Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

XjL — фактор-пространство пространства X по подпростран­ ству L,

I — единичный оператор,

Л* — оператор, сопряженный с оператором Л, Кег Л — ядро оператора А,

Im Л — образ оператора Л,

FE(X, У) — пространство непрерывных линейных отображений

мых я-мерных вектор-функций на отрезке [^0, Л],

L* (Т) — пространство я-мерных вектор-функций, каждая ком­ понента которых принадлежит Lp (Т, 2, р),

i]) — пространство я-мерных вектор-функций, у ко­

Кл — конус, порожденный множеством А,

х. — решение экстремальной задачи,

&— функционал в задачах вариационного исчисления и опти­

мального управления, Ж — квадратичный функционал в задачах вариационного ис­

числения,

L = L {t, х, х) — лагранжиан, 3? — функция Лагранжа,

&— функция Вейерштрасса,

Н— функция Понтрягина,

Ж — гамильтониан.

0. В в е д е н и е

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Первые задачи геометрического содержания, связан­ ные с отысканием наименьших и наибольших величин, были поставлены в древности. Упоминание об изопериметрическом свойстве круга относится к V веку до н. э.; вопросы о максимумах и минимумах встречаются в тру­ дах Евклида, Аполлония, Архимеда. Потребность ре­ шать экстремальные проблемы способствовала созда­ нию математического анализа и вариационного исчисле­ ния. В XVII и XVIII веках были открыты вариационные принципы в оптике и механике и вариационное исчис­ ление стало языком естествознания.

В наши дни в связи с запросами техники и эконо­ мики теория экстремальных задач переживает второе рождение. Бурно развиваются новые разделы: матема­ тическое программирование, теория оптимального управ­ ления, численные методы оптимизации.

Экстремальные проблемы очень разнообразны, и всетаки, несмотря на то, что старинные геометрические за­ дачи на экстремум кажутся совсем не похожими на проблемы оптимального управления летательными ап­ паратами, в исследовании их можно усмотреть много общего.

Расскажем вкратце об общих свойствах, присущих экстремальным задачам, и об основных принципах ис­ следования проблем экстремального характера. Начнем с постановок задач.

Проблема отыскания наибольшей или наименьшей величины возникает обычно не в аналитической, а в описательной форме. Для того чтобы применять мате­ матические средства, необходимо формализовать за­ дачу. Обычно можно выделить три компоненты, состав­ ляющие математически точно поставленную проблему. Это — функция fo(x) вместе с областью X ее определе­ ния и некоторое подмножество С множества X, которое задает ограничение в поставленной задаче. Множество

X называется классом допустимых элементов, подмно­ жество С — множеством допустимых элементов или про­ сто ограничением. (Под словом «функция» понимается далее отображение в расширенную вещественную пря­ мую, когда значения -фоо и — сю допускаются наряду с обычными вещественными числами.) Словесно экстре­ мальная задача формулируется так: найти нижнюю

[верхнюю) грань функции }о(х) по всем х, принадлежа-

щим ограничению С. Для обозначения такой экстре­ мальной задачи используется стандартная запись:

называется значением этой задачи, а та точка х», где достигается эта нижняя (верхняя) грань, называется

окрестностью точки х*, называется локальным миниму­ мом (максимумом) в задаче (1).

Заметим, что всегда можно ограничиться лишь рас­ смотрением задач на отыскание нижней грани; для этого достаточно (если нужно) заменить fQ на —f0. Значение задачи об отыскании нижней грани мы называем иногда

минимумом, а ее решение — минималью.

Обычно одна и та же задача допускает разные фор­ мализации.

Рассмотрим, например, задачу о брахистохроне. Начнем с опи­ сательной постановки. В «Беседах» Галилея обсуждается такой во­ прос. Пусть два одинаковых шарика начинают одновременно дви­

более общая постановка задачи: какую форму следует придать же­ лобу, скатываясь по которому без трения под воздействием силы тяжести, шарик попадал бы из одной заданной точки в другую за кратчайшее время. Так описательно ставится задача о брахисто­ хроне. Перевести ее на математический язык можно по-разному. Обычно принята такая формализация. Введем в плоскости систему координат (х, у) так, чтобы ось х была горизонтальна, а ось у