Файл: Хачатурян, А. Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 121

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

сляционный мотив) в общем случае состоит из произвольного числа парал­ лельных друг другу включений, каждое из которых имеет произвольную тол­ щину. Эти предположения не ограничивают общности постановки задачи, так как апериодическое распределение является частным случаем периодического распределения, если период последнего стремится к бесконечности. Функцию <P1(*z) можно представить в виде

Lz/2a

Sin (kzL J 2)

 

Ф1 (А2) = Фі(Лг) 2

exp (— ikzan) = ф® (kJ

(4.П.5)

sin (kza/2) ’

 

n=—Lt/2а

 

 

где

 

 

 

 

- 4 k, zdz

 

(4.П.6)

<p?(*g =

 

 

есть фурье-образ функции

формы q>J (z) одной элементарной ячейки

(<pj (z)

равно единице, если координата z отвечает точке, находящейся внутри вклю­

чения первой фазы, и нулю в противоположном случае).

 

 

sin (kzLJ2)

 

 

 

 

Периодическая функция

(д,

а/ 2) имеет резкие

максимумы вблизи

узлов «обратной решетки» kzrn=

2nmla (m = і 1,

і 2,

. . .,

+ °о). Ширина

этих максимумов имеет порядок Аkz ~ 2n/Lz, высота — порядок LJ а.

На­

оборот, функция cp®(kz) плавно зависит от своего аргумента.

Поэтому,

вос-

пользовавшись свойствами функции

sin (kzL J 2)

 

 

 

 

sin (к а/2)" ’

можно представить

ин­

теграл (4.П.4) в форме

 

 

 

 

 

 

Д Е = 1 3 ^ ( с » - с » р 2 '

 

2ят

 

 

 

 

ф?

X

 

 

 

 

т = —оо

 

 

 

 

 

d*X

X $(2я)‘‘

2ят/а

•A L \ Y (2ят/а)2 т2 ’ Y (2ят/а)2 + т2 t

 

п-а

J'-

sin (kzLJ2)

I2

7

dk*

sin {к a12)

(4.П.7)

ХК(т)|2 \

-2Г

—п/а

Представление (4.П.7)

справедливо с точностью до малых величин a[Lz

1.

Так как

 

 

 

 

sin (kLJ2)

(4.П.8)

 

sin (kzal2)

 

 

 

 

—п/а

 

 

то выражение (4.П.7)

можно переписать в виде

 

 

A E = J _ 3 tfu a0(c» ^

2пт

 

2

 

 

тп=—оо

 

 

X !і (2я)2 AL ( /(2яш /а)2 + т2 )

**' (4'П '9^

376

Е с л и a !L x

1 , г д е L x — р а з м е р к о м п л е к с а в п л о с к о с т и ( х , у ) , то

 

( Y (2ято/а)® -(- Т2/

/Іо (2ляг/а)® + т®

 

ЪК (сц —сіа)

| Л |

ДL

 

 

где

Ао =

 

(4.П.10)

Используя (4.П.10), можно представить интеграл в правой части (4.П.9) в виде

/ 2кт \

(* (* dH

т®

7 (— ) = л»

 

(4-ПЛ1)

Интеграл вида (4.П.11) вычислен в Приложении 3 (см. (З.П.18) и (З.П.19)). Он равен

'2яот\

Ап X

1

Ап

Р

(4.П.12)

, a J —

2 y

dl'l2nm/a\ ~

2 ' | 2зт/а| ’

где Р — периметр комплекса в плоскости (х, у), dl — элемент длины кривой, охватывающей комплекс по периметру в плоскости (х, у). Подставляя

(4.П.12) в (4.П.9), получим:

ДЕ = .

3КиЦс^-с*)*

L P Ап

2лт

 

(4.П.13)

4л

 

а

ф;

 

m

 

 

 

 

Из определения (4.П.7) функции ф® (2пт/а)

следует,

что

 

 

ф«

2 я т \

-Л sin (ndjja) т

і

2я

\

(4.П.14)

 

= «2 j

— ^ —

ехР

 

 

 

 

3=1

 

 

 

 

 

где dj — толщина /-го включения первой фазы в элементарной ячейке распре­ деления, V — число включений первой фазы в элементарной ячейке, bj — координата по оси г центра тяжести /-го включения в элементарной ячейке.

