Файл: Ширман, Я. Д. Разрешение и сжатие сигналов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 125

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Здесь у (F) — спектральная плотность модуляционного множителя помехи, полагаемого стационарным во времени.

П е р в а я м о д е л ь (За) соответствует сосредоточенному рас­ пределению помехи по дальности н угловой координате, когда отра­ жатели расположены в общем с целью разрешаемом объеме. Такую модель будем называть моделью сосредоточенной помехи. Оказывается, что упрощающие предположения, используемые отдельными авторами,

сводят задачу

именно к этой модели.

В т о р а я

м о д е л ь

(36) соответствует сосредоточенному рас­

пределению по дальности,

но неограниченному по угловой координате.

Протяженность помехи по этой координате много больше элемента углового разрешения.

Т р е т ь я м

о д е л ь (Зв)

соответствует сосредоточенному распре­

делению помехи

по угловой

координате и рассредоточенному по

дальности. Протяженность облака может изменяться за счет выбора

параметра а.

Случай а = О или е- “*2 = 1 соответствует безгранич­

ному облаку.

Этот случай назовем н у л е в ы м а с и м п т о т и ч е -

с к и м п р и б л и ж е и и е м. Полагая величину а отличной от нуля, но достаточно малой, так что (аналогично § 1.2.3).

 

 

е - “»3^ 1— ай3,

(4)

приходим

к

п е р в о м у а с и м п т о т и ч е с к о м у

п р и б л и ­

ж е н и ю .

 

Оно применимо, если подынтегральное выражение (2) об­

ращается в нуль при больших Ф, когда соотношение (4) перестает со­ блюдаться. Пользуясь первым приближением, можно установить пре­ делы применимости нулевого приближения. Далее убедимся, что ну­ левое приближение оправдано (как и первое), если полная длитель­ ность зондирующего колебания меньше протяженности облака в еди­ ницах временного запаздывания.

Чаще, однако, встречается случай, когда протяженность облака в единицах временного запаздывания велика по сравнению с длитель­ ностью зондирующего радиоимпульса, но мала по сравнению с дли­ тельностью пачки радиоимпульсов (либо части этой пачки в виде 2, 3 и т. д. импульсов, используемых для компенсации помехи). Тогда от

третьей модели

естественно перейти к ч е т в е р т о й (За), которая

соответствует

большим, но конечным протяженностям облака и по

дальности и по угловой координате'. Имеется в виду протяженность по дальности в единицах времени запаздывания , которая заметно пре-, вышает длительности радиоимпульсов, ио много меньше полупериода следования Т/2. Четвертая модель характеризуется поэтому непере­ крывающимися отражениями радиоимпульсов пачки. Это обычно и имеет место. (Для третьей модели отражения многократно перекры­ ваются, что может наблюдаться при квазинепрерывном излучении). Протяженность облака по угловой координате в единицах времени по­ ворота оси антенны полагается много большей длительности пачки импульсов. В отличие от третьей модели это обеспечивает неодинако­ вое число отражений от цели и облака.

304

§ 2.3.5

С учетом сказанного в дополнение (4) имеем для четвертой модели

e-ߣ’ Ä l—ßts.

(5)

Соотношением (4) пользуемся только при |'&| < 772, при |Ф| ^

772

полагаем

 

e -aö=Ä о.

Являясь простейшими и учитывая нестационарность облака, при­ веденные модели, конечно, не исчерпывают всех особенностей реаль­ ных ситуаций. Так, иногда имеют место детерминированные зависи­ мости у (F) от угловых координат и дальности за счет движения бор­ тового радиолокатора относительно подстилающей поверхности, вы­ сотных и угловых перепадов скоростей ветра, переносящего отража­ тели облака и т. д. На этом остановимся очень кратко в § 2.3.8.

Считаем, что модулирующая функция для всех четырех моделей

U ( t ) = Z U 0( t - t v)

(6)

V

 

состоит из отдельных периодически следующих неперекрывающихся импульсов U0 (t— tv), tv — моменты их прихода (ѵ = 0 , ± 1 , ± 2 , ...). Центр тяжести (или начало) импульса U0 (t) условимся относить к мо­ менту t = 0. Для коротких импульсов

А (t) U0 (t - t v ) « A (tv) UQ( t - t v ) = A v U0 (t - tv),

число импульсов в пачке считаем при этом ограниченным.

Задачей анализа является исследование решений уравнения (1)

при моделях облака (За), (36), (Зв), (Зг)

и импульсном зондирова­

нии (6).

