|
І = |
Вводя матрицы |
В = |
||0 гл||, |
X — \\Xik\\ |
и единичную |
матрицу |
|
|| Aift Ц, в соответствии с (4) |
имеем |
|
|
|
откуда |
|
(І + |
В)25 = |
В, |
|
(6) |
|
X = |
(I -|- В)"1 В = |
(В-1 + 1)-і. |
(7) |
|
|
|
|
Уравнение (4) или (6) и равенство (5) |
определяют значения X ih (Э-, ß) |
|
и |
X (fr, ß), где 0- = |
(fl-!, |
|
'ö’ni+i) и ß = (ßb |
ßm+1). |
|
|
|
Пользуясь [(6), § 2.2.11], |
находим л о г а р и ф м о т н о ш е н и я |
|
п р а в д о п о д о б и я |
при |
обнаружении |
совокупности |
сигналов |
|
|
|
|
ЛГ |
|
|
|
|
|
|
ln/(d, |
ß) = |
2 |
|
Ä n x (^ ,ß )Q x x -C (# ,ß ). |
(8) |
|
|
|
|
х , Х= 1 |
|
|
|
Здесь Qy.x — нормированные корреляционные моменты комплексных амплитуд напряжений, принятых элементами антенны с номерами к, X и прошедших предварительную полосовую фильтрацию; при Т ^ І / П
с учетом [(12),§ 2.2.11] имеем:
Т/ 2
QxX —21Ѵ0 |
Uxn{t) Uxn{t) dt, |
(9) |
— Т / 2 |
|
|
со |
|
|
(* Uv. (s) sin [TC-g .^ ~ S)] d&l |
( 10) |
J |
n (t — s) |
|
С (fl, ß) — величина, не зависящая от этих напряжений и определяе мая согласно [(7), (12), § 2.2.11] и (3),
|
|
|
|
м |
I |
|
|
|
|
|
С (#, |
ß) = ЯТ 2 |
f ^ u (#, |
|
|
(11) |
|
|
|
|
? .= I о |
|
|
|
|
|
О п т и м а л ь н ы е |
о ц е н к и |
находятся из системы 2 |
(гп + 1) |
|
уравнений c 2 ( m + |
1) скалярными или, иначе, |
с двумя векторными |
|
неизвестными fl, ß: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- ^ - І п /(fl, ß )= 0 , |
|
|
|
|
|
|
Oüi _ |
|
|
|
при fl = fl, |
ß |
= ß. |
(12) |
|
^ - l n / ( f l , ß )= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
Opi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П о с л е о п ы т н ы е д и с п е р с и и |
о ш и б о к и з м е р е |
|
н и я определяются |
согласно |
[(12)—(15), |
§ 3.1.4] |
как диагональные |
|
элементы квадратной матрицы |
2 (/п + 1) X 2(m + |
1): |
|
|
|
|
И— а Ч п / ^ М М " 1» |
|
|
(13) |
где при і > т + 1 значение й г = ßi_ („:+ I). Выражение (13) спра ведливо, когда обеспечено обнаружение сигнала с достаточно высоки ми качественными показателями.
Приведенные соотношения проиллюстрируем на примерах. Пусть
разрешаются д в а источника колебаний |
{т + 1 = 2 ) , |
либо мешаю |
щего источника вообще нет (//г + 1 = 1). |
В последнем |
случае имеет |
место измерение без разрешения. Пусть далее разрешение и измерение
осуществляются за счет ф а з о в ы х |
р а з л и ч и й |
х а р а к т е - |
р и с т и к |
направленности элементов линейной |
антенны |
|
^ х (й) = е/0[и' |
ш+1)/2] |
(х = 1 , .... |
М), |
(14) |
где 0 = ай', |
при общем числе элементов М (М = |
3). |
Здесь а — коэф |
фициент угло-фазовой зависимости. Термин угловая |
координата бу |
дем относить и к й1 и к 0. |
Отсчет |
углов ведем здесь от нормали |
краскрыву по часовой стрелке.
