Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

20 0. ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

функцией параметров возмущения. Эту функцию мы на­ зываем S-функцией задачи. Цель состоит в том, чтобы ио данным поставленной задачи можно было судить о ха­ рактере S-функцин, о ее гладкости и т. п. В случае, если 5-функция обладает гладкостью, принцип Лагранжа, о котором много говорилось выше, допускает фундамен­ тальное усиление: тогда можно нелинейно подправить функцию Лагранжа так, что задача об условной мини­ мизации становится равносильной задаче о безусловной минимизации этой подправленной функции Лагранжа.

Такое утверждение мы называем принципом снятия ограничений.

Поясним сказанное на том же конечномерном при­ мере, на котором иллюстрировался принцип Лагранжа.

условии, что данная точка х* является экстремалью задачи и в ней вторая производная функции Лагранжа

строго положительна на ядре оператора F'(x^), полу­ чается, что поставленная задача становится равносиль­ ной следующей безусловной проблеме минимизации:

m

<? + ($°F) (х) = /о (х) + 2 hfi (х) + (Ф ° F) (х) -> inf, i=i

где ф: Rm-vR — некоторая эффективно строящаяся гладкая добавка к функции Лагранжа. Смысл полу­ ченного результата в том, что если выполнены некото­ рые условия невырожденности, то ограничения могут быть сняты. Если же из каких-то, пусть даже эвристиче-' ских, соображений удается снять ограничения, то тем самым сразу оказывается, что в данной точке имеется локальный экстремум, т. е. снятие ограничения является достаточным условием экстремум У

Особой спецификой обладают задачи динамического содержания, в которых описываются процессы, изме­ няющиеся во времени. Таковы задачи классического ва­ риационного исчисления и оптимального управления. Для этих задач имеется весьма плодотворная процедура

их возмущения. Такие задачи возмущают при помощи граничных условий. Полученная при помощи этого воз­ мущения 5-функция называется в вариационном исчис­ лении функцией действия. Для нее можно написать дифференциальное уравнение в частных производных — уравнение Гамильтона — Якоби, что дает новый путь к решению поставленных задач. Аналог теории Гамильто­ на— Якоби в оптимальном управлении называется ди­ намическим программированием, а основное уравнение динамического программирования называется уравне­ нием Веллмана. При выводе уравнений Гамильтона — Якоби и Беллмана основополагающим является тот факт, что любая часть мииимали сама является мини­ малью некоторой задачи.

Скажем несколько слов относительно а п п а р а т а , при помощи которого доказываются необходимые и до­ статочные условия. Исчисление, разработанное для ис­ следования экстремальных задач, базируется на двух

гл. 3, 4). В последнее время интенсивно разрабаты­ вается новая глава выпуклого анализа, специально ориентированная на задачи оптимального управления — выпуклый анализ интегральных функционалов (см. гл. 8). Стержнем той части дифференциального исчис­ ления, которая обращена к экстремальным задачам, яв­ ляется принцип сжимающих отображений. В основании выпуклого анализа лежат теоремы отделимости. Именно эти факты решающим образом участвуют в доказатель­ ствах теорем относительно необходимых и достаточных условий. Важнейший результат выпуклого анализа ин­

стве своем они основываются на том, что у всякой по­ лунепрерывной функции на компакте нижняя грань достигается. Поэтому основное внимание в теоремах существования уделяется условиям полунепрерывное™ функционалов и критериям компактности множеств в функциональных пространствах (см. § 9.1). Как

вательность.

Под словом функция всюду в этой книге понимается

прерывной снизу, если она полунепрерывна снизу в каж­ дой точке из X.

Для того чтобы функция f, заданная на топологиче­ ском пространстве X, была полунепрерывной снизу, не­

обходимо и достаточно, чтобы все ее лебеговские мно­ жества

&af = {х s X |f (* )< а}

снизу функция f, заданная на топологическом простран­ стве X, достигает нижней грани на всяком компактном подмножестве пространства X.

С л е д с т в и е . Пусть f — полунепрерывная снизу функция на топологическом пространстве X. Если не­ которое лебеговское множество функции f не пусто и компактно, то f достигает нижней грани на X.

Этот факт лежит в основе большинства теорем су­ ществования решения в теории экстремальных задач.

0.1.2. Принцип сжимающих отображений. Пусть Х -^ метрическое пространство и F — отображение простран­ ства X в себя. Говорят, что отображение F — сжимающее,

24 0. ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

если существует такое число 0, 0 < 0 < 1, что

Р(^(*)> Р ( У ) Х в р ( х , у)

для всех пар х, у из X. Элемент х е X называется не­ подвижной точкой отображения F, если F(x) — x. Ото­ бражение

р ОР О . . . ОР

Пусть X — полное метрическое пространство и F — ото­ бражение пространства X в себя такое, что для некото­ рого натурального k > 0 отображение Fh— сжимающее. Тогда в X существует ровно одна неподвижная точка

пуклое линейное топологическое пространство. Тогда

стве А возьмем произвольную выпуклую окрестность точки х, не содержащую нуля, и применим теорему.

Аннулятором линейного подпространства L локаль­