 

§ 2.3.6. РАСЧЕТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ

МОДЕЛЕЙ ОБЛАКА

Необходимые расчетные соотношения

получим как решения [(1),

§ 2.3.5]. 'Чтобы упростить вычисления,

предварительно

введем н о р ­

м и р о в а н н ы е

о д н о м е р н ы е

а в т о к о р р е л я ц и о н ­

ны е функции:

1)случайных флюктуаций отражений от облака для вспомогатель­ ного случая, когда оно облучается гармоническим колебанием на не­ сущей,

оо

р Д т )= \ у.(Р)е-’2лП dF-,

(1)

—оо

2)неслучайной огибающей U0 (t) одиночного радиоимпульса

 

оо

 

Ро(т) = С0

$ U0( t ) U t ( t - x ) d t ,

(2)

 

—со

 

■гдеС0 = 1/230 — нормирующий множитель; Э0 —энергия импульса;

§ 2 .3 .6

305

3) неслучайной огибающей А (() пачки радиоимпульсов

со

Рл|(т) = $ A ( t ) A * ( t~ T ) d t

(3)

— со

 

(нормирующий множитель здесь опущен; имеется в виду выбор масш­ таба А (/), при котором рл (0) = 1);

4) неслучайной огибающей

XJa (/) —А (() U0(t — tv)

совокуп-

 

V

 

ности радиоимпульсов, образующих пачку,

 

 

со

 

Р£м(т) = С£М

S UA(t)U*A(t— z)dt,

(4)

 

— со

 

где СиА = 1/2Эил\ Зил — энергия пачки радиоимпульсов.

 

Решению уравнения [(1), § 2.3.5] должно предшествовать в ы ч и с-

л е н и е автокорреляционных функций отражений от облака ср (/, s) для различных его моделей по формуле [(2), § 2.3.5].

Подставляя в эту

формулу

выражение [(За), § 2.3.5)], соответст­

вующее п е р в о й м о д е л н ,

и используя (1) и [(6), (7), § 2.3.5], по­

лучаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф(/, s) =

- ^

2

А%, А* pF(t — s) U0(t — tv) U*0(s~t,).

(5)

 

 

N0

V. I

 

 

 

 

 

 

При коротких радиоимпульсах

в области отличных от нуля их комп­

лексных амплитуд значения медленно меняющейся

нормированной

автокорреляционной

 

функции

р/.- (/ — s) сводятся

к

коэффициентам

межпериодной корреляции

помехи pF (/ѵ — /;) =

Pfvi

в отсутствие

последовательного обзора по угловой координате.

 

 

 

 

Для

в т о р о й

м о д е л и ,

используя (1), (3)

и [(2),

(36),

(6), (7)

§ 2.3.5],

находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф(/, s ) = - ^ 2

;

pF( t ~ s ) p A { t~ s ) U0{t— tv)Ub{s — ii).

(6)

 

« o v ,

 

 

 

 

 

 

 

Вошедшее в выражение (6) произведение pF (/ — s) рд (t — s) при ко­ ротких радиоимпульсах заменяется коэффициентом межпериодной корреляции с учетом последовательного углового обзора:

 

РрАѵі = Р р ^ ѵ

Р л ^ ѵ U)-

 

Для т р е т ь е й

м о д е л и , используя (4) и [(2),

(Зв), (6), § 2.3.5],

а также асимптотическое соотношение [(4), § 2.3.5], получаем

Ф

(t, s)

= ф (/ — s) +

афа it, s).

(7)

Здесь ф (і — s) — функция

разностного

 

аргумента,

характерная для

бесконечно протяженного облака,

 

 

 

 

^ (t) =

^0 ЭиА Рк (т) Рсіа (т);

(8)

 

 

306

§ 2.3.6.

•фа (t, s) — функция, учитывающая поправку на конечную его протя­ женность,

00

% (t, s) = ~ - ^ p F( i~ s )

Л'о

\ UA( t - ü ) U Z { s - e ) W d Q ,

(9)

^

 

—со

а— величина, обратно пропорциональная квадрату протяженности облака.

Для ч е т в е р т о й м о д е л и , используя [(2), (Зг), (6), §

2.3.5]

и учитывая малую длительность импульсов, находим

 

cp(t, s) = -jrPF(t— s ) ^

^

е - ( а Ф 3 + Р£3) х

 

V ,

I _

с

 

х А у — 1— й ) А * ( 8 - £ — Ъ)и0у — Ъ— Ъ ) т ( 8 — ^ — Ъ){1М£.

(10)

Напомним, что интервалы между импульсами существенно превы­ шают их длительность. Для заданной пары значений t, s найдется по­

этому не более одной пары чисел ѵ, /, такой,

что разности 11 — tv \

и | s — ^l' будут заметно менее полупериода

следования импульсов.

