ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 110
Скачиваний: 0
Здесь Тт — температура стенки при отсутствии теплоотдачи;
# (0) — функция, в общем случае зависящая от £ и Рг. Значение
этой функции при £ = |
0 затабулировано, в частности: |
||
Р г .......................................................... |
0,6 |
0,8 |
1,0 |
0 ( 0 ) ...................................................... |
3,08 |
3,58 |
4,0 |
Из формулы (III. 14) видно, что при Рг = 1 имеет место соот ношение
Tr = T„ [l |
- Г ; . |
(III.15) |
Очевидно, Тг является температурой пластинчатого термо метра. Тогда из формул (III. 14) и (III. 15) следует, что если в ка честве измерителя температуры в сжимаемом потоке газа при менять пластину, то при Рг = 1 ее температура Ттбудет соответ ствовать температуре адиабатно и изоэнтропно заторможенного
потока. |
При Рг =;/= 1 она может быть и меньше, и больше Т^ — |
|||
в зависимости от |
значений числа |
Рг. Величина |
г = 0,256' (0) |
|
обычно |
называется |
коэффициентом |
восстановления |
температуры |
и широко используется в теории теплообмена при больших скоро стях применительно не только к пластинчатым, но и к любым другим измерителям температуры. При обтекании пластины и при продольном обтекании цилиндрических поверхностей в широком
диапазоне изменения |
параметра |
(k — 1) М2Ю для |
ламинарного |
пограничного слоя сохраняется |
значение |
|
|
|
т = V Рг. |
(III.16) |
|
П р и н а л и ч и и |
т е п л о о б м е н а , используя соотно |
||
шение (III. 13), можно |
представить постоянную сх |
в виде |
|
с1 = — ^ <т- - iw------_ |
(III.17) |
||
-М [ф"(0]Рг4£ 8 в
При подстановке этого выражения в уравнение (ШЛО) найдем полное теплосодержание
[[ф"(£)1РЧ
i (О = j ( k - 1) ML fl ( Q + ( i w - i T) 4 --------------- |
• (HI-18) |
j [ф"(01Рг4£
о
Продифференцировав все члены уравнения (III. 18) по £, после несложных преобразований получим
/ дТ \ |
_ |
Тсо _ |
/~ U |
рw ( di \ |
(III.19) |
|
\ ~ д у ~ ) у = й |
~ |
~ 2 ~ у |
v cox |
Poo \ Ж / £ = о ' |
||
|
55
Используя (III. 17), формулу Клапейрона и условие постоян ства давления для пограничного слоя пластины (р = /?<»), можно выражение (III. 19) преобразовать к виду
|
|
т а |
(111.20) |
= o' (Tt~ T w) Т* |
|||
Вводя понятие числа Нуссельта |
|
||
Nu |
|
Q |
(111.21) |
|
К <tw- t „) |
||
|
|
|
|
и выражая приток тепла |
Q для пластины |
длиной L соотноше |
|
нием |
|
|
|
e = |
-0J |
4 J5 - L A |
<ш -22> |
получим для газов при п — 1 |
|
||
m = |
1 w |
1СО |
(in .23) |
|
4 |
||
При малых скоростях Тт= Т^, тогда |
|
||
Nu = |
/ (Рг) V~RZ. |
(III.24) |
|
Функция / (Рг) для обтекания пластины несжимаемым потоком была рассчитана Польгаузеном (для двух сторон пластины):
/(Рг)«* 0,664 ^ P r . (III.25)
В табл. 3 приведено сравнение этой приближенной формулы с точ ным решением.
