Файл: Ширман, Я. Д. Разрешение и сжатие сигналов.pdf

Рис. 1.5.14. Импульсные характеристики линий задержки:

а — обычного вида (случай одинарных стационарных точек); б —в виде наложения колебаний существенно отличающихся частот (случай парных станционарных точек).

В ряде случаев спадание импульсной характеристики ѵ (/) на высоких частотах (рис. 1.5.14, а) связано не только с ходом амплитудно-частот­ ной характеристики | К (а>Ст ) | в числителе (8), но и с влиянием функ­ ции Ѳ" (coCT) в знаменателе (8).'

При наличии нескольких стационарных точек

ѵ(і) = УІ ѵі (t), i

где Vi (t) определяется по формуле (8) для і-го значения стационарной частоты со,-. На осциллограмме рис. 1.5.14, б явно наблюдается интер­ ференция колебаний различных частот. С уменьшением t частота одно­ го из них растет, а другого падает.

Глава 1.6

АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНОГО СПЕКТРА НА ВЫХОДНОЙ СИГНАЛ.

БОКОВЫЕ ЛЕПЕСТКИ УКОР ОЧЕН НОГО РАД ИОИМПУЛЬ СА

Выходной эффект согласованного фильтра зависит только от ампли­ тудно-частотного спектра входного сигнала |g (/) | и не зависит от его фазочастотного спектра arg g (/). Действительно, с точностью до несу­ щественного множителя Д0е— характеризующего изменение ам­ плитудного масштаба и временную задержку, коэффициент передачи фильтра определяется комплексно-сопряженным значением спектраль­ ной плотности входного напряжения g* (/). Спектральная плотность выходного напряжения с точностью до постоянного множителя выра­ жается при этом не зависящим от arg g (f) вещественным числом

g* И)Ч (Л-

Предполагается, что г) (/) влияет на амплитудно-частотную характери­ стику, а величина arg г) (/) с точностью до линейной функции частоты —2nftn + const практически равна нулю. Форма выходного колебания и в этом случае определяется выражением (2), где

<7(/) = [g(f)P h'(f)|

— вещественная функция, не зависящая от фазочастотного спектра входного сигнала.

Ширина спектра q (/) влияет на длительность выходного сигнала. Чем шире спектр, тем меньше длительность сигнала. Форма спектра существенно влияет на основной лепесток выходного отклика и уровень боковых лепестков (остатков). Согласно расчету § 1.2.4 для прямоуголь­ ной формы спектров |g (f) | и q (f) остатки соответствуют временной за­ висимости вида sin х/х\ максимальный уровень бокового лепестка со­ ставляет 2/Зя л* 0,21. Для колокольной формы спектра боковые лепестки выходного импульса во временной области отсутствуют (см. § 1.4.1). Сточки зрения разрешения двух близко расположен­ ных целей и, в частности, наблюдения слабой цели на фоне более интен­ сивной, боковые лепестки нежелательны. Поэтому критерий снижения

107

уровня боковых лепестков является важнейшим при выборе | g (f) |

иЛ (/).

Внекоторых случаях могут представлять интерес и другие крите­

рии:

1)минимума мощности пассивной помехи при заданной абсолютной полосе частот;

2)минимума эффективной длительности выходного радиоимпульса при заданной абсолютной полосе частот;

3) минимума той лее эффективной длительности, но при заданной эффективной полосе частот.

Оптимизацию по критериям проведем в § 1.6.1 на основе вариа­ ционного анализа (как в [1, 5]), обсуждение ее результатов составляет одну из задач данной главы * \

Ограничивая общность рассмотрения, можно ввести далее опреде­ ленные аппроксимации амплитудно-частотных спектров. При этом вы­ бор функций |g (/) I или q (/) заменяется подбором параметров аппрок­ симации. Ниже будут прослежены переходы между тремя наиболее распространенными аппроксимациями— прямоугольной, колокольной и вида sin х/х (см. § 1.6.2), а также влияние изрезанное™ ампли­ тудно-частотного спектра (см. § 1.6.3). Поскольку форма амплитудночастотного спектра сигнала определяется законом модуляции, на при­ мере частотной модуляции выявляются общие связи эффекта укороче­ ния и закона модуляции сигнала (см. § 1.6.4).

§ 1.6.1. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ АМПЛИТУДНОЧАСТОТНЫХ СПЕКТРОВ. УСЛОВИЕ ОТСУТСТВИЯ ФАЗОВОЙ МОДУЛЯЦИИ УКОРОЧЕННОГО РАДИОИМПУЛЬСА

Пусть задан некоторый функционал

при наличии дополнительных условий

где у (/) — неизвестная функция с заданными граничными значениями У (fi) я У (/2). а Q-i — постоянные. Относительный экстремум функцио­ нала (1) обеспечивается, если вспомогательная функция

5 (А у, у') = р (А у, 0 ')-2 К Qi (А у . у ')

і

*’>Другие методы оптимизации, как например, метод линейного програм­ мирования, ниже не используются.

(hi — неопределенные множители Лангранжа) удовлетворяет диффе­ ренциальному уравнению Эйлера

а заданные граничные условия соблюдаются. Здесь Sy и Sy' — частные производные:

S y =dSldy, а S y = dSidy'.

Пользуясь условиями (1)—(3), рассмотрим три случая оптимизации спектральных распределений в соответствии со сформулированными критериями. Второй и третий случаи в несколько видоизмененной фор­ ме соответствуют работе Габора [5].

Случай 1. При заданной полосе сигнала П — / 2 — Д (в области по­ ложительных частот) требуется найти амплитудно-частотную характе­ ристику сигнала \g(f) |, обеспечивающую м и н и м у м м о щ н о с т и п а с с и в н о й п о м е х и на выходе оптимального фильтра при за­ данной энергии сигнала. Движение отражателей и ограниченная про­ тяженность облака не учитываются.

Соответственно выражениям для мощности пассивной помехи на вы­ ходе оптимального фильтра

У = 2 c \ \ g i f ) \ * d f

и

и энергии импульса

3 = 2 ]\g(n\*df,

где С — постоянная, а множитель 2 учитывает область интегрирования

/ < 0, полагаем в (1)—(3):

Путем прямой проверки молено убедиться, что распределение (4) соот­ ветствует относительному минимуму функционала С/. Условия на гра­ ницах удовлетворяются только, когда они заданы одинаковыми.

В данном случае оптимальным оказывается прямоугольное спек­ тральное распределение \ gif)\ зондирующего сигнала (см. рис. 1.2.5, а). Оно соответствует наиболее полному использованию его полосы частот П для разрешения по дальности в присутствии распределенных отражателей. Спектральное распределение q (f) выходного сигнала так­ же прямоугольное. Огибающая выходного радиоимпульса W it) опре­ деляется выражением sin [лП it — і0)]/л,П (t — ^0) и соответствует

рис. 1.2.5, б. Ширина радиоимпульса по первым нулям огибающей

Квадрат эффективной длительности определяется аналогично мо­ менту инерции массы, распределенной вдоль прямой,

Здесь I W (/) I — модуль выходного напряжения оптимального фильтра; к2 — коэффициент; і±— координата «центра тяжести» огибающей вы­ ходного импульса, определяемая из условия

При условии оптимальной фильтрации и отсчета времени от центра тяжести выходного импульса | q if) | = q (f), I q' if) |2 = W (/)K Поэтому, используя теорему Парсеваля, получаем

$ |W (0 |2Ä = 2 jj q\{f)df,