- G(?)ctfx,T)]&T + Sf>c [t(x,T+ & ?) - t (x, T)]Ax,
где |
|
- |
(I I .I ) |
г |
радиус тепловыделяющего эленента| |
|
oL |
- |
коэффициент теплоотдачи от поверхности |
|
G |
|
тепловыделяодего элемента к теплоносителю» |
|
- |
массовый расход теплоносителя» |
|
tCJ |
- |
температура поверхности тепловыделяющего |
|
|
|
элемента» |
|
t |
- |
температура теплоносителя» |
|
J 3 |
- |
плотность теплоносителя» |
с- теплоемкость теплоносителя.
По физическому смыслу левая часть уравнения представ
ляет собой количество тепла, |
подведенного к элементар |
ному объему теплоносителя S A х |
за |
время |
А Т . |
|
Правая часть уравнения |
(I I .I ) |
характеризует |
подвод и |
отвод тепла с двиаущимся теплоносителем и локальное |
|
изменение количества тепла в объеме |
S A x |
• |
Разделив |
левую и правую части уравнения |
(I I .I ) |
на А х А Т |
и |
переходя к пределу при |
А х |
— |
О |
и |
А Т ^ |
О » |
по |
лучим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S Jtx d \tCT( x ,? ) - t( x ,fj\ ^ G(T)c |
dt(x,T) |
|
d t(x .T ) |
(И .2) |
д х |
+Sf>c |
d T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Характер изменения температуры теплоносителя во вре мени и по высоте тепловыделяющего элемента при скачко
образном изменении тепловыделений от значения |
Qo до |
О |
показав на рис. |
I I .2. |
Из приведенного |
рисунка |
и из уравнения |
(11,2) |
видно, |
что при увеличении подво |
да энергии к теплоносителю частные производные |
f |
t |
и 9 |
t |
в течение всего переходного |
процесса положительны. |
|
|
|
Аналогичным образом выводятся уравнения теплового баланса и для теплообменннх аппаратов других конетрук.
ций.
Рис. I I .2. Изменение температуры теплоносителя в нестационарном процессе
При отсутствии тепловыделений в тепловыделяющем эле
менте левая часть уравнения (I I .2) |
равна нулю, |
и полу |
ченное для этого случая уравнение |
|
|
, , d t M ) |
п |
dt(A ,< t) |
л |
(п .3) |
0(T)c - z r - |
+ SJ* |
|
= О |
дх |
|
|
|
|
будет описывать транспортное запаздывание движения теп
лоносителя в |
канале. |
|
|
О учетом зависимости |
G(f)= S J > w (t) |
уравнение |
(I I .3) запишется в виде |
|
|
dtfa?) + и>(Т) d t M ) -О, |
(и.4) |
|
з г |
д х |
|
где и> |
- скорость движения теплоносителя в кана |
|
ле, м/сек. |
|
|
Уравнение |
(I I .4) описывает физические |
явления, проте |
кающие в изолированных трубопроводах и в рабочих каналах
при отсутствии тепловыделений. |
Сущность процессов, |
описываемых уравнением (I I .4), |
состоит во времен |
ном запаздывании температуры среды на выходе из трубо провода (канала) по отношению к изменению температуры среды на его входе. Это временное запаздывание обуслов лено конечной скоростью движения рабочей среды.
§64. Методы сосредоточения и диФФере.ЕДиальдо--газ- ностнне методы для систем с распределенными
параметрами
Методы сосредоточения
методы сосредоточения рассмотрим на примере одномер ной задачи. При использовании метода сосредоточенных параметров исходное уравнение в частных производных, которым описывается исследуемая система с распределен ными параметрами, интегрируется по пространственной координате и среднеинтегральную переменную выражают приближенными формулами.
Для приближения среднеинтегральной переменной ис пользуют квадратурные формулы, разложение этой перемен ной в степенной ряд и другие методы. С помощью прибли женных формул среднеинтегральная переменная выражает ся через значение этой переменной и ее производных на концах участка сосредоточения. Используя методы сосре доточения, уравнение в частных производных можно за менить обыкновенным дифференциальным уравнением, до полненным формулой приближения среднеинтегральной пе ременной.