При Рг = 1 формула (II 1.23) |
приобретает вид |
|
|
||
Nu = 0 |
, |
6 |
6 |
4 |
(III.26) |
* W |
* со |
|
|
|
|
а формула (III.24) — соответственно (для двух сторон пластины)
Nu = 0,664 |
(III.27) |
Позднейшие исследования показали, что при очень больших зна чениях числа Рг (Рг —>оо) функция / (Рг) может быть прибли женно определена по формуле
f (Рг) = |
0,339 у^Рг, |
|
а при очень малых-значениях Рг — по формуле |
|
|
f(Pr) = |
0,564 ]/Р г. |
|
Тогда формулы для Nu при |
Рг —» оо и Рг = 0 |
соответственно |
будут иметь вид: |
|
|
Nu = 0,339 i^P ?]/R ^; |
(111.28) |
|
Nu = 0,564 K R ^ P t- |
(111.29) |
|
56
На основании подробного анализа численных решений урав нения энергии (II 1.5) для ламинарного пограничного слоя, обра зующегося при обтекании нагретой пластины потоком сжимае
мого газа, |
в |
работе |
[231] предлагается |
|
|
следующая формула |
для расчета |
коэф- |
Т а б л и ц а 3 |
||
фициента |
теплоотдачи: |
|
|
||
NUjc= |
Cf^2Rx R°,5Pr0’33. |
(Ш.ЗО) |
Значение f (Рг) |
||
Рг |
|||||
|
|
|
|
|
точное по ( II I .25) |
Коэффициент k = cf VW x в этой фор муле зависит от числа М, температурного фактора ф == TJTa, и показателя степени п в соотношениях, связывающих вязкость р. и теплопроводность % с температурой.
В работе Крокко |
показано, |
что если |
||
относить физические |
константы |
в |
погра |
|
ничном слое не к То,, |
а к некоторой ус |
|||
ловной |
температуре |
Т', можно сохра |
||
нить |
постоянство |
произведения |
k = |
|
0,6 |
0,552 |
0,560 |
0,8 |
0,614 |
0,616 |
1,0 |
0,664 |
0,664 |
7,0 |
1,29 |
1,46 |
10,0 |
1,26 |
1,43 |
15,0 |
1,67 |
1,64 |
= Cf |
— 0,664 до значения М = |
5 точно |
и |
до М = 10 при |
||
ближенно. Эта температура для ненагретой пластины |
определя |
|||||
лась соотношением- |
|
|
|
|
||
|
|
1 +0,32М 2 + |
0,58(у ^ |
- |
l); |
(III.31) |
для |
нагретой |
пластины |
|
|
|
|
|
|
^ = 4 ( ' + |
3 ^ ) - |
|
|
(111.32) |
На рис. 5 |
в координатах Т / Т Y = г/]/1/роо/(р-соХ) |
приведены |
||||
графики распределения температур в поперечном сечении погра ничного слоя при различных значениях числа М, полученные расчетным путем для тех же условий, что и графики скоростей на рис. 4 (Рг = 0,7; Tw = 0,25TW\ п = 1; k = 1,4). Как видно, кри вые имеют немонотонный характер: внутри пограничного слоя имеется максимум температуры, который увеличивается с увели чением числа М. Это явление объясняется диссипацией механиче ской энергии газа за счет вязкости.
Для случая обтекания пластины при Рг = 1 и произвольном значении п имеет место очевидное частное решение уравнения энергии (X), так называемый интеграл Крокко:
Т
ТСО
Здесь
k —
2
\
1
8£»
+ а -у - + Ь, |
(Ш.ЗЗ) |
а = 1 - Tw I |
k — l |
м 2 • |
Ь = |
т' СО |
1 2 |
iT*co у |
СО |
57
Из (III.33) легко получить условие
t* |
7* |
— Г* |
U ' |
(III.34) |
со |
оо |
w |
|
|
Это — условие подобия температурных и скоростных полей, отме чавшееся выше при анализе основной системы дифференциальных
Т/Тоо
Рис. 5. Профили температур в ламинарном |
пограничном |
|
слое |
|
|
уравнений. Согласно этому условию, при Pr = 1 и |
= 0 в любом |
|
сечении пограничного слоя поля перепадов |
температур, выра |
|
женных в параметрах адиабатного и изоэнтропного торможения, подобны полям скоростей при любом значении показателя сте пени п.
Для случая обтекания несжимаемым потоком из (III.34) легко получить обычное, подтвержденное многими экспериментами со отношение
(II 1.35)
12. Расчет динамического ламинарного пограничного слоя при течении с продольным градиентом давления
Теория ламинарного пограничного слоя при градиентном обте кании в настоящее время является достаточно развитой. Суще ствует ряд точных решений для той или иной заданной эпюры скоростей и ряд приближенных решений. Эти вопросы подробно освещены в работах [117, 118, 31, 167, 162], поэтому на них оста навливаться не будем.
