Файл: Ширман, Я. Д. Разрешение и сжатие сигналов.pdf

соблюдается для I — /е и не соблюдается для I > /г + 1, то /г является искомым оптимумом. Уровни порогов Bi определяются выражениями

Ві = 2I ( Аадг ~ Асс/< ( / - 1)) р (l I “)•

Положим вначале значения Дам равными пулю, т. е. уровни порогов Ві нулевыми. Поскольку различия в априорных вероятностях Рі и значениях Д а н е учитываются, преимущества имеют решения, соответствующие боль­ шим /.

В самом деле, пусть при истинном числе колебаний і0 какое-то колебание заменяется суммой двух колебании половинной амплитуды с одинаковым зна­ чением параметра. Качество приближения к принимаемой реализации сигналов и шума при переходе к (Z0 + 1) ожидаемым колебаниям естественно не нарушится. Качество приближения можно даже улучшить, варьируя значениями парамет­

/ =о

Итак, аналогично § 3.1.6 приходим к пороговой процедуре. Уровень порога зависит в данном случае от и. Это усложняет алгоритм разрешения по сравнению со случаем простой функции стоимости (§ 3.1.6).

§ 3.1.8. РАЗРЕШЕНИЕ КАК ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА СИГНАЛОВ (ЦЕЛЕЙ)

Если определение числа сигналов (§ 3.1.5) или радиолокационных целей представляет собой единственную задачу разрешения, то стои­ мость а ыдѵ в [(2), § 3.1.5] или а ы (Kh, %t) в [(2), § 3.1.6] естественно считать величиной ам, не зависящей от качества оценки дискретных или непрерывных значений параметров. Принимая к тому же стоимо­ сти решений о различном числе сигналов неодинаковыми, имеем [116]:

Минимум условного среднего риска (2), соответствующий максимуму послеопытной плотности вероятности Р (k | и), достигается при опти­

мальном значении k = /. Заменяя Р (I | u) = P t р (и 11)1р (и), приходим к аналогичной [(8), § 3.1.6] пороговой процедуре, определяемой не­ равенством

W (и 11)1Р (и 11 — 1) > С; С = ln (P^/Pi ) + ln (ccj-x/a,). (3)

Неравенство (3) должно соблюдаться для I ^ k = I и не соблюдаться для I ^ k + 1.

Расчет иногда затрудняется следующим обстоятельством. Даже если помеха и сигналы описываются гауссовой статистикой, распреде­ ления

будучи линейной комбинацией нормальных распределений, ие яв­ ляются нормальными, например, взвешенная сумма двух нормальных распределений

соответствует при O - c P jC l распределению, отличному от нормаль­ ного.

Характерными элементами оптимальных алгоритмов разрешения являются пороговые процедуры (3), [(8), § 3.1.6], [(6), § 3.1.7]. Они сводятся, по существу, к квазиполному разрешению /-го сигнала на фоне шума и (/— 1) сигналов. В зависимости от выбора функций пли матриц стоимости на предыдущих этапах разрешения параметры сиг­ налов при этом не оцениваются или оцениваются.

§3.1.9. МОДЕЛИ АПРИОРНЫХ ДАННЫХ О ЧИСЛЕ ЦЕЛЕЙ ПРИ РАЗРЕШЕНИИ — ОБНАРУЖЕНИИ — ИЗМЕРЕНИИ

Подобная априорная статистика может быть введена по аналогии со случайными выпадениями точек на отрезок прямой заданной дли­ ны (телефонными вызовами за некоторый промежуток времени).

Пусть одинарные точки стационарно выпадают по длине прямой с заданной плотностью на единицу длины, а их выпадения на любые пересекающиеся отрезки прямой происходят независимо. Тогда ве­ роятность P t выпадения ровно I одинарных точек на отрезок опреде­ ляется законом Пуассона.

Рі =z~JPe~t!’ (!)

где а — среднее число точек, приходящихся на отрезок прямой (целей, соответствующих предполагаемой протяженности группы целей).

Приведенный пример не учитывает особенностей возможного груп­ пирования точек (целей), зарождения и исчезновения групп. Более полное описание обеспечивает развивающаяся за последнее время тео­ рия потоков случайных точек [115]. Не обращаясь к рассмотрению этой теории, ограничимся простейшим видоизменением формулы (1).

Пусть с вероятностью х точки выпадают парами, а с вероятно­ стью (1 —• и) — одиночно. Тогда выпадение точно I точек может про­ изойти при различном числе выпадений ѵ (1/2 <1 ѵ <1 /), где из этих выпадений (/ — ѵ) — парные и (2ѵ — I) — одиночные. В силу теорем Бернулли и полной вероятности значение вероятности выпадения точ­ но I точек будет

Приведенные соображения помогают установить пороги для ряда из описанных процедур. Эти пороги можно соразмерять между собой за счет выбора не только априорных вероятностей PL, но и стоимостей

« і (§ 3.1.6-3.1.7).

Непосредственное использование априорных данных и стоимостей не является, вообще говоря, обязательным. Величины порогов могут соразмеряться и без этого так, чтобы условная вероятность завышения числа I (аналогичная условной вероятности ложной тревоги) не пре­ вышала наперед заданного значения.

Глава 3.2

п р о с т е й ш и е п р и м е р ы р а з р е ш е н и я — ИЗМЕРЕНИЯ

Ниже рассматриваются два характерных примера разрешения — измерения.

В качестве первого примера рассматривается измерение временно­ го положения когерентного сигнала при известном временном поло­ жении т когерентных мешающих (в частности, при т = 1). Амплиту­ ды и начальные фазы разрешаемых сигналов считаются, как это обыч­ но и имеет место, случайными. Чтобы существенно не осложнять ана­ лиз необходимостью дополнительных измерений амплитуд и фаз, при­ няты предположения об их независимости, релеевском законе распре­ деления первых и равномерном последних. Полученные ранее приме­ нительно к разрешению — обнаружению результаты удается исполь­ зовать в ходе анализа разрешения — измерения.

Во втором примере неизвестны и подлежат измерению параметры

ся некогерентные (шумовые) сигналы, а вместо временного — угловое разрешение (при использовании М-элементной антенны).