Файл: Куликов, С. Я. Сопротивление материалов учеб. пособие.pdf

Пример :

С точки зрения теоретической механики систему пар

яш

Рис. 6.1.

равной P—t^A , приложенной в середине балки, указанной рис. 7.1.

§ 6.1. Основные допущения, принимаемые в сопротивлении материалов

При расчете элементов конструкций на прочность, ж кость и устойчивость в сопротивлении материалов использ ся ряд допущений, упрощающих указанные расчеты. Эти доп ния в основном касаются свойств материала, характера де маций. К ним относятся следующие:

18

1)Материал тела является сплошным, т.е. материал полностью заполняет форму тола. В этом случае исключа­ ется атомистическая теория дискретного строения мате­ риала. Это может быть оправдано тем, что большинство известных материалов (бетон, камень) имеет мелкозорнистую структуру и практически считаются сплошными.

2)Материал тела является однородным, т.е. во всех точках имеет одинаковые свойства. Известно, что метал­ лы обладают высокой однородностью. Однако, такие мате­ риалы как дерево, камень, бетон не являются по своей структуре однородными. Достаточно сказать, что наличие оучков в дереве лишает однородности, так как свойства древесных сучков отличаются от свойств остальной породы материала. Несмотря на это, как показывает практика, расчеты выполненные с использованием этого допущения, дают удовлетворительные результаты для известных конст­ рукционных материалов.

3)Материал конструкции рассматривается как изотроп­ ное тело, т.е. во всех направлениях имеет одинаковые свойства. Применение этого положения дает возможность получить удовлетворительные результаты при решении за­ дач сопротивления материалов для основных конструкцион­ ных материалов.

4)Деформации элементов конструкций принимаются очень малыми пс сравнению с его размерами.

Пг и м е р ;

На коноольную балку длиной б действует нагрузка F, приложенная на свободном конце ее (рис.8.1). Под

действием этой нагруз­ ки ось"балки изогнется и прогиб ее (в точке приложения нагрузки)

19

5001000

5)Материалы элемента конструкции рассматриваются

как абсолютно упругие, т.е. обладают способностью вос­ станавливать свои первоначальные размеры и форму посл снятия с них нагрузки. Это положение справедливо лиш до определенной величины нагрузки, соответствующей (для данного материала) пределу упругости.

3 случае, если этот предел будет превышен, то в материале возникнут остаточные (пластические) деформа­ ции, которые не исчезнут и после снятия нагрузки.

6)Принимается закон Гука, т.е. деформации пропор­ циональны нагрузкам в пределах упругих деформаций.

7)Принимается принцип независимости действия сил, т.е. результат воздействия на тело системы сил равен сумме результатов воздействия каждой силы в отдельно

Пример.

Пусть на балку действует система из 3-х сил,изо раженная на рис.9.1,а.

Рис.9.1,а

Допустим, что в произвольно выбранной точке D прогиб от действия сил P j , Р2 и Р3 будет равен ^

Если теперь каждую из этих сил в отдельности прило в указанной точке балки, то можно вычислить соответс вующие прогибы, изображенные на рис. 9.1, б,в,г.

20

Рис.9.I,г

Пользуясь указанным допущением можно определить общий прогиб в этой точке, т.е. составит:

Исходя из этого соотношения моьно отметить, что сбщ прогиб равен сумме составляющих прогибов в одной и той же точке.

8) Принимается гипотеза плоских сечений, т.е. поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к оси бруса до приложения к нему нагрузки, остаются такими же плоскими и нормальными к его оси при действии н грузки.

21

Использование этого допущений дает возможность определить перемещения любых точек бруса, а также при­ менить при выводе некоторых расчетных формул курса.

Что касается других допущений, то они будут рас­ смотрены в соответствующих разделах курса.

§ 7.1. Метод сечений

Под действием внешней нагрузки внутри тела возни­ кают внутренние силы (или внутренние усилия). Эти сил могут возникать между отдельными частями этого тела.

