таблица, содержащая значения плотности в функции от давления и внутренней энергии. Для нахо ждения конкретных значений параметров применялось линейное интерполирование. Скорость звука определя лась путем аппроксимации соответствующих производ ных конечными разностями первого порядка*