В выражении (10) сохраняется всего одно слагаемое суммы по ѵ, /, име­ ющее вид двойного интеграла. Вычисляя значение последнего, восполь­

зуемся асимптотическими приближениями [(4), (5), §

2.3.5]. После

замены переменных интегрирования получим

 

 

 

 

c p (t,

s) = ~ ^

3 oPF (t — ^ P a V — s ) P o (^ —

?v — s

+

* i ) +

 

 

 

-f-aria (t, s) + ßt]ß(*, s).

 

 

 

 

Заменив

tv — tt =

(v — l)T0 = mT0, (m =

0, ± 1 ,

± 2 , ...),

вве­

дем искусственно знак суммы, поясняющий переход

к функции

раз­

ностного аргумента,

 

 

 

 

 

 

Po(t — tv — s + tl) = '2l p0{t— s — mT0).

 

 

(Юа)

 

 

«

 

 

 

 

Введение знака суммы ничего не меняет: при небольшой длительности импульса и фиксированных t, s в этой сумме отлично от нуля не бо­ лее чем одно слагаемое суммы. Окончательно имеем для четвертой мо­ дели

ср(£,

s) =

т)(i

s ) ат)а (t, s)-fßtiß(f, s),

(11)

где

 

 

 

 

 

Л М = - ^ £- 5 0р/г(т)рл (т) S po(t—т Г 0),

(12)

 

 

Л'о

tn

 

Ч а ( * . S ) = = — ^ - p F {t — S) pA (t — S ) X

 

 

 

y* /2

 

/Vo

 

xS,

 

 

 

 

 

°(

u 0 {t — tv — #) ü? ( s —

(13)

V , *

 

J

 

 

 

 

-Го/2

 

 

 

§ 2.3.6.

307

 

Щ{і, s)

2Dp Э0рF (t— S) 'Epo(t— s — mT0) x

 

 

 

 

W„

 

 

 

 

rn

 

 

 

 

 

 

X 5 Л ( / - £ ) Л * ( 5 - С К 3 <*£.

 

 

( 1 4 )

Запаздывание ■&огибающей A(t)

в (14) не учитывается.

 

 

 

В соответствии с (5), (6), (7), (11) ядро <p (t, s) уравнения [(1), § 2.3.5]:

в ы р о ж д е н н о е

для

моделей

1,

 

2; р а з н о с т н о е в

н у л е ­

в о м

п р и б л и ж е и и и для моделей 3,

4.

 

 

 

 

В

случае в ы р о ж д е н н о г о

 

 

ядра

(5)

или (6)

решение

[(1),

§ 2.3.5] найдем как линейную комбинацию

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

(15)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с неопределенными

коэффициентами

Н т.

Подставляя

(15)

в

[(1),

§ 2.3.5], умножая на

U0 ( t — /д)

и интегрируя в бесконечных преде­

лах,

находим для

Н т

систему

уравнений,

аналогичную

[(31),

§ 2.2. 11],

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ШDnw Нт =

 

(і1==1>

2, ...),

 

 

(16)

где для моделей (1) и (2)

соответственно

 

 

 

 

 

 

 

 

б/пц+ —г- Э0 Ат р _

,

 

 

 

 

 

 

 

Wo

 

 

Fmß'

 

 

 

 

Пяі(Х —'

 

 

 

 

 

 

 

(17)

 

-’ mß Т

2£>о

Эо Pp

 

 

 

 

 

 

 

W„

 

F A m ß '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь öjnn — символ Кронекера (1 при m =

ц и 0 при m Ф р).

 

Решение интегрального уравнения

[(1),

§ 2.3.5] для

р а з н о с т ­

н о г о

ядра с малыми неразностными поправками найдем в виде сум­

мы членов нулевого и первого порядков; для модели 4, например,

 

 

R(t) = R0(t) + aRa(t) + $Rß(t).

 

 

(18)

Подставляя (11) и (18) в [(1), § 2.3.5] и пренебрегая асимптотиче­ ски малыми второго порядка, приравняем порознь в обеих частях ра­ венства три группы величин: нулевого порядка, пропорциональные а или ß. Тогда придем к системе трех независимых интегральных урав­

нений для /? 0 (/), Ra {О И 7?ß (ty.

R 0{t)+

J

R 0{s)r\{t — s)ds = UA(t),

 

 

— * 03

 

 

 

oo

 

 

R a { t) +

5

Ra(s)l\(t— s)ds=Ua(t),

(19)

 

—00

 

 

 

oo

 

 

# ß ( 0 +

$ Rß(s)r](t—s)ds-=[/ß(t).

 

 

—00

 

 

308

§ 2.3.6.

Смотрите также файлы