Файл: Подводные и подземные взрывы сб. ст.pdf

точка является узловой. Кривые, представляющие собой решения и проходящие через эту точку, являются в окрестности особой точки прямыми линиями и опреде­ ляются уравнениями

У = о и т = - 8ТТ(Г- 1)-

Вторая особая точка представляет собой седловую точ­ ку. Два решения, проходящих через эту особую точку, в ее окрестности также являются прямыми линиями и определяются так:

тически изображено поведение решения в окрестности особых точек. Кроме того, показано геометрическое ме­ сто точек возможных состояний на фронте ударной вол­ ны, определяемое равенствами (14) и формулами пре­ образования (15). Отметим, что характеристические кривые, проходящие через седловую особую точку, ка­ ждая из которых называется сепаратрисой, делят фазо­ вую плоскость на четыре отдельные области таким об­ разом, что траектории решения не могут переходить из одной области в другую. Искомое решение должно удо­ влетворять условию в центре симметрии (W = оо), где скорость равна нулю; кроме того, оно должно пересе­ кать геометрическое место состояний на ударной волне, чтобы удовлетворять граничным условиям на скачке. Единственная траектория решения, которая может про­ ходить между двумя такими крайними точками, должна по необходимости проходить через седловую точку.

Далее, поскольку на кривой, являющейся решением, должно выполняться условие обращения в нуль скоро­ сти (У = 0), когда W становится большим, то соответ­ ствующая траектория будет приближаться к окрестности

достигается уже при W — \. Единственная траектория,

CD

Рис. 1. Фазовая плоскость и интегральная кривая.

Y,W — автомодельные переменные; / —узловая точка; 2—седловая точка; 8 — интегральная кривая; 4— геометрическое место точек ударной волны.

выходящая из этой точки и стремящаяся к точке И7=оо, идет вдоль оси W, на которой всюду Y = 0. Итак, кри­ вая, являющаяся решением, качественно определяется по своим углам наклона, которые точно вычисляются в

20 К. А. КОТ

двух особых точках, через которые эта траектория.проходит.

Решение уравнения (17) находилось численным ин­ тегрированием при помощи метода Рунге — Кутта, имеющего четвертый порядок точности. Поскольку этот метод не дает возможности вести численное интегриро­ вание с проходом через седловую точку из-за характера траекторий в ее окрестности, интегрирование начиналось в самой седловой точке (У = * / 4 , W = 9/i6) и проводи­ лосьот нее в обоих направлениях, т. е. в направлении к узловой точке (У — 0, W = 1) и в направлении к гео­ метрическому месту состоянии па ударной волне. Если точка пересечения кривой, соответствующей решению, и линии ударной волны найдена, то тем самым будет най­ дено все решение в плоскости W, У, и все переменные на фронте ударной волны (Ys, Ws, Zs, Fs, Gs) будут опре­ делены.

Зная величину Zs, можно путем численного интегри­ рования уравнения (16а) получить значения переменной Z вдоль всей интегральной кривой. Преобразованные переменные F и С находятся просто по определению (15), а функция давления Н получается по определе­ нию (12). Профили соответствующих физических пере­ менных в области, охваченной ударной волной, будут подобны для всех моментов времени и могут быть по­ строены в виде отношений ujus plpsl и p/ps, представлен­ ных в зависимости от X. Эти профили изображены на рис. 2. Как видно из графика, область, окружающая центр взрыва до радиуса, приблизительно равного поло­ вине радиуса ударной волны, является областью одно­ родного состояния, причем в этой области скорость рав­ на нулю. Интегральная кривая остается гладкой при

которая совпадает с границей однородной области, про­ изводные для профилей скорости, плотности и давления не являются непрерывными. При приближении к этой точке слева производные равны нулю. Как исследование в фазовой области, так и численное интегрирование по­ казывают, что при приближении к узловой точке справа производные имеют ненулевые значения.

Распространение ударной волны с течением времени определим обычным способом [6], составляя баланс энергии во всей области, охваченной ударной волной.

Энергия, заключенная в этой области, состоит из внут­ ренней энергии и кинетической энергии и должна рав­ няться полной энергии, выделившейся при взрыве. Для любого произвольного момента времени можно написать

где Ео — энергия взрыва и R — радиус ударной волны, который является функцией времени.

Изменение плотности р и скорости и в зависимости от К находится по автомодельному решению. Остается определить профиль внутренней энергии. Если уравне­ ние состояния имеет форму, которая обеспечивает пол­ ную автомодельность решения, то из соотношения (18) легко вычислить радиус R, который, как можно пока­ зать, зависит от времени по простому степенному за­ кону [6].