Врассматриваемом случае разрешения
B ih = ßi е/0‘ и ~ к) + ß2 е/Ѳг {i~ k) ■ |
(15) |
Ввиду того, что расчетные соотношения для произвольных ßx и ß2
|
|
|
|
|
|
оказываются |
громоздкими, |
остановимся на частных случаях. |
1. |
Случай |
и з м е р е н и я |
у г л о в о й к о о р д и н а т ы Ѳі = |
= 0 |
источника |
излучения |
при условии, что разрешать не требуется |
(ß2 = |
0), а |
относительное |
превышение ßi = ß средней мощности |
сигнала над шумом известно. |
|
Решение (4) |
и значение (11) |
при этом будут: |
|
ZtkV, Р) = |
п ^ г т е/Ѳ(,' - А)- |
|
|
|
|
|
|
|
|
Mß + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
dA |
|
|
|
|
С-- |
ПТМ$ |
|
j |
|
П Т ln (Mß + |
1). |
|
4M ß+ 1 |
|
|
A= о |
|
|
|
|
Тогда в соответствии с (8), (16), (17) |
|
|
|
ln / (0, ß) = |
-------?------Ai (Ѳ) — Я Г ln (A4ß + |
1), |
|
к |
Nq(iWß + |
1) W |
\ |
r |
* J’ |
где |
Т / 2 |
M |
|
|
|
|
|
Di |
|
|
|
dt. |
$ |
|
2 |
£/*n(Oe/0CK- (A' +,)/2] |
|
— sT/ 2 |
K= I |
|
|
|
|
|
Оптимальная обработка (19) предусматривает:
1)полосовую фильтрацию принимаемых элементами антенны коле баний в полосе частот сигнала П ;
2)образование весовой суммы, обеспечивающей согласованный прием колебаний от произвольного источника с угловой координа той 0;
3)квадратичное детектирование;
4)последетекторное накопление за время наблюдения Т.
Оптимальная оценка 0 — ай определяется в результате поиска зна чения угловой координаты 0, при котором производная от (18) по 0 обращается в нуль, а выходной эффект (18) оказывается максимальным.
Величина, обратная послеопытной дисперсии ошибки измерения угловой координаты д = Ѳ/а, усредненная по принимаемым реализа циям, будет
ßr
о2 No (Alß + l)
Ввиду того, что
м
V a 2(i— k f Utn Um e / a ö < * - * > . i, k=
a |
|
О Ж п Uhn*>a* (i~ k) = 0,5 I U;n\2 = |
ß/V0 /7, |
|
|
Af |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i, |
2 (i — k ) * = M 2 ( M 3 — l ) / 6 , |
|
|
то |
|
k=l |
|
|
|
|
I/а 2 = |
а2 Af3 (/VI2— 1) ß2 /7773 (/Wß + |
1). |
(20) |
|
|
В частности при M = 3 имеем |
1/<т2 ~ 24a2ß2/777 (3ß -j- 1). |
2. |
Оіучай |
и з м е р е н и я |
о т н о с и т е л ь н о й |
и н т е н с и в- |
н о с т |
и ßi = |
ß принимаемого |
сигнала при условии, |
что разрешать |
источники не требуется (ß2 — 0), а угловая координата источника по лезного сигнала 0Х= 0 известна. В этом случае применимы соотноше
ния (16)—(19). Приравнивая нулю производную от (18) по ß для ß = ß, имеем
ß = (D0 — MN ^ПТ)!M 2N йП Т , |
(21) |
где D 0 = D0 (0) — выходной эффект обработки (19) при согласовании антенны в направлении 0. В соответствии с (21) из величины D 0 вычи тается ее часть, обусловленная внутренними шумами всех М элемен тов антенны. Остаток делится на квадрат числа элементов М 2 и на ве личину эффекта, обусловленную внутренними шумами одного эле мента.
Правильный алгоритм измерения энергетического параметра ß (21) нельзя было бы получить, пренебрегая С в (8) или в [(6), § 2.2.11], как это делалось при обнаружении.'
