ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 140
Скачиваний: 0
Интегралы в выражении (9) достаточно вычислить для области частот Д < / < / 2. На краях интервала потребуем, чтобы q (fj) = q (/,) = 0.
Минимизация дроби (9) эквивалентна минимизации числителя при фиксированном знаменателе. Поэтому положим в (1)—(3):
У if) — q (/)> Р = ІУ')\ Q = У1, S = ( y ' f - X y \
Уравнение Эйлера (3) преобразуется к виду
У" + h y = 0.
Решение уравнения будет
y(f) = sin t y T t f - /„ ) ] .
Здесь X и /о определяются граничными условиями у (fi)=y {f2)=0, откуда
?(/) = '/(/) = sin {пт (/ — Д)//7], |
(10) |
где т = 1, 2, ... В дальнейшем выберем решение, соответствующее т — 1. При этом условии эффективная длительность выходного им
пульса (9) |
оказывается наименьшей |
|
|
|
||
|
|
т э = |
тк!2П = кІ2П, |
|
(11) |
|
а искомые функции равны |
sin Ы {f — /і)//7], |
|
||||
|
q if) = |
|
||||
|
U ( / ) I = K S T № |
= 7 |
№ . |
(12) |
||
Выражение |
огибающей |
выходного отклика |
найдем, подставляя |
(12) |
||
в выражение для w (t) |
[(2), |
введение к |
гл. |
1.6]. Тогда |
|
|
W (t)/W (0) = 0,5 [ф (Ш + 0,5) + |
ф (Ш — 0,5)]/ср (0,5); |
(13) |
||||
здесь ф (z) = sin jtz/лг.
Кривые, рассчитанные по формулам (10), (12), (13), показаны на рис. 1.6.1, 1.6.2. Максимальная амплитуда бокового лепестка сжатого импульса составляет 7% от амплитуды основного.
Рис. 1.6.1. Амплитудно-частотные спект |
Рис. 1.6.2. Огибающая выходного |
|||
ры входного |g (f)| |
и выходного |
q (f) |
импульса оптимального фильтра при |
|
сигналов оптимального фильтра, |
обес |
сигнале с амплитудно-частотным |
||
печивающие минимум эффективной дли |
спектром I g (/) I, |
соответствующим |
||
тельности выходного импульса при за |
рис. |
1.6.1. |
||
данной абсолютной |
ширине спектра П. |
|
|
|
§ 1.6. 1. |
111 |
Случай 3. Требуется найти амплитудно-частотный спектр зонди |
|||
рующего сигнала, который обеспечивает м и н и м а л ь н у ю |
э ф |
||
ф е к т и в н у ю д л и т е л ь н о с т ь |
радиоимпульса (9) |
на |
вы |
ходе согласованного фильтра. Заданы: |
э ф ф е к т и в н а я |
п о л о |
|
с а |
ч а с т о т |
энергетического спектра |
|
|
|
|
||||
|
|
|
СО |
|
|
|
с о |
|
|
|
|
|
= |
|
$ ( / - / о ) Ѵ ( М / |
$ |
|
(14) |
|||
где /о — координата «центра тяжести» этого спектра |
|
|
||||||||
|
|
|
|
со |
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
h = |
I f |
Ф (И dff 5 |
q2 ( f ) df , |
|
|
||
и |
г р а н и ч н'ы е |
у с л о в и я |
? (/) - > 0 |
при / -> |
± |
оо. |
||||
|
Задача сводится к определению экстремумов функционала |
|||||||||
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ѵ = |
\ |
W № d f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— со |
|
|
|
|
|
при дополнительных условиях |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 Я~ ( f ) d f = const, |
|
|
|
|||
|
|
|
I |
if — f q)2 |
q2 if) = |
const. |
|
|
||
Полагая в (1)—(3) |
y(f) |
= q(f), |
имеем |
P = (q')2, |
Q0 = q2, Qi = |
|||||
= |
(/ — f0)2q. Уравнение Эйлера (3) приводится к виду |
|
||||||||
|
|
|
q" + \ h |
+ |
h v - /о)2] Я = 0. |
|
(15) |
|||
После замены переменной |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
/ = */Я2 + /о, |
|
|
|
(16) |
||
где |
Я42 = —\ |
и замены |
параметра Я0 = |
Яа2Я придем |
к одномерному |
|||||
уравнению Шредингера |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
dqVdx2 + |
(Я — x2) q = 0. |
|
(17) |
||||
Уравнение (17) имеет решения, конечные при х ->-±оо, если
Я = 2т + 1.
