Файл: Ширман, Я. Д. Разрешение и сжатие сигналов.pdf

только мешающих колебаний. Основываясь на (6), условие оптимума оценки (5) приводим к виду:

различных вариантов обнаружения для отыскания алгоритмов опти­ мального измерения.

Эти же результаты облегчают отыскание послеопытиой дисперсии измеряемого параметра. Повторно учитывая пропорциональную за­ висимость послеопытиой плотности вероятности параметра от отноше­ ния правдоподобия, после логарифмирования получаем

Разложим правую часть равенства (8) в ряд по степеням (Я— Я). Пола­ гая ошибки малыми, ограничиваясь в силу этого первыми тремя члена­ ми ряда и используя (7), находим для скалярного Я:

Возможные отступления от нормального закона (10) и смещения оцен­ ки максимального правдоподобия, соответствующие несколько более интенсивным помехам, здесь и далее не учитываются.

До сих пор речь шла об измерении одного скалярного параметра. Положение существенно не меняется, если измеряется н е с к о л ь к о с к а л я р н ы х п а р а м е т р о в и 1, является ^.-мерной вектор­ ной величиной. Так, оценки максимума послеопытиой плотности ве­ роятности и максимума правдоподобия определяются как координаты точек экстремума (1), (5) функций нескольких переменных. При ква­ дратичной функции потерь оптимальная векторная оценка полу­ чается как интеграл от Яр (Я | и) по всем скалярным параметрам. Ска­ лярные оценки при интегральной функции потерь находятся из систе­ мы уравнений вида (4), дифференцирование в каждом из которых ве­ дется по своему скалярному параметру.

можно рассматривать как удвоенный коэффициент при квадратичных членах разложения в ряд выражения (8). В нормальном (гауссовом) приближении

м-

р ( К ..., I и) == ехр V са (К —h ) (^j hj) (13)

і. І—1

Корреляционный момент ошибок измерения скалярных параметров (с номерами i, j) определяется соотношением

н ы м и э л е м е н т а м и м а т р и ц ы е, о б р а т н о й м а т р и-

Важнейшей составной частью разрешения для ряда приложений является оценка числа I приходящих от целей сигналов (0 <С / < т) при некотором максимально возможном их числе т. Сочетания / про­

извольно выбранных из т сигналов могут быть осуществлены Сгт спо­ собами. Таким образом, общее число 2п возможных комбинаций отсут­ ствия и наличия сигналов, соответствующее полному разрешению, раз­ бивается по группам событий / = 0, 1, ..., т (ни одной, одна, ..., т целей на контролируемом участке дальности)

т

Равенство (1) согласуется с известным разложением бинома Ньютона

(1 + 1)т .

В связи с изложенным примем следующую нумерацию возможных событий (/ = 0, 1, ..., 2'"—1). Событию отсутствия сигналов /= 0 при­ своим номер j — 0 и отнесем его к нулевой группе. Событиям наличия

одного сигнала (/ = 1) дадим номера } = 1, ..., С1т + 1, относя их к первой группе событий, и т. д. Совокупность всех 2т возможных со­ бытий разбивается постепенно на (т + 1) групп этих событий с номе­ рами I = 0, ..., т при неодинаковом числе событий в каждой группе.

§3.1.6. РАЗРЕШЕНИЕ — ОБНАРУЖЕНИЕ— ИЗМЕРЕНИЕ

ИЕГО АЛГОРИТМЫ ПРИ ПРОСТОЙ ФУНКЦИИ СТОИМОСТИ

Полагая, что интервал возможного изменения параметра сигнала равномерно заполнен т значениями этого параметра и, переходя к к /ті—>-оо, приходим к важному случаю полного разрешения, включаю­ щему н а р я д у с о б н а р у ж е н и е м и о ц е н к о й ч и с л а I разрешаемых сигналов о ц е н к у непрерывно распределенных зна­ чений их п а р а м е т р о в. Такой подход был четко сформулирован

вобщем виде И. А. Большаковым [115] и Нильссоном [61]. Выражение для среднего риска Q запишем в виде

Здесь I — число разрешаемых сигналов; k = I •— оценка этого числа;

Считая, что решения k — І (и) и Хк = Хк (u) принимаются в неслу­ чайной зависимости от принимаемых колебаний и = u(t), перейдем, как и в § 3.1.2, к условному среднему риску

Здесь p (A,,, / [ u) — совместная послеопытная плотность вероятности вектора непрерывного параметра А,, и числа сигналов /, нормирован­ ная так, что

2 $р(Аь l\u)dXt = L

Выражение условного среднего риска (2) существенно упрощается

Q(k, Xh \u) = — P(Xk,k\u).

Его минимальное значение соответствует абсолютному максимуму послеопытной плотности вероятности

Порядок оптимизации в (4) и (5), вначале по Xh а затем по /, или наоборот, произволен. Вычисления, однако, облегчаются, если, после-