С этой целью рассмотрим тело, на которое действуе система внешних сил, находящихся в равновесии (рис. ЮЛ,а). Чтобы найти внутренние усилия, возникающие

в нем, нужно мысленно разрезать его на две части, например сечениемI - I . Указанный прием выязления внутренних сил в сопротивлении материалов носит название метода сечений. Этот метод рассмотрим для случая, при котором все силы, действующие на конструкцию,

располагаются в одной плоскости. Он состоит в следующ мысленно разрезаем тело по тому сечению, где хотим делить внутренние усилия (например I - I рис.10.I а,б) и

отбрасываем левую или правую часть (обычно отбрасывается та часть, к которой приложено больше сил). Взаимодействие

одной части на другую заменяет­ ся внутренними усилиями, урав­ новешивающими внешние силы, ко­

торые действуют на отсеченную

часть. Так в нашем случав для

22

уравновешивания внешних сил, действующих на оставшуюся (левую) часть нужно в общем случае приложить в задан сечении три внутренних усилия: Д/ Q и Мц&.

В случае нагружения элемента конструкции произволь ной пространственной системой внешних оил (включая и акции опор), взаимодействие одной части на отсеченную часть в общем случае можно характеризовать шестью ве нами внутренних усилий, которые являются составляющими

тящим моментом и обозначается через М# • Эти составл щие будем называть внутренними силовыми факторами или внутренними усилиями.

Следовательно, в общем случае пространственной за­ дачи (когда внешние силы и реакции опор не лежат в плоскости) для определения внутренних усилий должно б роотавлено шесть уравнений равновесия, а для плоской

23

дачи - составляются три уравнения равновесия. Учитывая, что мы будеи преимущественно встречаться

в дальнейшем с плоскими задачами, рассмотрим правила в числения внутренних силовых факторов применительно к у занному типу задач.

Д/ - продольная сила. Эта внутренняя сила, действую­ щая вдоль оси стержня, приложенная к центру тяжести сече ния. Она численно равна сумме проекций внешних сил на о бруса, действующих с одной стороны от рассматриваемого сечения.

Знак продольной силы положителен, если зта оила ра тягивает рассматриваемую часть элемента конструкции. В тем случае, когда продольная сила сжимает указанную ча элемента, то она отрицательна (рис.12.I).

Рис.12.I

d- поперечная сила - внутренняя сила, действующая

вплоскости сечения, перпендикулярно к оси стержня. Она будет численно равна оумме проекций всех внешних сил нормаль к оси бруса, действующих с одной стороны от ра сматриваемого сечения.

Знак поперечной силы голожительный, если эта сила вращает рассматриваемую чаль по часовой стрелке. Отрица тельной она будет в том случае, когда будет вращать ук занную часть против часовой стрелки (рис.13.I)

24

4 4

Рис.13.I

М - изгибающий момент - внутренний момент, плос­ кость дёйстзия которого перпендикулярны к плоскости се чения и чиоленно равный алгебраической сумме моментов всех внешних сил, относительно центра тяжести оечения, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечен элемента конструкции.

Знак изгибающего момента положительный, если он растягивает нчжниэ волокна . В том случае,когда сжимае

нише волокна,то он будет отрицательным (рис.14.1).

Рис.14.I

25

растянуты Верхние бмокна.

I

®

Рис.14.1

Таким образом, чтобы выявить внутренние силовые факто­ ры нужно выполнить следующие мероприятия:

1)Разрезать (мысленно) тело на две части.

2)Отбросить одну часть тела.

3)Приложить в исследуемом сечении усилия, уравно­ вешивающие внешние силы, действующие на оставшуюся ча

4)Определить значения этих усилий, используя при этом уравнения равновесия отсеченной части.

При решении пространственных задач (рассматриваю­ щих общий случай нагружения элемента конструкции) в п перечных его оечениях могут возникать следующие виды формаций:

1)Растяжение (или сжатие). В поперечных сечениях

возникает только продольная сила Л / .

2) Сдвиг (или срез), при котором в поперечных ое­

Помимо этого, в поперечных сечениях могут одновре менно возникать несколько силовых факторов (например, сочетание изгиба о кручением), так называемый случай

26

сложной деформации или сложного сопротивления.

§8.1. Понятие о напряжениях

Чтобы судить о прочности элемента конструкции, м должны вычислить внутренние усилия, возникающие в его сечении. Пусть в сечении возникает внутренняя сила ^ (рис.15.I). Возьмем произвольную точку А в этом се­

размером площадки, а отношение силы к площадке будет миться л пределу, называемым напряжением в точке А, т. будем иметь: