ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 116
Скачиваний: 0
Дважды дифференцируя (1G) по /, заметим, что
|
cf |
|
лг |
|
(21) |
||
(2ліУ- |
I’ -V2 Щ {s—x)<z~l2n!xd x = — |
[Go (/) e- ' 2nfs]. |
|||||
|
- с о |
|
d / 3 |
|
|
||
Тогда в силу (15), |
(17), (21) выражение (20) приведем к виду |
|
|||||
|
Одоб (/) = — - £ ~ Go (/) |
[G^0 |
(/) G* (/)J. |
(2 2 ) |
|||
Подставляя GR0 (f) из (18) в (22), находим |
|
|
|
||||
|
~nI Gro(/) |
(/)= 1_ |
l-HDo/ЛГо)! Go (/) I2 ‘ |
(23) |
|||
|
|
||||||
Пользуясь (8), |
(18), |
(19), (23), |
получаем |
|
|
|
|
______frp (/)_____ |
a d 2 |
1 |
(24) |
||||
Ор(П= |
l + (A>/M>)|Go(/)la |
4 |
l + (D0/N0)\Go(n\2 . |
||||
|
|||||||
В результате преобразования Фурье окончательно ііаіідем |
|
||||||
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
*(*)= J GR U) ^ 2x!ldf. |
(25) |
||||
Пользуясь (24), [(38), (39), § 1.1.3], находим частотную характерис тику оптимального фильтра Копт (f). Вводя спектральную плотность полезного сигналаg(/) «_0,5G (/—/ 0) д л я /> 0 и g (f) ж 0,5G* (—f—/ 0)
для / < 0, где G (/) — спектральная плотность комплексной амплитуды импульса, получаем
К от(П= |
go (/) e' |
|
1 _i_ JL -fd |
|
(26) |
|||
1 + (4D0/Nо) |g„(/)l |
1 i |
* о /*F2 |
|
|||||
|
|
|
4я2 d/ 2 4 - (4 D 0/M ,)|g0(/)l |
|
||||
Коэффициент использования энергии будет |
|
|
||||||
|
|
k = S |
go (/) g'h (/) df / |
S IS'o(/)N/- |
(27) |
|||
|
|
— OO |
|
|
|
-----CO |
|
|
При D 0 = |
0 он равен единице, при D 0 > 0 — меньше единицы. |
|||||||
Если протяженность облака достаточно велика по сравнению с раз |
||||||||
решающей способностью по дальности при |
согласованной |
обработ |
||||||
ке, |
можно |
пренебречь |
пропорциональным а |
поправочным |
членом, |
|||
т. е. |
перейти к м о д е л и б е с к о н е ч н о |
п р о т я ж е н н о г о |
||||||
о б л а к а . |
Мешающие отражения |
от такого |
облака можно считать |
|||||
с т а ц и о н а р н ы м |
н е б е л ы м |
ш у м о м . Накладываясь на |
||||||
флюктуационный белый шум, последний дает небелый шум со спек тральной плотностью мощности
°4f) = iVi + C|£o(f)|2- |
(28) |
|
Здесь N-y = N 0/2 — спектральная |
плотность мощности белого шума, |
|
распределенная на оси частот —оо < |
оо, N 0 — спектральная плот- |
|
38 |
§ 1.2.2. |
ность мощности, распределенная на полуоси 0 < /< о о . Член C |g0(f) |2 характеризует спектральную плотность мощности мешающих отра жений. Последняя пропорциональна квадрату модуля спектральной плотности напряжения зондирующего сигнала.
Оптимальную фильтрацию на фоне стационарного небелого шума можно пояснить, используя прием, указанный В. А. Котельниковым [3].
Пропустим принимаемое |
колебание через фильтр |
с амплитудно-час |
тотной характеристикой |
1 /сг (/). При этом шум |
« о б е л я е т е я», |
спектральная плотность его мощности будет постоянной и единичной. |
||
Спектральная же плотность напряжения сигнала |
преобразуется в |
|
g {f)la (f). Оптимальным для преобразованного сигнала будет фильтр
с частотной характеристикой A'0g* (f)e~i2nfl°/o (/). Для |
входного |
|
же сигнала с учетом преобразующего звена |
1/ст (f) оптимальная |
|
частотная характеристика будет |
|
|
K om( f ) ^ A ' 0g l ( f ) e - i ^ 4 o 4 f ) |
• |
(29) |
(см. также [9 ]) или |
|
|
К ош-(П = К g0(/) е- J M o / [N, + С I go (/) I*]. |
(30) |
|
В частном случае Nx = 0 соотношение (30) использовалось Г. Урковнцом [17]. Введение Nx = N 0/2 Ф 0 обобщает запись и позволяет устранить недоразумения, к которым ведет пренебрежение белым шумом.
§ 1.2.3. ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО РАДИОИМПУЛЬСА В УСЛОВИЯХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ МЕШАЮЩИХ ОТРАЖЕНИЙ. СРАВНЕНИЕ С ДРУГИМИ ВИДАМИ ФИЛЬТРАЦИИ
Для прямоугольного радиоимпульса [(1), |
§ 1.2.1] длительности |
ти спектральная плотность огибающей будет |
|
God) — T„ß (jt/Тц), |
(1) |
где |
|
ß (£/) = sin у ly. |
(2) |
В ы Р а ж е и и е ч а с т о т н о й х а р а к т е p И C T и к и Оп т и- |
|||||||||
м а л ь и о г о |
ф и л ь т р а |
для |
f > |
0 |
в |
соответствии с |
[(26), |
||
§ 1.2.2.] , а также [(38), § |
1.1.3], |
[(5), § |
1.2.2] |
принимает вид: |
|
||||
|
К 0„Т(П = ^ гак се -/2я//°Х |
|
|
||||||
X F 0 (у , а) [i + |
f — |
2 |
d2 |
|
1 |
|
) |
(3) |
|
) |
|
|
|
|
|||||
|
|
V"Рзбл |
diß l^ a 2ß2 Q/)J У—Л(f —fo) ти |
|
|||||
где обозначено |
/Смакс = |
0,25 т.Ja, |
a = t ui |
D0!No и |
|
||||
|
Д, (У. а) = |
|
2oß (y) |
|
|
(4) |
|||
|
14-a2ß2((/) |
|
|
||||||
§ 1.2.3. |
39 |
При воздействии ожидаемого радиоимпульса на такой фильтр спектр выходных колебаний будет
^onl (f) ёо (f) ёмаксвых® /2я//о РJ (і/, д) |
|
|
|||
d" |
|
1 |
|
|
(5) |
X |
l^ a 2ß3((/) |
</=Я (/—fo) Т„ |
|||
d(/a |
|
||||
Sw anc вых ® ^ м а к с ^ і / ( ^ ~Ь ^ |
)> |
|
|
|
|
Л («/»а) = |
(1+д2) ß2 (у) |
|
(6) |
||
|
|
l-f a2ßa (у) |
|
|
|
Функции двух переменных F 0 (y, а) и |
(у, а), |
рассматриваемые |
|||
как функции у при параметре а, представляют собой в нормирован ной форме соответственно частотную характеристику фильтра и спектр выходного напряжения для случая тобл > ти. Построение этих функ ций при различных а показано на рис. 1.2.2. На рис. 1.2.2, а (внизу
40 |
§ 1.2.3. |
слева) показан график ß {у) |
= sin уіу, |
на рис. 1.2.2, б, в показаны |
||||
графики фо (ß,a) = 2aß/(l + |
a2ß2) и |
(ß,a) = |
(1 + а2) ß2/(l + a2ß2) |
|||
при различных значениях а. |
На |
рис. |
1.2.2, г, д показаны, наконец, |
|||
графики F 0 (y, |
а) = фо [ß (у)], |
F± (у, |
а) = |
cPl [ß (г/)].' |
||
Характер |
в о з д е й с т в и я |
фильтра |
на |
входное колебание |
||
легко оценить по выходному спектру Fx (у, а). |
В отсутствие мешающих |
|||||
отражений, когда а — 0, спектр Fy {у, а) соответствует т р е у г о л ь н о м у радиоимпульсу. Он имеет провалы на частотах, кратных 1/т„, и сравнительно быстро спадает с увеличением частоты. При
интенсивных |
мешающих |
отражениях а > |
1 спектр расширяется |
с сохранением провалов. |
Это соответствует |
укорочению импульсов |
|
(см. § 1.2.1), |
хотя общая |
протяженность группы импульсов не со |
|
кращается. |
|
|
|
Рис. 1.2.3. Отклик фильтра, опти мального в присутствии распреде ленных мешающих отражений, на прямоугольный радиоимпульс.