112 |
§ 1.6. 1. |
• Эти решения имеют вид
Чт(х)*=?гхгі 2Н т{х), |
(18) |
где Н т (X) — полиномы Эрмита
H m{x) = { - \ y n ^ - - £ ; Z - x \ |
(19) |
Функции qm (х), связанные с полиномами Эрмита, удовлетворяют интегральным соотношениям
со |
|
|
со |
|
|
^ |
[q!n{x)]2dx = (m + 0,5) |
^ |
qll (x)dx, |
(20) |
|
— СО |
|
|
0 0 |
|
|
со |
x2q2m{x)dx = {tn-\-0,5) |
со |
qll (x)dx. |
|
|
§ |
^ |
(21) |
|||
— СО |
|
|
- - 0 0 |
|
|
Заменяя х в (20) и (21) по формуле (16), |
подставляем (20) в (9), а (21) |
||||
в (14). Тогда получим |
|
|
|
|
|
|
4я2 т! = (in |
0,5) к2 Хг, |
(22) |
||
|
Я І = ( т + 0,5)/с2Д2. |
(23) |
|||
Перемножая (22), (23) и извлекая квадратный корень, находим |
|
||||
|
2 я т э Л в = |
( т + 0,5)/ѵ2. |
(24) |
||
Наименьшее значение т э при заданной П э получается Для т = |
0, ког |
||||
да т эЯ 8 = /с2/4зт. При этом в соответствии с (16)—(19) и (23) |
|
||||
q(f) = \g(n\2 = z - Kta- f°)1/4<
Отсюда следует, что оптимальной формой амплитудно-частотного спектра сигнала согласно критерию данного примера (минимума эф фективной длительности т э выходного колебания при заданной эффективной полосе П э) является колокольная
|g(f)| = e -* ! <f-fo)V8n!.
Основываясь на результатах анализа, приведем соображения по выбору амплитудно-частотного спектра.
1.Если задана абсолютная полоса частот П = Д — Д сигнала, то наибольшее ослабление пассивной помехи за счет разрешения по даль ности обеспечивается при согласованной фильтрации в случае прямо угольной формы амплитудно-частотного спектра. Поскольку укорочен ный импульс имеет медленно убывающие боковые лепестки, его эффек тивная длительность обращается в бесконечность.
2.Наименьшая эффективная длительность тэ сигнала на выходе со гласованного фильтра при заданной абсолютной полосе частот П =
= / 2 — Д будет при амплитудно-частотном спектре вида
g ( f ) = V sin [я ( f i — f i W I I .
113
В связи со округленней амплитудно-частотного спектра уровень боко вых лепестков снижается по сравнению с предыдущим случаем с 21 до 7%. Проигрыш же по отношению к пассивной помехе невелик. Отноше ние мощности сигнала на выходе согласованного фильтра к мощности этой помехи уменьшается на
3. Если задана эффективная полоса частот сигнала на входе согла сованного фильтра П а, эффективная длительность выходного радио импульса т э минимальна при колокольной форме амплитудно-частот ных спектров на входе и выходе фильтра. Боковые выбросы выходно го сигнала при этом отсутствуют.
