(dt |
) |
/ |
dt \ |
|
|
где |
и |
( ~дог)& ~ частные производные от t |
по координате х |
|
на концах участка сосредоточения. |
Из уравнения |
( I I . 5) |
имеем: |
|
|
[dx/i |
cd dt |
’ |
|
\’dx/2 |
d t |
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
Аналогичным образом |
вычисляется |
f |
и при удер |
жании большего числа членов ряда. |
|
|
ДиФФеоенциально-оазностные |
методы |
|
При использовании |
дифференциально-разностных мето |
дов для исследования динамических процессов непрерыв ное изменение переменных заменяется их дискретным из менением. Дискретизация производится для одной из не зависимых переменных, например по пространственной координате, что позволяет уравнения в частных производ ных заменить обыкновенными дифференциальными уравнени ями.
Для исследования нестационарных процессов в тепло обменных аппаратах наиболее часто используют конечно разностные соотношения первого порядка, которые и будут рассмотрены ниже.
Применение дифференциально-разностного метода рас
смотрим на примере уравнения |
( I I . 5) |
[б9 ] . |
Разобьем трубопровод по пространственной координате |
на п |
участков |
длиной |
Д эс |
. |
Значения температу |
ры |
|
в |
промежуточных |
точках обозначим ^ , |
tK , |
t Kti |
|
и т .д . |
(рис. T I.3). |
функцию |
t J разложим в ряд |
Тей ю ра: |
/ |
_ |
S . A*, |
d U |
Шс1г, д Н к |
Sc-/ |
гк |
// |
д х |
|
2 ! |
д х 2 |
Учитывая два члена разложения в ряд, получим
|
|
|
или |
|
|
. У-ь* ~ *«--£* |
. |
(11,12) |
дос |
|
Ьос |
|
|
дэс |
А ос |
|
|
Заменяя |
в уравнении |
( I I . 5) |
частную производную по |
коор |
динате |
зависимостью |
(П .1 2 ), получим |
|
|
|
|
d t \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
К-о,5 |
|
|
|
0> |
С П .1 3 ) |
|
|
d ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
= 0,1,2,..., п |
|
|
|
|
|
t k |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
Hr- “ r~ |
”1— ~ T “ |
“ Г 4T " |
|
|
|
|
1 г |
1 _ L J l 1 _L_ |
|
|
|
L. _L _ 1 . 1 __l_ |
|
|
-Q50 QS/ |
*■ |
/ |
/Г |
/? -/ П |
|
|
Рис. I I . 3. Расчетная схема дифференциально-раз ностного приближения частной производ
ной по координате
Для входного ( |
k = I) и выходного |
( к = п ) участ |
ков можно соответственно принять |
(см. |
рис. I I . 3): |
^ о,5 |
f o,s |
2 ( tQ t0 5 ) |
■ |
|
- 0 |
^n.05~ S.(tn _os~ tn )- |
(11,14) |
Тогда уравнение в частных производных при разбивке тру
бопровода |
на |
п |
участков |
с учетом зависимостей |
( I I .I 3 ) и |
( I I .I 4 ) |
приближается системой обыкновенных |
дифференциальных уравнений: |
|
d t0,5 |
2u£ |
|
|
О |
А х |
(*о - fo,s)■> |
d rl |
|
|
|
|
|
(j. _ / |
) . |
d^ |
Ax |
0,6 *'5 ' |
n-QS |
*** (4. |
-f |
) • |
d ? “ Ax ( |
n '°-5 ' ’ |
tn |
n-0,5 |
^ ^ n - t . 5 |
|
§65. Уравнения динамики теплообменного аппарата при противотоке однофазных рабочих сред
При математическом описании динамики теплообменного аппарата его реальная конструкция заменяется эквивалент ным теплообменником типа "труба в трубе” . При этом принимается, что по одной из труб движется греющая ра бочая среда, по другой - нагреваемая. Проходные сечения эквивалентной модели, площадь поверхности теплопередачи и расчетные зависимости для коэффициентов теплоотдачи принимаются такими же, как и в реальном теплообменном аппарате.
Рассмотрим методику составления уравнений динамики теплообменного аппарата и примем при этом следующие упрощающие допущения:
- изменение параметров рабочих сред учитывается.- только по одной координате, т .е . рассматривается одно мерная модель;
-теплообменный аппарат рассматривается как система
ссосредоточенными параметрами с одним участком сосре доточения (метода перехода от систем с распределенны
ми параметрами к системам с сосредоточенными параметра ми были рассмотрены выше);
- продольная теплопроводность в рабочих средах и металле теплообменной поверхности не учитывается;
-аккумуляция тепла в корпусе теплообменного аппара та не учитывается;
-термическим сопротивлением материала теплопереда-
щей стенки пренебрегаем.
При выводе уравнений динамики теплообменного аппа рата должны использоваться законы сохранения массы, энергии и количества движения. Если положить что ско рость движения (т .е . массовый расход) рабочих сред на входе в теплообменяый аппарат задается как граничное условие, то уравнение сохранения количества движения при составлении математического описания можно не учитывать. На основании закона сохранения энергии с учетом приведенных выше допущений уравнения теплово
го баланса греющей среда, металла теплопередаадей по верхности и нагреваемой среды соответственно запишут ся в виде (рис. I I .4)*
G{Сп trf G-2Crztr^ o(r/y(trCp~ )+mrcrcp |
’ ^I r *I5 ^ |
|
eft# |
d - r F r ftr c p 't* } |
; ( I I . I 6 ) |
^ x (t„ |
L „0 ) = % |
C „ t r - |
t |
,u + |
dtx.cpf |
|
x.cp> |
'2 |
x z x S |
•*"/ •* / |
x x . c p p/t? |
|
G |
|
У |
|
|
|
|
|
CH.I7) |
где |
и |
|
_ |
массевый расход соответственно гре |
°Lr |
|
|
|
|
ющей и нагреваемой рабочей ереды; |
и |
|
|
" |
коэффициенты теплоотдачи от |
греадей |
|
|
|
|
|
|
среды к |
стенке и от |
стенки |
к нагре |
Fr |
|
Fx |
|
ваемой среде; |
|
|
и |
- |
площади поверхности |
теплообмена со |
|
|
|
|
|
|
стороны греющей и нагреваемой сре |
Сг >^ х |
|
|
|
|
ды:, |
|
|
|
и |
с |
м |
- |
теплоемкости греющей и нагреваемой |
|
|
|
среды и металла теплопередающей |
|
т г , |
т X |
|
|
стенки; |
|
|
|
|
|
- |
масса греющей и нагреваемой среды |
|
|
т м |
|
|
в теплообыенном аппарате; |
|
|
и |
|
- |
масса металла теплопередающей стенки; |
tг |
|
tх |
|
- |
температура греющей и нагреваемой |
|
|
|
|
|
|
среды; |
|
|
|
|
|
|
м |
|
- |
средняя |
температура |
теплопередающей |
|
|
|
|
|
стенки; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
средняя |
температура |
греющей и нагре |
х.ср
ваемой среды на участке сосредото чения.
Of,tra
% , t x T
Рис. I I . 4. Эквивалентный теплообменник типа "труба в трубе"
