Файл: Козырев, А. П. Теория тепловых и гидродинамических процессов в атомных энергетических установках учеб. пособие.pdf

ка равно средней арифметической величине нормальных напряжений, взятых по любым, но взаимно перпендикуляр­ ным направлениям, т .е .

р = К (рлх Рэд+ Ргг) = ^ егтъ(в данной то ч к е ;.(1 .45)

Для несжимаемой жидкости нормальные напряжения связа­ ны с давлением линейными зависимостями:

28

Вторые члены в правой части являются добавками, обуслов­ ленными вязкостью жидкости и характеризуемыми деформа­ цией растяжения и сжатия частиц жидкости. Эти члены существенны только при очень высоких продольных гради­

Если выражения для трех компонентов напряжений, на­

(1.47)

Последний член в полученном выражении равен нулю в си­ лу уравнения несжимаемости (1 .40).

Обозначим величину -jj- , которая называется кинематическим коэффициентом вязкости жидкости, через 9:

?

Если внешней массовой силой является сила тяжести, то ее проекции на оси координат, отнесенные к единице

29

Уравнения (1.49) называются уравнениями Навье-Стокса или уравнениями движения вязкой несшими*й аидкости. Система уравнений (1.40) и (1.49) содержит четыре не­ известных р , игх , , ы/i и является замкнутой.

Размерность всех членов уравнения (1.50) - н/м3 (сила, отнесенная к единице объема). Левая часть урав­ нения характеризует силы инерции, действующие в пото­ ке жидкости. В правой части члены характеризуют дейст­ вие сил тяжести, давления и сил вязкого трения. Как будет показано в последующих главах, в случае симме­ тричных двухмерных и одномерных течений уравнения (1.49) упрощаются и позволяют решать многие техничес­ кие задачи.

Уравнения движения являются дифференциальными урав­ нениями переноса импульса, или количества движения.

30

Переносимой субстанцией является количество движения, отнесенное к единице объема, т .е . jo-uг . Дифференци­ альное уравнение Ньютона (1.43) определяет плотность потока импульса. Касательное напряжение можно выразить в кгс/м2 = кг.м*сек-1/м2. сек, т .е . в единицах импуль­ са за единицу времени на единицу площади. Физически вто означает, что при взаимодействии двух соседних слоев жидкости, движумихся с разными скоростями, часть молекул из более быстрого слоя попадает в более медлен­ ный слой и способствует его ускорению. Аналогичным об­ разом медленный слой затормаживает быстрый. Обмен моле­ кулами вызывает перенос количества движения (импульса). Необходимо наличие определенной силы на единицу площа­ ди для преодоления силн сопротивления между слоями при градиенте скорости. Закон Ньютона (1.43) для вязкой несжимаемой жидкости можно записать в форме

Знак минус выражает то обстоятельство, что импульс переносится в области с меньие* концентрацией импуль­ са (скоростью), кинематическая вязкость является ко­ эффициентом диффузии импульса.

Аналогичные уравнения существуют для потоков мас­ сы, энергии и т . д . . Для переноса тепла (энергии) закон Фурье можно переписать в виде

31

где ои - коэффициент температуропроводности* хак и \) , измеряется в м^/сек и является коэффициентом диффузии энергии. По уравнению (1 .52) плотность потока энергии ккал/м^ч пропорциональна градиенту плотности энергии [ ккал/м?м-1 ] . Тепло перетекает из области с высокой плотностью энергии в области с низкой плотно­

стью энергии (температурой).

Уравнения, в которых плотность потока выражается через градиент концентрации и коэффициент диффузии, являются феноменологическими гипотезами или законами и представляют собой результат эмпирического исследо­ вания закономерностей наблюдаемых явлений. Уравнения ( I .5 I ) , (1 .52) и (1.53) сходны по форме, выражают три процесса переноса и используются, как было показано выше, при выводе дифференциальных уравнений переноса массы, энергии и количества движения.

В ряде прикладных задач гидродинамики инерционные силы преобладают над вязкими. Пренебрегая последними

32

скорости. Течения, характеризуемые потенциалом скорос­ ти, называются потенциальными. Течения с вращением жид­ ких частиц называют вихревыми. Потенциальное течение является безвихревым. Для него распределение скоростей находится из решения уравнения Лапласа.

Для распределения давлений используются уравнения Эйлера. Интеграл этих уравнений называется интегралом Бернулли. Получим этот интеграл в случае двухмерного стационарного безвихревого течения несжимаемой жидкости. Из (1.57) следует, что

Величина в левой части выражения (1.60) называется вих­ рем, равным удвоенной скорости вращения элемента жидко­

34