Наряду с амплитудной структурой выходного радиоимпульса пред ставляет интерес ф а з о в а я . Если комплексная амплитуда W (t) ра диоимпульса является вещественной функцией времени, последний не модулирован по фазе. Это желательно, например, при сочетании уко рочения с когерентной техникой. Амплитудно-частотный спектр вы ходного радиоимпульса
q{f) = 5 [ W W d W ^ j e - i ^ V d t
—со
симметричен при этом относительно несущей: q(fo + F) = q ( f o - А).
§1.6.2. СКРУГЛЕНИЕ СПЕКТРА И УРОВЕНЬ БОКОВЫХ ЛЕПЕСТКОВ
В§ 1.6.1 были отмечены известные преимущества сигналов с сим метричным «скругленным» амплитудно-частотным спектром. Однако специально не прослеживалось влияние скругления на форму огибаю щей выходного сигнала и уровень боковых лепестков. Для изучения этого влияния введем аппроксимацию спектра, которая при частных значениях параметров сводится к наиболее характерным: прямоуголь ной, колокольной и вида sin х/х.
Пусть спектральная плотность q (/) описывается выражением
|
?(/): |
sin aF |
0 (ß F + y) — <D(ß.F—у) |
( 1) |
|
a F |
2Ф(у) |
||
|
|
|
||
где F = f =p |
a Ф (x) — интеграл вероятности |
|
||
|
|
Ф(х) = - 4 = [ е - “2/2<іи. |
(2) |
|
|
|
|
1Т//2л; о |
|
Если ß = 0 , |
тоСпектральная плотность (1) будет |
|
||
|
|
q (f) — sin aF/aF. |
(3 ) |
|
114 |
§ 1. 6. 2. |
При а = 0 и у —>0 |
она описывается колокольной зависимостью |
|||
- |
q(f) = e-V'F>i2) |
(4) |
||
|
|
|
|
|
а при а = 0, y/ß = |
Я/2 и у -э-оо — прямоугольной: |
|||
|
I 1 |
для |
I/7! < |
Л /2, |
|
= \0 |
для |
IF I > |
/7/2. |
Аппроксимация (1) может быть использована как при согласованной, так и несогласованной фильтрации.
Огибающая W (7) напряжения на выходе фильтра (в отсутствие до бавочных фазочастотных множителей) сводится к обратному преобра зованию Фурье выражения (1). Полагая а = 0 и используя (2), полу чаем
W(t) = |
"|/2яФ (y) |
dF \ exp |
- /2яА ^ dx. |
(6) |
|
—у |
|
|
|
|
-----СО |
|
|
Вводя взамен F новую переменную интегрирования
и — ßK + X — /23x//ß,
показатель экспоненты в выражении (6) приведем к виду
— (и + /2:n;7/ß)2/2 + /2я (и — X + /2jt7/ß) 7/ß =
= — и212 — 2xt2/2/ß2 — ]'2 n tx /$ .
Замечая, что
^ e~“°/2 du |
-УІТзх, |
|
находим |
|
|
■W( t) = W a e ~ 2ltJ |
rsm (2яу7ф ) |
(7 ) |
|
2яy7/ß |
|
|
|
где W0 = 2у/ß<P (у).
Найденное выражение (7) описывает огибающую W (7) как произ ведение двух функций времени, симметричных относительно начала отсчета 7 = 0: колокольной и вида sin xlx. В зависимости от соотно шения параметров ß и у уровень боковых лепестков в таком произве дении изменяется. Максимум первого бокового лепестка при у = 0 соответствует моменту времени 7Х, для которого 2ixy7x/ß « Зя/2, от
куда 7Хл* 3ß/4y. Колокольный множитель уменьшает уровень |
перво |
го бокового лепестка в некоторое число раз |
|
р, = е2я* |
(8) |
откуда |
|
у«* 3ß/47x = 3 я Y lg е/2 / 2 lg р,. |
( 9 ) |
§ 1.6.2. |
115 |