Рассмотрим здесь только один метод приближенного решения, относящийся к классу однопараметрических методов, — метод Дородницына — Лойцянского.
58
Выпишем интегральное соотношение импульсов (1.70), представленное в переменных Дородницына:
d6** , Г£** |
(с, | |
°« |
\6* | |
<ч“ + т г 6 |
2 + т ^ г |
+ т |
Рои 2 |
Примем допущение, что все характеристики пограничного слоя однозначно определяются некоторым параметром /, изменяю щимся вдоль обтекаемой поверхности, и что профили скоростей в пограничном слое могут быть представлены однопараметриче ским семейством
(III.36)
не зависящим явно от числа Маха на внешней границе погранич ного слоя М0 и, следовательно, имеющим одинаковый вид для обтекания как сжимаемым, так и несжимаемым потоком. Влияние числа М0 при этом допущении, очевидно, будет сказываться не
явно — через значение величин U, 6^,*, t) и /.
Обозначим величину производной безразмерной скорости по
безразмерной координате у стенки через £: |
|
|
||
д |
\ |
/да \ |
^ = |
(П1.37) |
д |
U \ |
дц / п=о |
|
|
|
Т)=0 |
|
|
|
За форм-параметр |
f выберем |
величину |
|
|
(III.38)
vo O — «о)
После подстановки (III.36) — (III.38) в интегральное соотно шение (1.70) получим уравнение
d |
( 1 - «о)2 |
U' f
или
U
V l - a l
1—ой
иF(fh
+ f- |
In |
|
U' |
0 |
to |
||
' ' |
« |
1 ONJ |
(111.39)
(111.40)
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(f) = 2 |
|
£(f)~ |
2 |
|
!/ |
|
(III.41) |
|
Уравнение (III.40) при переходе от переменной | |
к перемен |
||||||||
ной х преобразуется к виду |
|
|
|
|
|
|
|||
df_ |
_d_ Г,„ |
V |
1 |
+ |
f —dx |
r,n |
w |
k |
1 |
dx |
F(f) dx |
|
J |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
. |
|
|
(I 1.42) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
59
Из принятого допущения о независимости формы профиля скорости в рассматриваемых координатах от М0 следует, что вид функции F (/) должен быть одинаковым для обтекания как сжимаемым, так и несжимаемым потоком. Эксперименты показы вают, что для несжимаемого потока [118]
F (/) = a — bf. |
(III.43) |
Тогда уравнение (III.42) легко интегрируется, и для пара метра / получим выражение
где |
|
"* = 2 + - ^ |
---- (1И.45) |
Для воздуха b ^ 5,75; а ^ 0,45; |
k = 1,4. |
Уравнение (III.44) легко может быть решено с помощью чис ленного или графического интегрирования при заданной функции изменения скорости U = U (х) на внешней границе пограничного слоя. Зачастую эта функция для обтекания сжимаемым потоком не может быть определена, а известно только распределение U =
—U (х) для малых скоростей. Для этого случая авторы метода
[43]преобразовали формулу (III.44) к виду
> = “ |
“ о V 1— ао) |
цо |
- о —а - * |
<IIL46> |
и рассчитали сетки |
кривых |
а 0 = |
ос (Ми , рн с), где |
|
|
- |
= Р - Р о |
|
|
|
^н-с |
|
pt/2/2 • |
|
Расчеты по этой сетке (рис. 6) можно вести до тех пор, пока на каких-либо участках у поверхности не возникнут местные сверх
звуковые зоны, т. е. до М0 < м кр. |
0, и тогда |
|
Для несжимаемого потока ос0 |
|
|
f = - ^ \ U |
b~'dx. |
(Ш -47) |
Соответственно уравнение (III.42) приобретает следующий вид:
4 - = р < г > - £ г ' * и + г - £ г ы и ' - |
<Ш 4 8 ) |
|
где |
|
|
U8**2 |
(III.49) |
|
v |
||
|
60