3. Случай с о в м е с т н о г о и з м е р е н и я у г л о в о й к о о р д и н а т ы и с т о ч н и к а 0 и о т н о с и т е л ь н о й и н т е н с и в н о с т и ß создаваемого им сигнала без разрешения
(ß2 = °).
Оценки ß, 0 находятся при этом из условия равенства нулю про изводных выражения (18) по ß и 0 при ß = ß и 0 = 0. Эти оценки мо гут быть определены в данном случае последовательно: вначале Ѳ,
затем ß (но не наоборот). |
|
|
4. Случай и з м е р е н и я у г л о в о г о р а з н о с а |
2 ф д в у х |
н е з а в и с и м ы х и с т о ч н и к о в |
и з л у ч е н и я |
с неизвест |
ными угловыми координатами Ѳі,2 = ф ± |
Ф, где ср — известная коор |
дината центра |
системы, |
при |
известных и равных между собой интен |
сивностях излучения ßi = ß2 = |
ß/2 (простейший случай р а з р е ш е- |
н и я — и з м е р е и и я). |
|
|
|
|
|
|
|
При |
этом |
ß i/t = |
ß e /(' —*) 'Pcos [(£— /г)ф]. Решения системы уравне |
ний (4) |
для |
М = 3 |
тогда будут: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х ц — X33— <Si (ct)T<Ea(a), |
|
(22) |
|
|
|
|
|
|
|
5?22 = $ 2 (a)TS0(ä), |
|
|
(23) |
|
|
Х зге~■to'= Цуо e/ч» = X i3eto = X32е~л> = &3(a)/g0(а), |
(24) |
|
|
|
|
|
|
£si е~-,2ф = |
e/-> = |
|
(a)TS0 (a), |
(25) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
а = |
cosiß, |
|
|
(26) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$0 (а) = |
2ß2 (1 - |
а2) (1 + 2a2) + 3ß |
+ 1, |
|
|
(27) |
Si (а) = |
ß2 (1 -- |
a2) (1 + |
4a2) + |
ß, |
|
|
|
|
(28) |
(а) |
= |
2ß2 (1 - |
a2) + |
ß, |
|
|
|
|
|
|
(29) |
<0 з (а) |
= |
2ß2 (1 — a2)a + |
ßa, |
|
|
|
|
|
|
(30) |
(а) |
= |
- ß 2 (1 - |
о2) 4- |
ß (2a2 - |
1). |
|
|
|
|
(31) |
Используя |
(11), |
(22), |
(23), |
(27)—(29), |
найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
С = ПТ\п<Е0 (a). |
|
|
|
(32) |
Полученные соотношения (22)—(32) сводятся при |
(т. е. при |
а -ь 1) к соотношениям (16), (17), взятым для М = |
3. |
|
Уравнение, |
определяющее оценку а = |
cosif>, |
можно найти, поль |
зуясь соотношениями (8), (12), (22)—(32). Чтобы упростить вид этого
уравнения, относительный |
уровень |
разрешаемых сигналов считаем |
достаточно большим, так что ß (1 — а2) » |
1. |
уравнения (12) |
После |
подстановок и упрощений |
левая часть |
сводится |
к взятому при |
а = а значению |
суммы |
трех слагаемых: |
— слагаемого |
^ |
Qih д %ihjda-, |
|
|
|
і |
=£ h |
|
|
|
— слагаемого |
|
Qiu. d X ih/da ж — 0,5(QU + Q3S — 2Q22)x |
i=k Xd (1 + 2а?)~г/да;
— слагаемого (— дС/да).
Поскольку корреляционные моменты Qih пропорциональны при этом ß, а <31nß2/öa = 0, то величиной
дСІда « ПТдln [(1 — а2) (1 + 2а2)}/да |
|
Пренебрежем по сравнению с другими слагаемыми. |
При П Т )$> 1 |
можно пренебречь также разностью Q11 + Q33—2 » |
0, поскольку |