(Нормирован к единице).
Рис. 1.2.4. Коэффициент использова ния энергии прямоугольного радио импульса при его обнаружении в при сутствии распределенных мешающих отражений с относительной интенсив
ностью о.
Отклик оптимального фильтра определяется |
выражением |
||
со |
|
|
|
W(t)= $ /Содт (/) Go(/) е/2"/< df = 2 gMaKC вы* |
Ф ( |
а, ) , (7) |
|
— со |
Т П |
1 % |
/ |
где |
|
|
|
|
СО |
|
|
O(0 , a ) = - L |
$ Fi(y> a)bm a dy. |
(8) |
|
^ |
■—оо |
|
|
Семейство функций Ф (Ѳ, а) при а — 0, а = 5, а — 20 представ лено на рис. 1.2.3. Как и для дискретных мешающих отражателей,
§ 1.2.3. |
41 |
фильтрация при а > 1 сводится к получению из прямоугольного радиоимпульса длительности т„ группы более коротких импульсов.
Центральный импульс превосходит по амплитуде боковые. Форма
отклика при а > 1 |
существенно |
отличается |
от треугольной. |
|
Коэффициент использования энергии может быть рассчитан по |
||||
формуле [(27), § 1.1.2] и для тобл > т и будет |
|
|||
|
k — Ф (0, |
а)/(1 + |
а2). |
(9) |
График функции (9) |
приведен на |
рис. |
1.2.4. |
При а > 1 ] значение |
k ä; 0,7/а.
Поправочный член в (3), связанный с ограниченным размером облака т0бл, сказывается тем меньше, чем больше тО0Л и меньше а= ти ~/d 0/Nb.
Влияние Тдбл 11 о. — ти "[/п0/ѵѴ0 можно пояснить, сопоставляя рис. 1.2.1 и 1.2.3. Аналогично рис. 1.2.1. увеличение размера облака приведет к увеличе нию расстояния между боковыми выбросами выходного напряжения фильтра; понижение спектральной плотности мощности шума сужает выходной отклик. Если протяженность облака достаточно велика, а шум не является пренебре жимо малым, по совокупности приходим к отклику рис. 1.2.3. Дальнейшее рас ширение облака не сказывается при этом на отклике фильтра.
При а = т„]/ D0/N о =1=0 с о г л а с о в а н н а я |
ч а с т о т н а я |
х а р а к т е р и с т и к а |
|
^согл (/) = go (/) е~і2яІ'° |
(10) |
н е я в л я е т с я о п т и м а л ь н о й . Чтобы сравнить эффектив ность согласованной и оптимальной фильтрации, вычислим спектраль ную плотность мощности небелого шума на выходе с о г л а с о в а н
н о г о фильтра, |
имея в виду соотношения N x = N 0I2, С = |
2D0, |
|||
(см § 1.2.2). Тогда получим |
|
|
|
|
|
$ °2 ШI /Ссогл(/) I2 df = ( т „ е д (1 + |
а2 к), |
( И ) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
$ |
go(f) \2df |
|
|
или |
со |
со |
|
|
|
|
|
|
|
||
X = |
(l/Tä)' $ |
\ G 0 ( f ) \ * d f / $ |
I G 0 ( /) |
\2 d f . ' |
( 12) |
|
— со |
— оо |
|
|
|
Введем функцию |
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
Q(0 = |
S |G0(/)|2e/2nf4 , |
|
(13) |
|
|
|
—оо |
|
|
|
42 |
§ 1.2.3. |