Для того чтобы найти оптимальное распределение пластинчатых вклю­ чений в элементарной ячейке, необходимо исследовать на минимум выражение (4.П.14) при дополнительном условии, что суммарная толщина включений первой фазы есть постоянная величина, равная Lzт. Последнее условие есть выражение того факта, что объемная доля включений первой фазы задана и не может варьироваться при изменении толщины включений. Соответствую­ щая вариационная процедура дает:

а

bj = — /, где /' = 0, 1, 2, . . . , V — 1; d} = dx = ay = const. (4.П.15)

Из (4.П.15) следует, что величина АЕ принимает минимальное значение, если пластинчатые включения первой фазы имеют одинаковую толщину и расположены на одинаковом расстоянии друг от друга. Промежутки между этими пластинами заполнены второй фазой (см. рис. 54). Так как число вклю­ чений первой фазы задано и равно N, то период полученного одномерного рас­ пределения а0 определяется равенством ад = LZIN. Элементарная ячейка та­ кого распределения, по существу, становится в ѵ раз меньше, чем элементар­ ная ячейка исходного распределения (а0 = а/ѵ). Она состоит их двух вклю­

чений: первой фазы, толщина которой равна а0т, и второй фазы, толщина

377

которой равна а0 (1 — т)- Вместо переменной величины N более удобно те­ перь рассматривать однозначно связанную с N величину периода а0. Полу­ ченное распределение, таким образом, характеризуется величинами ѵ = 1, а = а0 и dj = TaoИспользуя эти характеристики в (4.П.14) и подставляя

(4.П.14) в (4.П.13), получим:

SAo aoOt(T),

(4.П.16)

где

оо

(4.П.17)

а. S = РЬг есть площадь цилиндрической поверхности комплекса. Исполь­ зуя метод Пуассона, можно найти интегральное представление суммы (4.П.17):

Y

О

1

(4.П.18)

о

\ -

ЛИТЕРАТУРА

1. С. Таттап, Z. anorg. Chem. 107, 1 (1919). 2. E. Bein, Trans. AIME 68, 625 (1923).

3.C. H. Johansson, J. O. Linde, Ann. Phys. 78, 439 (1925).

4.K. H. Jack, Proc. Roy. Soc. A195, 34 (1948).

5.K. H. Jack, Proc. Roy. Soc. A208, 216 (1951).

6. М. П. Усиков, А. Г . Хачатурян, Кристаллография 13, 1045 (1968).

7.N. Тетао, Japan J. Appl. Phys. 4, 353 (1965).

8.М. П. Арбузов, В. Г. Тан, Б. В. Хаенко, Кристаллография 15, 196 (1970).

9.В. А. Соменков, Диссертация, МИФИ, М., 1968.

10. В. А. Соменков, И. Р. Энтин, А. Ю. Червяков, С. Ш. Шилъштейн,

А. А. Чертков, ФТТ 13, 2595 (1971).

11.В. Ф. Петрунин, В. А. Соменков, С. Ш. Шилъштейн, А. А. Чертков,

Кристаллография 15, 171 (1970).

12. В. Ф. Петрунин, В. А. Соменков, С. Ш. Шилъштейн, А. А. Чертков,

А. С. Боровик, ФММ 29, 530 (1970).

13.В. А. Соменков, А. Ю. Червяков, С. Ш. Шилъштейн, А. А. Чертков,

Кристаллография 17, 323 (1972).

14.А. Ю. Червяков, И. Р. Энтин, А. А. Соменков, С. Ш. Шилъштейн,

А. А. Чертков, ФТТ 13, 2587 (1971).

U5. Р. Джеймс, Оптические принципы дифракции рентгеновских лучей,

ИЛ, М., 1950.

ѵ16. А.Гинъе, Рентгенография кристаллов, М., 1961.

(17. А. И. Китайгородский, Рентгеноструктурный анализ, Гостехиздат, М., 1950.

'18. М. А. Кривоглаз, Теория рассеяния рентгеновских лучей и тепловых нейтронов реальными кристаллами, изд-во «Наука», М., 1967.

19.М. А. Кривоглаз, ЖЭТФ 32, 1368 (1957).

20.Л. Д. Ландау, Sow. Phys. 11, 26, 545 (1937).

21.Е. М. Лифшиц, ЖЭТФ 11, 255 (1941).

22.Е. М. Лифшиц, ЖЭТФ 11, 269 (1941).

23.В. Л. Инденбом, Изв. АН СССР, серия физ. 24, 1180 (1960).

24.И. Е. Дзялошинский, ЖЭТФ 47, 336 (1964).

25.И. Е. Дзялошинский, ЖЭТФ 47, 992 (1964).

26.Л. Д. Ландау, ЖЭТФ 7, 627 (1937).

27.А. Г. Хачатурян, Кристаллография 10, 303 (1965).

28.А. П. Комар, И. Н. Буйнов, ЖЭТФ 17, 555 (1947).

29.Н. В. Агеев, Д. Н. Шойхет, Ann. d. Physik 23, 90 (1935).

30. Р. S. Swann, W. В. Duff, R. M. Fisher, Metall Trans. 3, 403 (1972).

31./ . W. Cahn, J. E. Hillard, J. Chem. Phys. 31, 688 (1959).

32./ . W. Cahn, Acta Met. 9, 795 (1961).

33./ . W. Cahn, Acta Met. 10, 179 (1962).

34.J. W. Cahn, Trans. AIME 242, 166 (1968).

35.L. S. Ornstein, F. Zernicke, Proc. Amst. Acad. Sei. 17, 793 (1914); 18, 1520 (1916).

36.L. S. Ornstein, F. Zernicke, Phys. Z. 19, 134 (1918).

37.L. S. Ornstein, F. Zernicke, Phys. Z. 27, 761 (1926).

379

38.А. Г. Хачатурян, ФТТ 9, 2595 (1967).

39.М. А. Кривоглаз, ЖЭТФ 40, 1812 (1961).

40.Чандрасекар, Стохастические процессы в физике и астрономии, ИЛ,

М., 1949.

41.М. Volmer, Н. А. Weber, Z. Phys. Chem. 119, 277 (1925).

42.R. Becker, W. Döring, Ann. d. Phys. 24, 719 (1935).

43.G. Borelius, Trans. AIME 191, 477 (1951).

44.Л. Д. Ландау, E. M. Лифшиц, Квантовая механика. Нерелятивистская теория, Физматгиз, М., 1963.

45.А. А. Ройтбурд, А. Г. Хачатурян, Т. С. Плаксина, ФТТ 10, 2149 (1968).

46.А. Г. Хачатурян, Р. А. Сурис, Кристаллография 13, 83 (1968).

47.В. Kronig, W. Penney, Proc. Roy. Soc. A130, 499 (1931).

48.У. Харрисон, Псевдопотенциалы в теории металлов, изд-во «Мир», 1968.

49.W. А. Harrison, Solid State Physics (edited by F. D. Turnbull, H. Ehren­ reich) 24, № 4 (1970).

50.E. Ising, Z. Phys. 31, 253 (1925).

51.H. A. Kramers, G. H. Wannier, Phys. Rev. 60, 252 (1941).

52.L. Onsager, Phys. Rev. 65, 117 (1944).

53.V. Gorsky, Z. Phys. 50, 64 (1928).

54.W. L. Bragg, E. J . Williams, Proc. Roy. Soc. A145, 699 (1934).

55.W. L. Bragg, E. J. Williams, Proc. Roy. Soc. A152, 231 (1935).

56.E. A. Guggenheim, Proc. Roy. Sec. A148, 304 (1935).

57.В . H. Fouler, E. A. Guggenheim, Statistical Thermodynamics, Cambridge,

University Press, 1939.

58.H. A. Bethe, Proc. Roy. Soc. A150, 552 (1935).

59.R. Peierls, Proc. Roy. Soc. A154, 207 (1936).

60.J. G. Kirkwood, J. Chem. Phys. 6, 70 (1938).

61.M. А. Кривоглаз, А. А. Смирнов, Теория упорядочивающихся сплавов, Физматгиз, М., 1958.

62.S. Matsuda, J. Phys. Soc. Japan 6, 131 (1951).

63.И. Л. Аптекарь, ДАН СССР 130, 562 (1960).

64.В. В. Гейченко, А. А. Смирнов, сб. «Вопросы физики металлов и метал­ ловедения», т. II, стр. 36, Киев, 1960.

65.Р. S. Rudman, Acta Met. 8, 321 (1960).

66.И. Л. Аптекарь, ФММ 12, 197 (1961).

67.В. В. Гейченко, В. М. Даниленко, А. А. Смирнов, ФММ 13, 321 (1962).

68.В. В. Гейченко, В. И. Рыжков, Укр. физ. журнал 8, 1223 (1963).

69.А. Г. Хачатурян, ФММ 13, 493 (1962).

70.А. Г. Хачатурян, ФТТ 5, 26 (1963).

71.А. Г. Хачатурян, ФТТ 5, 750 (1963).

72.А. Г. Хачатурян, сб. «Проблемы металловедения и физики металлов», т. 8, стр. 373, Металлургиздат, М., 1964.

73.А. Г. Хачатурян, ЖЭТФ 63, 1421 (1972).

74.А. Г. Хачатурян, Phys. Stat. Sol. (b), 60, 9 (1973).

75.P. А. Сурис, ФТТ 4, 1154 (1962).

76.В. Г. Вакс, А. И. Ларкин, С. А. Ликин, ЖЭТФ 51, 361 (1966).

77.А. Г. Хачатурян, ФТТ 5, 15 (1963).

78.В. Е. Villagrana, G. Thomas, Phys. Stat. Sol. 9, 499 (1965).

79.D. Potter, G. Alstetter, Acta Met. 19, 881 (1971).

80.А. Г. Хачатурян, ФТТ 6, 684 (1964).

81.Internationale Tabellen für Bestimmung von Krislallstructuren, Bd. I, 1935.

82.N. Terao, J. Phys. Soc. Japan 15, 227 (1960).

83.В. Г. Зубков, А. Г. Дубровская, Б. В. Гельд, В. А. Цхай, Ю. А. До­ рофеев,' ДАН СССР 194, 874 (1969).

84.А. Г. Хачатурян, Т. А. Онисимова, ФММ 26, 973 (1968).

85.А. Schneider, V. Esch, Z. Electrochem. 50, 230 (1944).

86.Y. C. Tang, Acta Cryst. 4, 377 (1951).

87.G. Brauer, Z. anorg. Chem. 242, 1 (1939).

88.W. B. Pearson, W. Hume-Rothery, J. Inst. Metals 70, 641 (1952).

380

Смотрите также файлы