Файл: Зысина-Моложен, Л. М. Теплообмен в турбомашинах.pdf

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ЛАМИНАРНОГО ОБТЕКАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

11. Расчет ламинарного пограничного слоя, образующегося при обтекании пластины потоком больших скоростей

Классические исследования ряда ученых и в первую очередь О. Рейнольдса показали, что в зависимости от значения числа R = fjxlv в потоках и в пограничном слое существуют различные формы движения жидкости. При числах R, меньших некоторого критического значения RKP, форма движения является ламинар­ ной. Ламинарная форма движения характеризуется регулярным струйным течением жидкости, причем проникающие в поток пуль­ сации и возмущения не имеют условий для развития и затухают. Как принято говорить, ламинарное течение является устойчивым по отношению к проникающим в него возмущениям.

Выведенная в гл. I система основных дифференциальных урав­ нений (VII)—(XII) полностью применима для описания процес­ сов обтекания тел ламинарным потоком жидкости. Эта область теории пограничного слоя является наиболее полно и наиболее строго разработанной.

Исходной классической задачей является задача об обтекании пластины. Так как при обтекании плоской пластины скорость потока на внешней границе пограничного слоя сохраняет постоян­

ное значение ( 4 т ~ = о)- т0 система уравнений (1.64), (1.65), (1.72), выведенных в п. 5, несколько упростится и будет иметь вид:

Рг (1 — се§)

50

Введем функцию тока ф, которая, согласно уравнению (1.65), будет удовлетворять соотношениям:

Будем искать выражение для продольной скорости и и тем­ пературы Т* в пограничном слое в функции одного аргумента

(III.2)

2V I '

Тогда, согласно первому из равенств (III. 1), будем иметь

TlWf)

0

Обозначим

£

2J«(£)d£ = q>(£).

о

Выразив через функцию ф (£) и ее производные по £ все члены системы уравнений (1.64) и (1.72), можно после подстановки свести систему к виду:

Вобщем случае интегрирование системы уравнений (III.4) может быть выполнено численными методами.

Вчастном случае, когда в уравнении (XII) показатель степени

п= 1, система упрощается и приобретает вид:

Ф™+ Фф" — 0;

(Ш-5)

i" + Рг фГ + (k — 1) М^ф"2 = 0.

Первое уравнение системы (Ш.5), представляющее собой обык­ новенное нелинейное дифференциальное уравнение третьей сте­ пени, было получено и численно проинтегрировано Блазиусом при решении задачи о ламинарном пограничном слое, образующемся при обтекании плоской пластины потоком вязкого несжимаемого газа.

Из численного решения Блазиуса были получены выражения для ф и для универсального безразмерного профиля скорости при несжимаемом обтекании в виде1

хорошо согласующиеся с экспериментом.

По этим же данным легко определяются толщина 6 погранич­ ного слоя и его условные толщины б* и б**. Например, если при­ нять за внешнюю границу пограничного слоя такое расстояние от стенки, на котором скорость и отличается от скорости внешнего потока U на 1%, то толщина пограничного слоя

6 = 5,0 У % .

При условии отличия скоростей и и U на 0,2%

б = 5 , 8 | / ^ .

Толщина вытеснения

толщина потери импульса

Из численного решения Блазиуса получим формулу для на­ пряжения трения

Т“’ = ,А(1 г)„= о ==Т»1 Так как ф"(0) = 1,328, то

Тогда местный ’(локальный) коэффициент трения

где R* = Ux/v — местное (локальное) значение числа Рейнольдса.

1 Для пластины скорость на внешней границе пограничного слоя U равна скорости невозмущенного потока Uсо.

52

Поскольку введение переменных Дородницына позволило свести рассматриваемую в настоящем параграфе задачу к этой классической решенной задаче обтекания потоком несжимаемого газа, то можно использовать известное решение. Тогда формально

вид функции-^- (£) будет таким же, как и в решении Блазиуса,

только величина £ будет выражаться через переменные Дородни­ цына по формуле (1.53) и соответственно

Переходя от координат Дородницына к обычным координатам, можно получить

т. е. профиль скорости должен зависеть от распределения темпера­ тур.

На рис. 4. для иллюстрации сказанного приведено в коорди­ натах иШ\ Y — у l/^t/poo/(PcoX) распределение скоростей в попе-

и/и

Рис. 4. Профили скоростей в ламинарном пограничном слое

речном сечении пограничного слоя пластины для случая Рг = 0,7; k = 1,4; п = 1, причем пластина охлаждалась в такой мере, чтобы при каждом значении скорости набегающего потока сохранялось равенство Tw = ОДБГоо. Из рис. 4 видно, что с увеличением сверх­ звуковой скорости профили становятся все более урезанными, т. е. ламинарный пограничный слой становится более толстым.

Для численного решения задачи Блазиуса имеются рассчитан­ ные таблицы значений функции ср и ее производных ср' и <р" [117]. Эти данные могут быть использованы и в рассматриваемом случае.

При условии п = 1 для обтекания потоком сжимаемого газа 1

1 Для обтекания несжимаемой жидкостью это условие не имеет смысла, так как в этом случае физические константы не зависят от температуры, и, сле­ довательно, полученные формулы имеют универсальный характер.

53

можно написать соотношения (III.8) и (III.9) в переменных Дород­ ницына и, переходя от них к обычным переменным, получить вы­ ражения:

0,664

тш= 0,332 j / "

; " Y F

Таким образом, если коэффициент вязкости в пограничном слое изменяется линейно с температурой (п = 1), то при отнесе­ нии |i и р к температуре невозмущенного потока Тm можно рас­ считывать сопротивление пластины по обычным формулам, полу­ ченным для обтекания потоком несжимаемой жидкости.

Интегрирование второго уравнения системы (III.5) также мо­ жет быть выполнено численными методами [117]. В этом случае при соблюдении условия п = 1 можно получить выражение для энтальпии в виде

Используя граничные условия для i, получим значения констант интегрирования с и сх. Полагая £ = оо, имеем сг = 1; полагая £ = 0, находим

стина используется как пластинчатый термометр, при дифферен­ цировании уравнения (III. 10) и использовании условия О1' (0) = О

54