Рассмотрим для примера дифференциальное уравнение, описывающее транспортное запаздывание движения одно фазной жидкости в трубопроводе длиной £ [б9 ] ;
где |
t |
- |
температура |
жидкости, °C# |
|
и1 |
- |
скорость жидкости, |
м/сек. |
|
Проинтегрируем уравнение |
(I I .5) по координате х |
в пределах участка сосредоточения |
€ |
: |
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
td t ( x , <£ ) , |
/ . Г dt(x,<?) |
dx = О, |
|
|
|
—— d x + и?(?) I — — — |
где |
|
о/ ■ |
|
о |
д х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( п > 5 ) |
|
с |
|
|
|
|
|
J |
i(x,t)dx = ttcpl?) ; |
|
( I I .7) |
<
и(? ) - температура жидкости на концах
участка сосредоточения.
Таким образом, в результате интегрирования исходное уравнение в частных производных приближается обыкно
венным дифференциальным уравнением, |
которое с учетом |
зависимостей |
(II.б ), (I I .7) |
и (I I .8) |
запишется в виде |
|
|
|
|
о , |
( н . 9 ) |
где |
е |
|
|
|
|
~ j V |
( х ,Т ) с ( х |
- |
среднеинтегральное |
значе |
ние переменной. |
|
|
|
|
Рассмотрим применение квадратурных формул для приблигенного определения среднеинтегральной переменной tcf>(? ) .
Интеграл ( I I . 7) можно приближенно вычислить по фор муле трапеций
£tcp (г) = Jtfa Т)Ых = | <? (?) t tj?)] >
О
откуда
tcpfr) ** J [tf (?) + $>(&]•
При вычислении интеграла ( I I . 7) по формуле правых пря моугольников имеем
|
= J t f a W x |
|
о |
откуда |
£С/о(?) **t£ (Г) • Тогда уравнение ( I I . 9) за |
пишется |
как |
Вычисление tCp (?) по формуле правых прямоугольников является более грубым по сравнению с формулой трапеций.
Более точные результаты по сравнению с квадратурными формулами могут быть получены при приближении среднеин тегральной переменной степенным рядом.
Представляя среднеинтегральную переменную формулой
= ~ i l f (x,ct)dx |
(II.Ю ) |
и выполняя интегрирование по частям, получим:х)
|
|
s |
|
|
|
е |
е |
у |
|
|
|
|
| |
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
t(x,f~)dx = |
Ы |
|
- |
IРЛ1----с(,х ; |
|
|
|
|
I:г |
|
|
|
|
|
е_ дх |
|
|
|
~ |
2. |
|
|
|
|
'г |
|
|
|
|
£ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л dt |
. |
dt |
х |
|
|
X s- д Ч |
|
|
|
|
— |
хал: = |
— |
— |
|
|
£ i ' j p ‘,aci |
|
|
£ |
дх |
|
дх |
8. |
г |
|
|
& |
|
|
|
|
'г |
~2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ |
|
|
|
|
дЧ |
X s . |
дЧ |
|
х 3 |
|
|
к т .д . |
|
е |
|
|
|
|
|
£ |
_е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
г |
“г |
|
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
£ |
|
|
|
§ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
\ / |
|
|
|
d t |
х* дЧ |
г |
|
i [±, |
|
|
|
|
|
Ч б Г х ’т Ш ‘ Ч ' Т 'Л * Те Т Т |
г |
( П .П ) |
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
■2 |
|
|
Точность |
приближения |
среднеинтегральной переменной |
определяется числом удерживаемых членов ряда |
( I I . I I ) . |
При удержании одного члена ряда выражение для опреде
ления |
tср |
совпадает |
с |
приближением по формуле тра- |
пений: |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
£ |
|
|
|
При удержании двух |
а |
|
ряда |
имеем |
членов |
|
X ^ |
X s |
dt |
|
|
'dt |
Ч> ~~С Г~ 2£ дх |
|
2 |
/ ш -1 дх |
у ) Ниже |
индексы |
Т |
и |
-х |
При переменной t для упро |
щения |
записи |
опущены. |
|
|
