§ 3.1.3. КВАЗИПОЛНОЕ РАЗРЕШЕНИЕ — ИЗМЕРЕНИЕ
Пусть подлежащие различению сигналы отличаются значениями только одного параметра. Фиксируя интервал возможного изменения параметра, положим, что т1различаемых его значений равномерно за полняют этот интервал. Обращаясь к случаю, когда число т1 неограни ченно увеличивается, перейдем от различения дискретных значений па раметра к оцениванию параметра как непрерывно распределенной ве личины [3]. Матричное описание качества различения переходит при этом в функциональное. Матрица стоимости заменяется функцией стои
мости а (я, X), где я = X— оценка X. Выражение среднего риска в виде двойной суммы [(3), § 1.1.1] преобразуется в двойной интеграл
Q= Ц |
а{Х, X) р ( Х ) р ( І \ Х ) dXdX. |
(1) |
(£, х) |
|
|
Здесь р (X) — доопытная, |
а р (X | X) — послеопытная |
плотность ве |
роятности. Произведения р (X)dX и р (Л. | Я) dA, в (1) заменяют Р3 и
в [(3), § 1.1.1]. Формула (1) справедлива как при наличии, так и в от сутствие мешающих сигналов.
Рассмотрение ограничим наиболее важным случаем, когда оценка X вырабатывается по неслучайному алгоритму X = X (и) в зависимо сти от принимаемого колебания и — и (t). При этом *>
р(X) р (Х\Х) dX dX = р (X) p(ujX) dudX — р(и)р(Х \ u) dudX.
Сучетом многообразия приходящих колебаний и возможных значений параметра выражение для среднего риска принимает вид
Q = \ Q { X \ u ) p ( u ) d u , |
(2) |
(I*) |
|
где Q (Я,|и) —' средний риск для фиксированной реализации приходя щих колебаний (условный средний риск), соответствующий рассматри
ваемому алгоритму X — X (и):
Q(X[u)=n ^ а{Х, X) p(\|u)c?A, + Qo(u). |
(3) |
(X)
Для общности в (3) введена зависящая от случайной реализации и ве личина Qo (и), математическое ожидание которой равно нулю [61]
$ Qo (u) Р (и) du = 0 |
(4) |
(и)
и которая не влияет на величину (2). Пока не возникнет необходимо сти, далее будем полагать Q0 (и) = 0.
*> Смысл du при и = и (t) был пояснен в § 1.1.2.
По аналогии с матрицами потерь различении введем некоторые Ха рактерные ф у и к ц и н п о т е р ь и з м е р е и п я :
а) п р о с т у ю
а(Я , |
Я) = —б(Я —Я); |
(5) |
б) к в а д р а т и ч и у ю |
|
|
а(Я, |
Я) = (Я — Я)2; |
(6) |
в) и н т е г р а л ь и у ю |
|
|
а(Я , Я) = |
$ [u(t, Я) — «(/, К)]2 dt. |
(7) |
|
U) |
|
Эти функции описывают различные варианты зависимости потерь измерения от оценки параметра Я и его истинного значения Я. Согласно
(5), (б) потерн зависят от абсолютной величины разности |Я — Я| оцен ки и параметра. Согласно же (7) потери зависят от разности сигналь ных функций, взятых для оценочного и истинного значений параметра.
Выражение условного среднего риска (3) для п р о с т о й |
функ |
ции потерь (5) получим в виде |
|
|
|
|
|
|
< 2 (я | и )= — р(я|и). |
' |
(8) |
Выражение условного среднего риска (3) для к в а д р а т и ч н о й |
функции потерь (6) будет |
|
|
|
|
|
|
|
Q (я|и) = |
[Я— |
$ Яр (Я |u) dX]2 + |
|
|
|
|
|
(Я) |
|
|
|
|
|
+ § Я2 р (Я I и) £/Я — f ^ Яр (Я] и) dX 2. |
|
(9) |
|
|
(Я) |
|
ЧЯ)' |
|
|
|
Выражение условного среднего риска (3) для и н т е г р а л ь н о й |
функции |
потерь преобразуем, используя |
алгебраическое тождество |
|
|
|
|
(а + Ь)2-= а- — 62 + |
2(а + b)b. |
|
|
Вводя разности сигнальных и принимаемых колебаний а = и (ЯЯ) |
— и (і), b — |
= и (і) — и (Я |
Я) |
и замечая, что |
J р (Я|и )с1Я = |
1, получаем |
|
|
|
|
|
(Я) |
|
|
|
|
<2(Я|и) = |
J |
[и (Л Я ) - u ( t ) ] 2dt — |
[u(t) - u(t,X)r - p(b\u)dtdX- y |
|
(О |
|
|
(ЧЯ) |
|
|
|
+ 2 J j |
[u(t, X) — u (t, Я)] [u (t) — u(t, |
Я)] p (Я I u)dtdX-\-Q0(u). |
(10) |
(f, Я) |
|
|
|
|
|
|
|
В отличие от простой или квадратичной интегральная функция потерь целе сообразно используется только при аддитивных помехах п = п (і) с математи
ческим ожиданием нуль, когда и (і) = и (Я Я) + п (t) и Г пр (n)dn = 0. Значение
(л)
Qо (и) целесообразно выбрать при этом равным по абсолютной величине и про-
Тивоположным по знаку третьему слагаемому в правой части равенства (ІО). Ма тематическое ожидание Q0 (и) при этом действительно равно нулю, поскольку
[и (t) — u (t Д)] р (и) р(Я | и) du dX—np (я) р(к) du dX.
