Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

12 ВВЕДЕНИЕ

Развернувшаяся вокруг парадоксов и интуиционист­ ской критики полемика выявила серьезные расхождения

тики и создала ту продолжающуюся до сих пор ситуа­ цию, которую можно охарактеризовать как кризис оснований математики (относящиеся сюда вопросы под­

видимому, не будет преувеличением сказать, что сегодня не так уж ясно, являются ли успехи приложений след­ ствием правильного выбора исходных установок теоре­ тической математики или, наоборот, сами эти успехи являются источником разделяемой подавляющим боль­ шинством математиков веры в правильность упомяну­ тых установок. В свете сказанного представляются есте­ ственными поиски новых путей построения анализа, обеспечивающего потребности естественных наук и вме­

общность приводила к слабой «осязаемости» многих объектов анализа. Причем такие объекты возникали не только в результате рискованных конструкций с исполь­ зованием аксиомы выбора, но обнаруживались в самых начальных, непосредственно примыкающих к вычисли­ тельной практике областях анализа. Ряд эффектных «теорем существования» оказался при ближайшем рас­ смотрении лишенным вычислительного смысла. В каче­ стве классического примера обратимся к теореме о точ­ ных границах ограниченных числовых множеств. Не­

когда нарушается великая теорема Ферма (для этого достаточно перечислять друг за другом все четверки

нулю, если результат этой проверки для &-й четверки отрицательный, и единице в противоположном случае).

с точностью до Уз, мы смогли бы узнать, равно b нулю или единице. Таким образом, мы выяснили бы, верна теорема Ферма или нет. Подобные примеры, число ко­ торых легко увеличивать, делают весьма сомнительной возможность эффективного метода, позволяющего вы­ числять точные границы ограниченных множеств, даже если рассматривать лишь множества значений эффек­

жет показаться, что обычно приводимый в доказатель­ ствах этой теоремы метод последовательного деления сегмента (см., например, Ф и х т е н г о л ь ц [1; гл. 2, §5]) позволяет эффективно находить сколь угодно точные приближения к корню. В действительности дело обстоит

в середине сегмента. Нетрудно, однако, понять, что за­ дача распознавания равенства действительного числа нулю может быть необозримо трудной. В самом деле, обозначим через а действительное число, целая часть

ского отказа от закона исключенного третьего. Поскольку при сегод­ няшнем состоянии науки теорема Ферма не доказана и не опро' вергнута, нельзя утверждать (математические утверждения суть утверждения о выполненных построениях!), что последовательность

апеллирующий к истинности в каком-то абсолютном смысле и, сле­ довательно, выходящий за пределы математики. Конечно, теорема Ферма со временем может быть доказана или опровергнута, однако в этом случае можно обратиться к другой нерешенной задаче. Уве­ ренность в нашей способности решить в конечном итоге любую проблему, может быть, и является интересной темой для философ­ ских дискуссий, но она, во всяком случае, не должна быть источ­ ником математических теорий.

14 ВВЕДЕНИЕ

когда верна теорема Ферма. Обнаруживаемые этим рассуждением затруднения в нахождении корней зна­

В обоих рассматриваемых случаях в доказательствах соответствующих классических теорем нетрудно обна­ ружить применение следующего варианта закона исклю­ ченного третьего: или все элементы множества $Ф обла­ дают данным свойством |<Р, или существует некоторый элемент s4>, не обладающий этим свойством. Б и ш о п [2] образно называет этот принцип «принципом всеведе­ ния» и считает его главным виновником неконструктив­ ности в классической математике.

Приведенные примеры вызывают естественное же­ лание уточнить ряд понятий, связанных с вычислимо­ стью. Например, какие действительные числа и функ­ ции считать вычислимыми? Каковы их свойства? Что понимать под «общим эффективным методом» вычисле­ ния точных границ ограниченных множеств (или вы­ числения корней знакопеременных функций), какие и как представленные исходные данные должен исполь­ зовать такой метод и нельзя ли как-то уточнить интуи­ тивно ощущаемую его невозможность? Забегая вперед, отметим, что при надлежащем уточнении соответствую­ щих понятий в рассматриваемых примерах получаются следующие ситуации. В случае теоремы о точных гра­

жен общий метод вычисления границ, но и встречаются отдельные, притом достаточно простые множества, не имеющие точных вычислимых границ). В случае тео­ ремы Коши невозможен алгорифм, находящий корни любой знакопеременной непрерывной вычислимой функ­