Для уравнения состояния более общего вида необхо­ димо применять иной способ расчета. В нашем случае термическое уравнение состояния, которое аппроксими­ рует свойства воды при высоких температурах, имеет сложную форму и не может быть непосредственно ис­ пользовано для вычисления внутренней энергии. Кало­ рическое уравнение состояния, связывающее давление, плотность и энергию, имеется только в табличной фор­ ме. Значит, для интеграла энергии полной автомодель­ ности не существует. Равенство (18) можно записать через относительные переменные, представляющие про­ фили функций. Обозначая индексом s значения функций на фронте ударной волны и применяя соотношения Рэн­ кина— Гюгонио (6), получаем после упрощений

Если уравнение состояния задано (пусть даже в таблич­ ной форме), то для любого выбранного значения давле­ ния на ударной волне можно найти величины р„. и es при помощи этого уравнения состояния и энергетического соотношения на ударной волне, которое выражается ра­ венством (6в). Тогда, используя профили плотности и давления из гомотермического решения, а также табли­ цы, представляющие уравнение состояния, можно путем численного интерполирования найти значение энергии е. Далее, используя известные профили скорости и плот­ ности, можно численным интегрированием вычислить величину интеграла / в уравнении (19). Наконец, для каждого выбранного значения давления на ударной вол^

не рассчитывается для заданной энергии взрыва Е0 со­ ответствующий радиус ударной волны по формуле

По известным значениям ps, ps и es можно при помо­ щи уравнений (6а) и (66) провести расчет скорости ударной волны U и скорости частиц и*. Из формулы (20) видно, что вместо радиуса ударной волны можно рассматривать его масштабированную величину, отне­ сенную к величине кубического корня из энергии взрыва.

Время прихода ударной волны (т. е. связь между ра­ диусом ударной волны и временем) легко находится численным интегрированием

<2‘>

о

Это время также может быть выражено в масштабе энергии взрыва, если воспользоваться простым законом кубического корня.

РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ХАРАКТЕРИСТИК

Когда ударная волна, возникшая при точечном под­ водном взрыве, распространится далеко отточки взрыва, давление и температура на ударной волне значительно уменьшатся. При этом довольно быстро достигается состояние, при котором становятся несправедливыми как предположение о гомотермичности области, ох­ ваченной ударной волной, так и предположение о сильной ударной волне. Здесь более реалистичным бу­ дет предположение об адиабатическом расширении об­ ласти, охваченной ударной волной. В частности, можно принять, что каждая частица, как только по ней прошел ударный фронт, начинает изэнтропически расширяться. Удобная и точная численная схема для решения такой задачи может быть построена на основе метода харак­ теристик.

Для одномерного неустановнвшегося течения, в котором энтропия принимается постоянной вдоль

траектории частицы, закон сохранения энергии и- закон сохранения количества движения и импульса по-преж­ нему выражаются уравнениями (1) и (2) соответственно. Из первого начала термодинамики можно получить урав­ нение сохранения энергии в следующей форме:

Здесь через DjDt обозначена полная производная, свя­ занная с траекторией частицы. Удобно также ввести ско­ рость звука по определению

Кроме того, необходимо рассмотреть калорическое урав­ нение состояния, связывающее давление, плотность и энергию:

Граничными условиями, как и раньше, будут условие симметрии в центре (5) и условия на фронте ударной волны, которые даются уравнениями Рэнкина — Пого­ нно (6). Для полной определенности задачи должны быть заданы начальные условия. Эти начальные усло­ вия включают условия в невозмущениой среде, вели­ чину энергии взрыва Ео и задание значений всех иско­ мых переменных вдоль некоторой линии, например вдоль линии постоянного значения времени.

Систему уравнений задачи (1), (2) и (22) можно преобразовать при помощи выражения для скорости звука (23) к эквивалентной системе обыкновенных диф­ ференциальных уравнений, называемых характеристи­ ческими уравнениями. Эти уравнения выводятся из ус­ ловия, что при переходе через характеристические линии производные функций могут быть неопределенными. Как только характеристические направления в физической плоскости найдены, можно получить соотношения сов. местности, связывающие термодинамические и гидро­ динамические переменные вдоль характеристических ли­ ний. В рассматриваемой задаче имеются три семейства характеристик. Направления характеристик и соотноше­ ния совместности вдоль них определяются так: