Файл: Ширман, Я. Д. Разрешение и сжатие сигналов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 113

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 3.2.1. ИЗМЕРЕНИЕ ВРЕМЕННОГО ПОЛОЖЕНИЯ ПОЛЕЗНОГО КОГЕРЕНТНОГО СИГНАЛА ПРИ ИЗВЕСТНОМ ВРЕМЕННОМ ПОЛОЖЕНИИ МЕШАЮЩИХ

Пусть на фоне т мешающих когерентных колебаний со случайными амплитудой и начальной фазой, временное положение н закон модуля­ ции которых известны, принимается полезный когерентный сигнал Um+1 (£|А,), известный с точностью до временного запаздывания X. Априорные данные о величине к отсутствуют.

Наличие мешающих колебаний сказывается на точности измере­ ния параметра % полезного сигнала и алгоритме оптимального изме­ рения. Рассмотрим этот алгоритм и оценим потенциальную ошибку измерения. Полезный сигнал будем считать известным с точностью до параметра X.

Подставляя в [(7), § 3.1.4] выражение для отношения правдоподо­

бия [(27),

§ 1.1.3],

где z — иг„,+1, находим уравнение для

оптималь­

ной оценки X (и) в виде

 

 

 

 

 

д

^ m )

г) ^ m + l (^ ) В н + І (^ i ^m )

= 0

при

A,=Â,(ll).

(1)

дХ

 

 

 

 

 

Здесь u — многомерный вектор выборки

принимаемого

колебания;

u m+1 — многомерный вектор ожидаемого

колебания;

r m+1 — решаю­

щий вектор; Хт — значение параметра мешающего сигнала.

 

Если

параметр

X неэнергетический, т .'е .

если 5и^+і (Х)/дХ =

0,

а мешающие сигналы отсутствуют, то оценочное значение X (и) соот­ ветствует м а к с и м у м у н а п р я ж е н и я н а в ы х о д е к о р- р е л я т о р а :

d urm+i(^> A,m)/<3A.= 0 при X = l(u ), rn — 0.

(2)

Даже в отсутствие мешающих сигналов условие (2) становится не­

справедливым,

когда

параметр X — энергетический. В частности, ког­

да Я, — амплитуда колебаний

(um+1 (А,) = ^

(X) = Хи0), возвращаясь

к общему соотношению (1), получаем

 

 

 

 

А,(и) = ии0/и02.

 

(3)

Условие (2)

в отличие от (1) несправедливо также в отсутствие за­

висимости энергии полезного сигнала от параметра X, е с л п

п р и-

с у т с т в у ю т

м.е ш а ю щ и е

к о л е б а н и я. От А, в этом случае

зависит э н е р г и я

с о с т а в л я ю щ е й

п о л е з н о г о

с и г-

н а л а , о р т о г о н а л ь н о й э т и м к о л е б а н и я м.

 

Переходя от скалярного

перемножения

многомерных векторов

к интегрированию произведения

временных функций, из общего со­

отношения (1)

получаем

 

 

 

 

д_

 

---- - U ,/Л+1(t,X) Rm+\(t, К Xm)dt) = 0.

( 4 )

дХ

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

3 3 2

 

 

 

 

 

§ 3.2.1.

Пусть принимается колокольный радиоимпульс единичной дли­

тельности

с

комплексной

амплитудой

U2 (t, X) —

на фоне

мешающего

радиоимпульса

Ux (I, А,х) =

е - пб —Л*>а, здесь X = Х2 —

неизвестное,

а Ху — известное значение параметра. Коэффициент кор­

реляции

сигналов (см. табл. 1, § 2.1.12) будет е ~ л(1=_я,)г/2. Оги­

бающие двух взятых для примера радиоимпульсов показаны

на рис.

3.2.1, а. Огибающая полезного радиоимпульса представлена

для трех

ожидаемых дискретных значений параметра Х2. Истинным является среднее значение параметра Х'2.

При д о с т а т о ч н о

и н т е н с и в н о м

м е ш а ю щ е м сиг­

нале (масштаб амплитуд на рис. 3.2.1,

а — условный) выражение для

решающей функции R 2

(t) принимает вид

 

 

 

 

 

 

 

R 2 (/, Х2, Я,х) =

е

я Ц - Х . ) 2 _

е - Я

( И -

Х . Г - / 2 е -

я

О - Х . г -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5)

Соответствующие

огибающие

решающей

функции

показаны

на

рис. 3.2.1, б для

трех

ожидаемых

значений

параметра

полезного

сигнала*).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Особенностью решающей функции (5) является н у л е в о е

з н а -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СО

 

 

 

ч е н и е

к о р р е л я ц и о н н о г о

и н т е г р а л а

^ U (t) R*

(t,

Х2, Xx)dt,

к о г д а

в х о д н о й

с и г н а л

 

 

 

— со

 

с м е ­

 

с о в п а д а е т

т а ю щ и м , т. е,

(/ (/)

=

Ux (t,

Хх). На рис.

3.2.1,

в показаны зависи­

мости от времени подынтегрального выражения для трех ожидаемых значений параметра полезного сигнала. Этот рисунок поясняет, что при любом значении этого параметра площадь, заключенная между положительной ветвью графика и осью абсцисс, компенсируется пло­ щадью между отрицательной ветвью графика и той же осью.

Когда входной сигнал совпадает с полезным U (() = U2 (/, Х'„), при истинном значении параметра X' 2, такой компенсации не происхо­ дит. Это поясняется рис. 3.2.1, г, где показаны соответствующие про­ изведения U%(t, Х'2) R 2 (t, Х2, Хх) в функции t для трех значений Хо. Не происходит такой компенсации и когда входной сигнал совпадает с полезным при ожидаемых (пробных) значениях параметра Х ф Х 2, что иллюстрируется на рис. 3.2.1, д (при построении учтен множи­ тель 1/2, входящий в (4) ).

В отличие от остальных рисунков, представленных в функции вре­ мени, рис. 3.2.1, е представлен в функции ожидаемого (пробного) зна­ чения параметра X = Х2. На нем точками нанесены величины площа­ дей ср0, срх, фо— ф1; определяемых кривыми рис. 3.2.1, г, б для трех вы­ бранных значений X. На том же рис. 3.2.1, е нанесены кривые, соединя­ ющие эти точки.

Кривые фо и фо — (рх можно рассматривать как зависимости вы­ ходного напряжения корреляционного приемника обнаружения в от­ сутствие шума при различных значениях ожидаемого параметра. Они построены соответственно без учета и с учетом поправочного слагае-

*>

Кривые рис. 3.2; 1 рассчитаны С. Т. Багдасаряном.

§ 3.2.1.

333

мого, определяемого зависимостью от параметра X энергии составляю­

щей полезного сигнала, ортогональной мешающим колебаниям.

К р и-

в а я , п о с т р о е н н а я с у ч е т о м п о п р а в о ч н о г о

с л а ­

г а е м о г о , в отсутствие шума д о с т и г а е т м а к с и м у м а

Рис. 3.2.1. Пояснение обработки при измерении в присутствии мешающего сиг­ нала для случая временного разрешения колокольных радиоимпульсов.

334

§ 3.2.1.

точно п р и и с т и н н о м з н а ч е н и и п а р а м е т р а полезно­ го сигнала Я = Я'.

В присутствии шума оценка Я определяется с некоторой погреш­ ностью. Если уровень шума достаточно мал, математическое ожида­ ние этой погрешности равно нулю, а ее дисперсия (дисперсия послеопытной оценки) при наличии одного мешающего колебания с пара­ метром Ях определяется из соотношения [(11), § 3.1.4]. Используя [(27),

§ 1.1.31, после замены U (t) ä? £73 (t, X) получаем

1/а2

j а д Я) а д К Яі) dt—

 

 

со

 

 

~ ~

j а д ^ а д к к ) dt

(6)

 

— со

 

 

Полагая

а д

X) = u ( t — X),

 

 

 

/?2(t>К X ^ t t U i t — X) — р*(Я—Я,) u y — xj,

 

 

со

 

 

р * ( Я — Я 0 = J £ / ( s — Я ) * / * ^ — X i ) c ? s / 2 3 2,

 

 

 

со

 

 

э а = 5 |а д г - & /2 ,

 

 

— оо

 

выражение (6) приведем к виду

 

1/а2 « (— 2 9 J N 0)

{ р * (Я -Я )-р * ( 1 - Х , ) X

 

X p

( X - ^ ) ------- — И

— р ( Х - ■ ^і) Р'!' — ^])1

(7)

 

 

х = х

 

Используя (7), рассчитаем дисперсию временного положения коло­ кольного радиоимпульса единичной длительности (на уровне 0,46), который принимается на фоне слабого шума, и мешающего радиоим­ пульса, аналогичного полезному (рис. 2.2.2). Для таких импульсов согласно § 2.1.12

 

р ( Я ) = е - ^ г /2 .

(8)

Из (7), (8) получим

 

 

 

______________ Оо___________

(9)

СТ ~

1 _ я ( Я - Я ^ е - 11^-?.,)2 ’

 

где а 20 = N 0/2n9z — дисперсия ошибки в отсутствие мешающего сиг­

нала. График зависимости отношения а2/а20 от разности (Я — X,) пред­ ставлен на рис. 3.2.2. Если абсолютная величина этой разности много

§ 3.2.1.

335

больше длительности

импульса, принятой за единицу, то значение

а fa о0. Это означает,

что мешающий сигнал не ухудшает качества из­

мерения, когда разнос его по отношению к полезному достаточно ве­

лик. При I Я. — Ях [ =

1/]/"я

дисперсия ошибки максимальна ст2 =

= <*ое/ (е — 1) « І.бОд,

но и

в

этом случае увеличение стандартного

отклонения не превосходит 30%

от сг0.

По мере дальнейшего сближения сигналов согласно графику (рис. 3.2.2.) ошибка должна уменьшаться. Однако график справедлив, если после компенсации мешающего сигнала уровень полезного сигнала существенно превышает уровень шума, так что пороговый эффект при измерении не сказывается. По мере сближения сигналов коэффициент

Рис. 3.2.2. Потенциальная ошибка измерения в присутствии мешающего сигна­ ла (при большой интенсивности полезного) и коэффициент использования энер­ гии в зависимости от разности значений параметров сигналов.

использования энергии полезного сигнала падает и применимость при­ веденных соотношений н а р у ш а е т с я . Поэтому соответствующая ветвь кривой рис. 3.2.2 нанесена пунктиром. Чем больше превышение уровня полезного сигнала над шумом, тем дальше можно продвигать­ ся по пунктирной ветви кривой рис. 3.2.2, согласно которой при

[Я — Ях I С 1 значение а2 fa <jg.

Степень допустимого сближения (Я — Ях) определяется, таким об­ разом, зависимостью от него коэффициента использования энергии при обнаружении k fa 1 — р2 и значением р2 = 2Э2/УѴ0.

Величина (/г_1)дБ =

lOlg/e“1 — 10 lg {1

— е ~ л

характе­

ризующая необходимый

запас энергетики

в децибелах по сравнению

со случаем отсутствия мешающего сигнала, представлена в зависимо­ сти от разности значений параметра на том же рис. 3.2.2.

Представленные на рис. 3.2.1, 3.2.2 результаты для временных сиг­ налов можно распространить на пространственно-временные. Анало­ гом колоколообразного амплитудно-частотного спектра временного сигнала является колоколообразная функция распределения поля на раскрыве пространственно-временного сигнала.

336

§ 3.2.1.

Необходимым условием допустимости такой аналогии является пространственная (а не временная) когерентность пространственновременных сигналов. По временной же структуре эти сигналы могут быть когерентными или некогерентными (или, наконец, один из них может быть когерентным, а другой некогерентным, в частности, шумо­ вым).

При указанных условиях временные параметры Xlt %2, о, о0 на рис. 3.2.1, 3.2.2 можно заменить угловыми 01( Ѳ2, goj, оѳ2.

§ 3.2.2. ОДНОВРЕМЕННОЕ ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВОГО ПОЛОЖЕНИЯ НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ ИСТОЧНИКОВ НЕКОГЕРЕНТНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ Af-ЭЛЕМЕНТНОЙ АНТЕННЫ

Измерение угловых координат источников независимых колебаний происходит в общем случае в условиях создания ими взаимных помех измерению каждой угловой координаты. Поставленная задача относит­ ся поэтому к классу задач разрешения.

Шумы элементов антенны' считаем взаимно-некоррелированными

во времени, так что в [(5), § 2.2.11]

 

Ф,u,Ai,s) = N06ihö ( t - s ) .

(1)

Пусть элементы антенны (і = 1, ..., М) имеют характеристики

на­

правленности Fi (й) и одинаковые амплитудные коэффициенты а г =

1.

Пусть далее источники сигналов имеют угловые координаты йд и ин­ тенсивности ß^yVo в полосе частот Я , причем размер антенны много меньше сЯ7.

Рассматривая совокупность т мешающих и одного полезного сиг­ нала как е д и н ы й сигнал, получим

 

т- f* 1

 

sin [я П (t — s)]

Фсп ik«> 3) = ф ■ntkV, s ) - h ^ i ßllN QF i ( ^ ) F i ( K )

я (t — s)

 

Ц=І

 

 

 

 

Решение уравнения [(5), § 2.2.11] ищем в виде

 

Ly.% (т ,

m

sin ІлП — 6)1

 

Nо

я (т — 0)

 

 

 

(2)

(3)

Подставляя (1)—(3) в [(5), § 2.2.11], приходим к М системам линейных

уравнений

(k — 1, ..., М),

каждая

из

них содержит М уравнений

(і = 1, ...,

М) с М неизвестными

$ ih.

Используя [(12),

§ 2.2.11],

имеем:

 

м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

& ih~Ь

S

В in 3$Mk — В ih.

( 4 )

Здесь

 

к= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ 7 1 + 1

 

 

 

 

 

2 h F i(.h )F t(h )-

(5)

 

 

ц =

і

 

 

 

§ 3.2.2.

337

Смотрите также файлы