Окончательно получим |
|
|
Q{X |u ) = ([«(М % ) - u ( t ) ? d t — j al(t)dt, |
(11) |
(О |
(О |
|
где а® (t) — дисперсия помехи |
п (t). |
|
§ 3.1.4. ОПТИМАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ФУНКЦИЙ ПОТЕРЬ ИЗМЕРЕНИЯ. ДИСПЕРСИИ ОШИБОК ПРИ ОЦЕНКАХ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
Оптимальные оценки Я = Я (и) обеспечивают минимум Q (Я | и) при различных функциях потерь измерения.
В случае п р о с т о й функции потерь оптимальная оценка — это абсцисса абсолютного максимума послеопытной плотности вероятно сти р (Я|и). Если последняя описывается гладкой функцией и имеет единственный максимум внутри интервала возможных значений Я, ус ловие абсолютного максимума заменим условием относительного:
~zr р (Я I и) = 0 |
при Я = |
Я (u) |
(1) |
дь |
|
|
|
ИЛИ |
|
|
|
1пр(Я| и) = 0 |
при Я = |
Я(и). |
(2) |
В случае к в а д р а т и ч н о й функции потерь оптимальная оцен ка определяется как «центр тяжести» площади под кривой послеопыт ной плотности вероятности
Я = § Яр (Я I и) dX. |
(3) |
(Ы |
|
В случае и н т е г р а л ь н о й функции потерь и аддитивной по мехи оптимальная оценка соответствует абсолютному минимуму инте грала от среднего квадрата ошибки приближения принимаемого коле
бания и (t) функцией и (t, Я) при Я = Я (и). Заменяя вычисление абсо
лютного минимума вычислением относительного, получаем |
|
Г [u(t, Я)—u(f)]2 dt = 0 при Я = Я(и). |
(4) |
дХ J
(О
Критерий (4) не содержит функции р (Я|и) и не учитывает поэтому какой-либо доопытной информации.
Наоборот, при простой и квадратичной функциях стоимости опти мальные оценки получаются в зависимости от послеопытной плотности вероятности
Р ( Ч и) = - т т Р(х)Р(и \1)>
Р( и)
а значит, с учетом априорной (доопытной) плотности вероятности р (А).
Если |
априорная |
информация не |
имеет |
значения, можно принять |
р (к) |
= const. Условием получения |
оптимальной оценки (о ц е и к и |
м а к |
с и м у м а |
п р а в д о п о д о б и я ) |
для фиксированной реали |
зации и (/) при простой функции потерь тогда будет
(5)
При аддитивных гауссовых помехах с нулевым математическим ожи данием величина In р (и|А) пропорциональна интегралу J [и (/, к) —
— и (t)]2dt (коэффициент пропорциональности отрицателен), а ее макси мум достигается при минимальном значении интеграла. Таким обра зом, условия получения оптимальных оценок при простой и интеграль ной функциях стоимости совпадают.
В обоих случаях встречаются затруднения, если уровень помех пре вышает некоторый пороговый. Функция р(к | и) становится многопико
вой, а оптимальную оценку к (и) нельзя получить как абсциссу какогото одного относительного экстремума. Определение оценки облегчает ся при использовании квадратичной функции стоимости, однако и в этом случае дисперсия оценки резко нарастает по мере увеличения интенсивности помехи.
Когда уровень помех невелик, функция р (к | и) обычно имеет резко выраженный пик. По форме он симметричен, его центр тяжести и мак симум совпадают. Совпадают поэтому оптимальные оценки при ква дратичной, простой (а значит, и интегральной) функциях стоимости, т. е. для рассматриваемых условий оптимальные решения не критичны
квыбору функций стоимости.
Вслучае гауссовых аддитивных помех интегральная функция стои мости, игнорирующая априорную статистику, заметных преимуществ перед простой и квадратичной не имеет. В случае негауссовых аддитив ных помех с математическим ожиданием нуль эта функция имеет опре деленные преимущества, сводя задачу к минимизации интеграла (4), такого же, как и в гауссовом случае. Каких-либо предположений о по мехе, помимо ее аддитивности и нулевого математического ожидания при интегральной функции стоимости не требуется.
Остановимся подробнее на оценках максимального правдоподобия (5), не требующих априорных данных. Используя (5) применительно
кзадачам разрешения, прежде всего заметим, что входящая в нее плот ность вероятности р (и | к) вычисляется при условии наличия шума С, мешающих сигналов В и полезного сигнала А с параметром к, т. е.
Р(ч |^ ) = Рлвс(и ІХ)-
Всоответствии с [(6), § 1.1.2] имеем
Ра вс (ч I к) — Рдс (u) I (и I А), |
(6) |
где / (u I А) — отношение правдоподобия для сигнала с известным пара метром А; рве (и) — плотность вероятности реализации и при наличии
